Bộ đề ôn thi học sinh giỏi và thi vào lớp chuyên môn Toán 941315

Bài 5 1,5 đ: 1/ Chứng minh rằng nếu một đưởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đường thẳng đó có dạ

Bộ đề ôn thi học sinh giỏi và thi vào lớp chuyên – Sưu tầm

BỘ Đề thi học sinh giỏi Toán 9

ĐỀ 1:

Bài 1 (1 đ): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011 Với giá trị nào của

x,y thì M đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó?

Bài 2 (1 đ): CMR 1 1 1 2 với mọi n N*

2 13 1 (n 1) n 

Bài 3 (1,5 đ): Giải phương trình

a/ 2 + = 6x -5-x2 b/

6 10

6 18

2(x 2)5 x 1 Bài 4 (0,5 đ): Chứng minh rằng x, y, z, x + y + z đều là các

số hữu tỉ thì x, y , z cũng là các số hữu tỉ

Bài 5 (1,5 đ):

1/ Chứng minh rằng nếu một đưởng thẳng không đi qua gốc toạ độ,

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có

tung độ bằng b thì đường thẳng đó có dạng y 1

b

 

x a 2/Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1

a/ Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với

mọi m

c/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng

là lớn nhất

Bài 6 (2,5 đ): Cho tam giác OAB (OA = OB) Vẽ đường cao OH, AK

biết OA = a, ฀AOH 

a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và 

b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2 Từ đó 

biểu diễn sin2 , cos2 theo sin , cos    

Bài 7 (2 đ) :

Cho hình vuông ABCD O là một điểm thuọc miền trong hình vuông

sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3 Tính số đo góc AOB ?

Một số Đề luyện thi vào chuyên Toán 9

đề 1’

Bài 1 (1 đ): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011 Với giá trị nào của

x,y thì M đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó?

Bài 2 (1 đ): Chứng minh rằng 1 1 1 2 với mọi



n N*

Bài 3 (1,5 đ):

Giải phơng trình

6 10

6 18

x  x

2(x 2)5 x 1 Bài 4 (0,5 đ): Chứng minh rằng x, y, z, x + y + z đều là các

số hữu tỉ thì x, y , z cũng là các số hữu tỉ

Bài 5 (1,5 đ):

1/ Chứng minh rằng nếu một đởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đờng thẳng đó có dạng y 1

b

 

x a

2/Cho đờng thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 a/ Chứng minh rằng đờng thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

c/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng

là lớn nhất

Bài 6 (2,5 đ): Cho tam giác OAB (OA = OB) Vẽ đờng cao OH, AK biết OA = a, ฀AOH 

a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và 

b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2 Từ đó 

biểu diễn sin2 , cos2 theo sin , cos    

Bài 7 (2 đ) : Cho hình vuông ABCD O là một điểm thuọc miền trong hình vuông sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3 Tính số đo góc AOB ?

Đề 2

Bài 1: (8 điểm) Cho parabol

2

1 ( ) :

3

P y x

1 Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm A(2;1)

2 Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(2;1)và có hệ số góc m

Với giá trị nào của m thì đờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm

phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn

thẳng MN khi m thay đổi

3 Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến

của parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau

Bài 2: (4điểm)

Giải hệ phơng trình:

2 2

19 7

    

 Bài 3: (8 điểm)

Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định C là một điểm bất kì

thuộc nửa đờng tròn ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông

BCDE và ACFG Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đờng tròn

1 Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho

thì đờng thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đờng

thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác

2 Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa

đ-ờng tròn đã cho

3 Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa

đ-ờng tròn đã cho

Đề 3

Bài 1: (7 điểm)Giải phơng trình: 4 4

x  x  x  x 

1 Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số

trung bình cộng của a và c thì ta có:

Bài 2: (6 điểm)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

2

2

3 5

1

y

x

 





1 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

2 2

x  y  xy x y  Bài 3: (7 điểm)

Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau E là điểm bất kì trên cung AD Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N

1 Chứng minh rằng tích OM ON là một hằng số Suy ra giá

AM DN

trị nhỏ nhất của tổng OM ON , khi đó cho biết vị trí của

AM  DN

điểm E ?

2 Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R

đã cho và GH không phải là đờng kính K là điểm chuyển

động trên cung lớn GH Xác định vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất

Đề 4

Bài 1: (8 điểm)Cho phơng trình 2 2

2x 2mxm  2 0 (1)

4 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt

5 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt và x1 x2 thoả mãn hệ thức 3 3

1 2

5 2

x x 

6 Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm không âm Tìm giá trị của m để nghiệm dơng của phơng trình đạt giá trị lớn nhất Bài 2: (4điểm)Giải phơng trình: 2 2 (2)

4 3 4

x  x  xx

Bài 3: (8 điểm)Cho tam giác ABC có ฀ 0 (

60 ; ;

ABC BC a ABc

là hai độ dài cho trớc), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên

,

a c

cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC

1 Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó

2 Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng

th-ớc kẻ và com-pa Tính diện tích của hình vuông đó

Bộ đề ôn thi học sinh giỏi và thi vào lớp chuyên – Sưu tầm

Đề 5

Bài 1: (7 điểm) 1 Giải hệ phơng trình:

4 4

3 4

3 4

  



 



2 Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng

thức:

a bb cc a a bb cc a a bb cc a

Thì | | | | | |a  b  c

Bài 2: (6 điểm) Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và

diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng

đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau

2 A, B, C là một nhóm ba ngời thân thuộc Cha của A thuộc

nhóm đó, cũng vậy con gái của B và ngời song sinh của C

cũng ở trong nhóm đó Biết rằng C và ngời song sinh của C là

hai ngời khác giới tính và C không phải là con của B Hỏi

trong ba ngời A, B, C ai là ngời khác giới tính với hai ngời kia

?

Bài 3: (7 điểm) Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính

AB và CD vuông góc với nhau Đờng tròn (O1) nội tiếp trong tam

giác ACD Đờng tròn (O2) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam

giác OBD và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) Đờng tròn (O3) tiếp

xúc với 2 cạnh OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với

đ-ờng tròn (O) Đđ-ờng tròn (O4) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc

ngoài với đờng tròn (O1) Tính bán kính của các đờng tròn (O1), (O2),

(O3), (O4) theo R

Đề 10

Bài 1 (4đ) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử :

a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2

b) x2 + 7x + 10

Bài 2 (4đ) Cho

2 2

A

a) Rỳt gọn A

b) Tỡm x nguyờn để A nguyờn

Bài 3 (4đ) Giải phương trỡnh

a x   x 

b) x2 – 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23

Bài 4 (6đ) Tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, cỏc đường cao AD, BE,

CF gặp nhau tại H Đường thẳng vuụng gúc với AB tại B và đường

thẳng vuụng gúc với AC tại C cắt nhau tại G

a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC

b) ∆ABC ~ ∆AEF c) B DˆFC DˆE

d) H cỏch đều cỏc cạnh của tam giỏc DEF

Bài 5 (1đ) Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1 Chứng minh rằng

Bài 6 (1đ) Giải bất phương trỡnh 2007 2008

 x

HẾT

§¸p ¸n

ài 1a)

4x2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49

=(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7)

(1 đ) (1đ)

ài 1b)

+7x+10 =x2+5x+2x+10

=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)

(1đ) (1đ)

ài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa là

≠5và x ≠2

2 2

2

( 5)( 2)

A



(0,5đ)

(2đ)

2b) ( 2) 1 1 1 , với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi

x

A

nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1

1

2

x 

(1,5đ)

ài 3a) Ta xét các trường hợp sau

TH1:

1

2

Ta thấy x=3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình

TH2:

(1đ)

1

2

Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng đang xét vậy nó không là nghiệm của

phương trình

Kết luận phương trình có nghiệm x=3

(1đ)

Bài 3b) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 x2-25=(2x+3)(x+5)

(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0

(x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0 (x+5)(-x-8)=0  x-5=0 hoặc x+8 =0  x=-5

hoặc x=-8

(2đ)

Bài 4a) Ta có BG AB, CH AB, nên BG //CH,

tương tự: BH AC, CG AC, nên BH//CG.tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối sông song nên nó là hình bình hành Do đó hai đường chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Vậy GH đi qua trung điểm M của BC

(2đ)

4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác ABE

và ACF vuông Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng Từ đây suy ra AB AE AB AF (1)

AC  AF  AE  AC

Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2) Từ (1) và (2) ta suy ra ∆ABC ~

∆AEF

(1,5đ)

4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra

∆BDF~∆DEC฀ BDF  CDE ฀

(1,5đ)

F

E

M

G

H

B

A

Bộ đề ôn thi học sinh giỏi và thi vào lớp chuyên – Sưu tầm

4d) Ta cú

AHB BDF AHC CDE ADF ADE

Suy ra DH là tia phõn giỏc gúc EDF Chứng minh tương tự ta cú FH là tia

phõn giỏc gúc EFD Từ đõy suy ra H là giao điểm ba đường phõn giỏc tam

giỏc DEF Vậy H cỏc đều ba cạnh của tam giỏc DEF

(1đ)

Bài 5) Ta cú

x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y)

= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z)

= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy] = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx

= 1   2  2 2 dpcm

1đ

Bài 6) Điều kiện x0 , bất phương trỡnh 2007 2008

 x

0

x x



(2008 2007) 0

0

2007

2008

x

x









  



Hoặc biểu diễn trờn trục số :

1đ

2007 2008



0

§Ò 11

Bài 1: a) Giải phương trình: x4- x3+ x2- 11x+10= 0

b) Tìm x, y thoả mãn:x - 2 x - 1 = - y + 4 y - 4

-Bài 3. Tìm GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:

P = x + x + + x - x +

Q = x + y + xy - x +

Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường kính

AB lấy hai điểm I và J đối xứng nhau qua O M là một điểm (khác

A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) tại

E, F, G; FG cắt AB tại C Đường thẳng đi qua F song song AB cắt

MO, MJ lần lượt tại D và K Gọi H là trung điểm của FG

a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được

b) Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

ĐÁP ÁN Bài 1: a) x4- x3+ x2- 11x+10= 0

Û ( x - 1)( x - 2)( x2+ 2 x + 5) = 0

Û ( x - 1)( x - 2) = 0 (vì

)

2

x + x + = x + + > " Î ¡ x

1

2

x

x

é =

ê

Û

ê =

ë

b) x - 2 x - 1 = - y + 4 y - 4

x y

ïï

Û í

ïïî

2 8

x y

ì = ïï

Û í

ïî

2( 3 3) 2( 3 3)

2( 3 3) 2( 3 3)

=

24 2 4 2

6

-Bài 3 P = 4 x2+ 12 x + 9 + 4 x2- 20 x + 25 = 2 x + 3 + 5 - 2 x ³ 2 x + + - 3 5 2 x = 8

Vậy, Pmin=8 khi (2 3)(5 2 ) 0 3 5

x + - x ³ Û - £ x £

Q = x2+ 2 y2+ 2 xy - 2 x + 2008

Vậy, Qmin=2006 khi 1 0 2

Bĩ ®Ò «n thi hôc sinh giâi vµ thi vµo líp chuyªn – S­u tÌm

K D

H C

G E

F

B O

A

M

Băi 4

a) Ta có: OI = OJ

DF DK

//

DH GK

Þ

mă GME· = GFE·

nội tiếp

DHEF

Þ được

b) Từ cđu a suy ra

DEH = DFH

mă ·DFH = OCH· Þ OHEC

nội tiếp được

· · 0 Vậy CE lă tiếp

90

tuyến của (O)

De 12

Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức

x x xy

y x y

A  3 3  10 3 2  31  10 3

a) Phân tích A thành nhân tử

b) Tìm cặp số x, y thoả mãn điều kiện y - x = đồng thời A = 0

4 3

Bài 2 (2 điểm):

Cho biểu thức M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 với x, y, z, t là các số nguyên không âm Tìm các giá trị của x, y, z, t để biểu thức M có giá trị nhỏ nhất thoả mãn điều kiện:

2x2 - 2y2 + 5t2 = 30

x2 + 8y2 + 9z2 = 168 Bài 3 (2 điểm):

Cho hàm số f(x) = (x  R)

2 x 2 x

1 x 2 x

2

2









a) Chứng minh rằng với hai giá trị x1 , x2 tuỳ ý của x sao cho 1≤ x1< x2 thì f(x1) < f(x2)

b) Với giá trị nào của x thì

4

3 ) x ( 2

1





Bài 4 (4 điểm):

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH Trên cạnh

BC lấy 2 điểm M và E sao cho ME = BC (BM < BE) Qua M kẻ

2 1

đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại D Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt đường thẳng AH tại N

a) Chứng minh: BM BH = MD HN b) Chứng tỏ N là một điểm cố định

c) Biết AB = 5 cm, BC = 6 cm Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2006-2007

Môn: Toán - Lớp 9 Bài 1(2 điểm)

a) (1 điểm)

x 3 x 10 xy 10 xy 21 y x 7 y x 3 y

(0,5 đ)

  2 

(0,5 đ)

y 3x 3y2 x 3y5 x

b) (1 điểm)

x 3 y 0

A  

3

x 2

y

3

x

5

y

* y  x 0

4

3 x

2

3 x

2

















4

3

x

3

4

y x

4

3 x

y  

4

3 x

y 

2

3

y

*

3

x 2

4

3 3

x 2

x  

2

0 12 3

x

3

4

y x

4

3 x

y 

4

3 x

y  

* x

3

5

4

3 3

x 5

x  

0 12

16 3

2

5 x

2















 

3

4

y x

4

3 x

y  

4

3 x

y  

3 2

9

x 

3 2

1

x 

4

27

x 12

1

x

4

3 x

y 

4

3 x

y 

2

15

y 6

5

y

Vậy có 3 cặp số thỏa mãn điều kiện A = 0 và 3 là:

4

y x

( ; ) ; (x = ; y = ) và ( ;

4

3

x

2

3

4

15

1

x

6

5

y

) Bài 2 (2 điểm)

Từ 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 và x2 + 8y2 + 9z2 = 168

Bĩ ®Ò «n thi hôc sinh giâi vµ thi vµo líp chuyªn – S­u tÌm

Suy ra: 3x2 + 6y2 + 9z2 + 5t2 = 198

3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2

3M = 198 + 7t2

3t 66

7 66

M  2 

Giá trị nhỏ nhất của M là 66 khi t = 0

Do đó: 2x2 - 2y2 = 30 (1) và x2 + 8y2 + 9z2 = 168 (2)

Từ (1)  (x + y)(x - y ) = 15

Vì x, y là các số nguyên không âm, nên x + y = 15 và x - y =

1 (3)

Hoặc: x + y = 5 và x - y = 3 (4)

Từ (3)  x = 8, y = 7, các giá trị này không thỏa (2)

Từ (4)  x = 4, y = 1 Thay vào (2) ta có:

16 + 8 + 9z2 = 168

9z2 = 144

z2 = 16

z = 4 (z = - 4 loại)

Vậûy giá trị nhỏ nhất của M là 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t =

0

Bài 3 (2 điểm)

a) 1 điểm

     

1 1 x

1 x x

2









- Với x1 = 1, x2 >1 thì f(x1) = 0, f(x2) > 0 nên f(x1) < f(x2)

- Nếu x  1, ta có

 

 2

1 x

1 1

1 x

f







Với 1 < x1 < x2 thì 0 < x1 - 1 < x2 - 1 nên: >

 2

1 1 x

1



 2

2 1 x

1



Do đó: < hay f(x1) < f(x2)

 2

1 1 x

1 1

1





 2

2 1 x

1 1

1





Vậy với 1 x1 < x2 thì f(x1) < f(x2) b) 1 điểm

2 x 2 x

1 x 2 x

2

2







2

2 x 4 x

2 2 



> 0 x 2 x 2 x

x2    2

 x (x - 2) > 0  x > 2 hoặc x < 0 (1) f(x) <  <  4x2 - 8x + 4 < 3x2 - 6x + 6

4

3

2 x 2 x

1 x 2 x

2

2









4 3

 x2 - 2x - 2 < 0  (x - 1)2 - 3 < 0  (x -1 + 3) (x - 1 - 3) < 0

 1 - 3 < x < 1 + 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra < f(x) <  1 - < x < 0 hoặc 2 <

2

1

4

3

3

x < 1 + 3

Bài 4 (4 điểm) A

D

a) Xét  MDE và  HEN có:

DME฀ = ฀EHN = 900

MDE฀ = ฀HEN (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

nên MDE ∾ HEN , suy ra:

HN

ME HE

MD 

Hay MD.HN = HE.ME

Do BH = ME ( BC) nên BM = HE

2

1



Do đó: MD.HN = BM.BH (1)

b) Từ (1)  (2)

HN

BH BM

MD 

ABH có MD//AH nên (3)

BH

AH BM

MD 

Từ (2) và (3)  

BH

AH

HNBH 

AH

BH HN

2



N  AH cố định và HN không thay đổi nên N là điểm cố

định

c)

A

P

B H

C

BC = 6cm  BH = 3cm

AHB ( 0) có AH2 = AB2 - BH2

90

Hˆ 

= 52 - 32 =

16 = 42

 AH = 4cm Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp ABC, thì BK là phân giác của và K AH.฀B 

Do đó:

5

3 BA

BH KA

KH





Suy ra:

5 , 0 8

4 8

KA KH 5

KA 3

KH = 1,5cm

KA = 2,5cm

Gọi I là tâm dường tròn ngoại tiếp ABC thì IP là đường trung trực của cạnh AB và I AH nên  5 2, 5( )

AB

ABH ( 0) có cos ( )

90

5

4 AB

AH  



฀ cos(PAI) 0,8

90

AI

AP



฀

2, 5 3,125 0,8

cos( )

AP AI

PAI

Do đó KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm) Vậy khoảng cách giữa tâm đường tròn ngọai tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là 0,625cm

®Ò 13

Băi 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức

với x > 0, y

2 x y x x y y x y

> 0 Băi 2: (4 điểm)

a Xâc định m để phương trình sau vô nghiệm



K I