b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.
Trang 1Phòng GD-ĐT Nghi Lộc
đề kiểm tra chọn học sinh bồi dưỡng HSG lớp 9
năm học 2007-2008
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = x2 + 4xy – 2x + 4y2 – 4y
Bài 2 : Cho biểu thức: 22xy2
A =
x + y
a) Tìm giá trị bé nhất của biểu thức A
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
Bài 3 : Tìm x; y; z biết rằng chúng là các số thoả mãn điều kiện:
2
+ + =2
- = 4
xy z
Bài 4: Chứng minh rằng: n3 + 11n 6 với mọi giá trị n là số nguyên.
Bài 5 : Cho 2 tam giác đều ABC và MNP thoả mãn điều kiện : Điểm B nằm trên cạnh MN; Điểm P nằm trên cạnh AC; N và C cùng nằm trong nửa mặt phẳng có bờ AB; M và
A nằm trên nửa mặt phẳng có bờ BC (M; N không nằm trên AB hay BC) Gọi NP cắt BC tại I; MP cắt AB tại J
a) Chứng minh : BIP đồng dạng với NIC
b) Chứng minh : AM // CN
Trang 2Hướng dẫn chấm.
Bài 1: A = x2 – 2x + 4y2 – 4y + 4xy
= x2 + 4xy + 4y2 – 4y – 2x
= (x + 2y)2 - 2(x + 2y)
= (x + 2y) (x + 2y – 2)
Bài 2: Điều kiện x2 + y2 0
2
2
2
2xy (x+y)
x +y x +y
(x+y)
ta có 0 với mọi x, y
x +y
(x+y) nên A = - 1 -1
x +y Vậy giá trị bé nhất của A bằng -1 và đạt được khi x+y = 0 hay x = -y
2
2
2
(x y 0)
b) A= = 1 -
(x+y)
ta có 0 với mọi x, y
x +y
(x-y) nên A = 1 - 1
x +y Vậy giá trị lớn nhất của
A bằng 1 và đạt được khi x- y = 0 hay x = y (x y 0)
Bài 3:
2
Điều kiện x; y; z 0 Đặt X = ; Y = ; Z = ; biểu thức đã cho trở thành:
X + Y + Z = 2 (1)
2XY - Z = 4 (2)
(1) Z = 2 - X - Y Z = (2 - X - Y) = 4 + X +Y -4X-4Y+2
2
XY Thay vào biểu thức (2) ta có: 2XY - 4 - X - Y + 4X + 4Y - 2XY = 4
Hay - 4 - X - Y + 4X + 4Y - 4 = 0
-(4 - 4X + X ) - (4 - 4Y + Y ) = 0
(X-2) + (Y-2)2 = 0
=> X=2 ; Y = 2 Thay vào (1) tìm được Z = -2
Tìm được : x = 1/2 , y=1/2 ; z = -1/2 (thoả mãn ĐK bài toán)
Trang 3Bài 4: a) n3 + 11n = n3 – n + 12n
= (n-1) n (n+1) + 12n
Tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 và 2; mặt khác (3,2)=1 nên tích của 3 số (n-1) n (n+1) 6
12 n 6 Kết luận được: (n-1) n (n+1) + 12n 6 (ĐPCM)
b) Kết luận được : : JMA JBP (tương tự câu a)
Kết luận được : PBI = INC
JBP = JMA
Mặt khác JBP + PBI = 600 (GT)
Kết luận được: JMA + JMB + BNI + INC = 1800
Kết luận đươc AM // CN (ĐPCM)
Bài 5: Vẽ hình ghi GT, KL (0.5 đ)
a) - Xét IBN và IPC có:
BIN = PIC (Đối đỉnh)
BNI = ICP ( = 600)
=> IBN IPC
IN IB (1)
=
IC IP
- Chứng minh được : IBP INC
