Thời gian làm bài 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề I.. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.. ASC ABC phẳng SAB, SBC.. PHẦN RIấNG 3,0 điểm 1.Theo chương trình chuẩn Câu VIa 2 điểm
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI A (LẦN 2)
MễN : TOÁN.
Thời gian làm bài 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị là (C)
2
1 2
x
x y
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m
để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Cõu II (2 điểm)
4
(2 sin 2 )(2 cos cos )
2 sin
x
x
2 Giải hệ phương trỡnh: 2 3 ( 2 2013)(5 ) ( , )
x y
Cõu III (1 điểm)
Tớnh tớch phõn: I
4
0
2
2 1 1
1
dx x x
Cõu IV (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABC cú mặt phẳng (SAC) vuụng gúc với mặt phẳng (ABC),
và Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và cosin của gúc giữa hai mặt
SA ABa AC a 0
90
ASC ABC
phẳng (SAB), (SBC).
Cõu V (1,0 điểm) Cho x,y,z là ba số thực dương cú tổng bằng 3.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
P3(x2y2z2) 2 xyz
II PHẦN RIấNG (3,0 điểm)
1.Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 + (y+2)2 = 9 và đường thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến
AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông
2.Trong khụng gian toạ độ Oxyz, cho cỏc điểm B0;3; 0 , M 4; 0; 3 Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa và cắt cỏc trục lần lượt tại cỏc điểm và sao cho thể tớch khối tứ diện
bằng ( là gốc toạ độ ).3 O
Câu VIIa (1 điểm) Giải phương trỡnh sau trờn tập số phức : (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2= 0
2.Theo chương trình nâng cao (3 điểm)
Câu VIb (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ( ) : 2d1 x y 0và (d2) :x2y3 5 0 cắt nhau tại A Lập phương trỡnh đường trũn (C) đi qua A cú tõm thuộc đường thẳng d1, cắt d1 tại B, cắt d2tại
C (B,C khỏc A) sao cho tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 24
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn 3
1 1
2
x
nhất
Câu VIIb (1 điểm) : Giải phương trỡnh sau trờn tập số phức : z3 = 18 + 26i
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
Trang 2đáp án đề thi thử đại học lần 2 khối a – môn toán
I.Phần dành cho tất cả các thí sính
1 (1điểm) a.TXĐ: D = R\{-2}
b.Chiều biến thiên
lim
; lim
; 2 lim lim
x x
x x
y y
y y
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y = 2
0,25
x
) 2 (
3
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;2) và (2;) 0,25 +Bảng biến thiên
x -2
y’ + +
2
y
2
0,25
c.Đồ thị:
Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0; ) và cắt trục Ox tại điểm( ;0)
2
1
2
1
Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng
0,25
2 (1 điểm) Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình
) 1 ( 0 2 1 ) 4 (
2 2
1 2
2
m x
m x
x m x x
x
Do (1) cóm2 10va (2)2 (4m).(2)12m30m nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
0,25 0,25
I
(2 điểm)
Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy ra
AB ngắn nhất AB2 nhỏ nhất m = 0 Khi đó AB 24 KL: m=0
0,25 0,25
1 (1 điểm) II
(2 điểm) ĐK: xk ,k
Với ĐK trờn phương trỡnh đó cho tương đương với:
cos x + sin x = (2- sin 2 )(cosx x- cos )x Û 1- sin 2x = (2- sin 2 )(cosx x
-0,25
x
y
O 2 -2
Trang 32
1
2
p p p
é
ê ê
ê ê
ê
ê
0,25
0,25
So với điều kiện ta suy ra nghiệm của phương trình là 2 2 ,
3
2 (1 ®iÓm)
2
2
(x 4)
1
2
3 2
1 2
y
0
y y x 1
0,5
2x 3 x 1 (x1) 2013 (4 x)
( 1) 2013 ( 4)
x
x
x 4 y 5
2
0,25
III
4
0
2
2 1 1
1
dx x x
x
dx dt
x
2 1 2
1
2
2
2
t t
x Đổi cận
t t t dt
t
t t t dt
t
t t t
2
2 4
2
4
2
2
2 3 2
3 2
1 2 4 3 2
1 ) 1 )(
2 2 ( 2 1
t t t
ln 4 3 2 2
1 2
4
1 2 ln
0,25
0,25
0,25
Trang 4S
C
B
M H
Kl: I =
4
1 2 ln
+ Kẻ SH vuông góc AC (H AC) SH (ABC)
2
a
SC BCa SH
2
3 2
ABC
a
S
S ABC ABC
a
V S SH + Gọi M là trung điểm SB và là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Ta có: SA = AB = a, SCBCa 3
AM SB và CM SB
cos cos AMC
SH BH SB
0,25
0,25
C©u IV
1 ®iÓm
AM là trung tuyến SAB nên: 2 2 2 2 2 2 10 2
4
a AM
4
a
Vậy: cos 105
35
0,25
0,25
C©u V
1 ®iÓm Ta c ó:
P x y z xy yz zx xyz xy yz zx xyz
x y z yz x
2
y z
Xét hàm số 3 2 , với 0<x<3
f x x x x
9
x
x
0,5
Trang 50,5
Phần riêng.
1.Ban cơ bản
1.( 1 điểm)
Từ phương trình chính tắc của đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ được 2 tiếp tuyến AB,
AC tới đường tròn và AB AC=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 IA3 2 0,5
7
5 6
1 2
3 2
1
m
m m
m
0,5
2 (1 điểm)
Vỡ B0;3; 0Oy nờn : 1
3
x y z P
a c
(1)
a c
(2)
OABC OAC
ac
V OB S ac ac
0,25
0,25
Câu
VIa
2
điểm
Từ (1) và (2) ta cú hệ
4
3
2
a
2
0,5
Đặt t = z2 + 3z +6 phương trỡnh đó cho cú dang:
t2 +2zt – 3z2 = 0 (t – z)(t+3z) = 0
3
t z
+ Với t = z z2 + 3z +6 –z = 0 z2 + 2z + 6 = 0 1 5
+ Với t = -3z z2 + 3z +6 +3z = 0 z2 + 6z + 6 = 0 3 3
z z
0,25
0,25
0,25
Câu
VIIa
1
điểm
2.Ban nâng cao.
Trang 61.( 1 điểm)
C
B
Ta cú A( 5; 2 5) Gọi là gúc tạo bởi hai đường thẳng d 1 và d2 4
os 5
c
Đường trũn (C) nhận AB là đường kớnh Tam giỏc ABC vuụng tại C BAC
Giả sử đường trũn (C) cú tõm I và bỏn kớnh là R
AC Rc R BC R R
2
ABC
R
S AC BC R
0,5
VỡI( )d1 I a( ; 2 ) a Cú
2 5
a
a
Với a 0 I(0; 0)Phương trỡnh đường trũn (C) là 2 2
25
x y
Với a2 5I(2 5; 4 5) Phương trỡnh đường trũn (C) là 2 2
0,5
Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P)
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH HI=> HI lớn nhất khi A I
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến
0,5
Câu
VIb
2
điểm
vì H là hình chiếu của A trên d nên )
3 1
;
; 2 1
H d
là véc tơ chỉ phương của d) H(3;1;4) AH(7;1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0
7x + y -5z -77 = 0
0,5
Ta cú: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:
x xy
x y y
0,5
Câu
VIIa
1
điểm
Từ hệ trờn, rừ ràng x 0 và y 0
Đặt y = tx , hệ 18(3x2y – y3) = 26(x3 – 3xy2 )
18(3t-t3 ) = 26(1-3t2) 18t3 – 78t2 – 54t+26 = 0 ( 3t- 1)(3t2 – 12t – 13) = 0
Vỡ x, y Z t Q t = 1/3 x = 3 và y = 1 z = 3 + i
0,5
