Đề thi chọn học sinh dự thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2010 – 2011 môn thi: Toán 941171

Gọi M là trung điểm của BC.. Chứng minh góc BME bằng góc MFC.. Xác định vị trí của điểm K sao cho diện tích tứ giác BEFC nhỏ nhất.. Câu 5: Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm tro

Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi : Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: a) Cho A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n (n+1)(n+2)

Chứng minh rằng 4A 1 là số tự nhiên

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

4 2 2

4

Câu 2:

a) Giải phương trình sau:

2 2

b) Giải hệ phương trình:

2

3

1 0





  



Câu 3: a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3

Chứng minh rằng:

2 2 2 3

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 100 10

10 10

Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của BC Đường tròn (M; R) tiếp xúc với AB ở P, tiếp xúc với AC ở Q Điểm K chạy trên cung nhỏ PQ (K khác P, Q) Tiếp tuyến của đường tròn (M; R) tại K cắt AB, AC lần lượt tại E, F

a Chứng minh góc BME bằng góc MFC

b Xác định vị trí của điểm K sao cho diện tích tứ giác BEFC nhỏ nhất

Câu 5: Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác Các tia AI, BI,

CI cắt BC, CA, AB lần lượt tai M, N, K Chứng minh rằng:

3 2

-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HSG

TỈNH NĂM HỌC 2010-2011- MÔN TOÁN 9

Ta cã: n(n + 1)(n + 2) = 1n (n + 1)(n + 2) 4= n(n + 1)(n + 2)

4

1

4 (n   3) (n 1) 0.5

= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - n(n + 1)(n + 2)(n - 1)1

4

1 4

0.5

4A =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + +n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

- n(n + 1)(n + 2)(n - 1) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).

1.0

a

2,5đ

4A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1

n  n n  n   n  n  n  n   n  n

Vậy 4A 1 là số tự nhiên

0.5

Vì 4y2+2>0 nên (y4 + y2 + 4) -4 < y4 + y2+4<( y4 + y2+4) + (4y2 +2)

0.5

Hay y2 (y2 +1)<x(x-1)< (y2 +2)(y2 +3)

Do đ ó x (x-1) = (y2+1)(y2+2)

0.5

Câu

1

4,5đ

b

2.0đ

Suy ra (y2+1)(y2+2)= y4+y2+42y2=2  y  1

x2 – x - 6=0 x=-2 hoặc x=3

Nghiệm là (-2;1); (3;1); (-2;-1); (3;-1)

0.5

ĐK:  17  x 17

0.5



  



1.0

 2  2

16 7

4

5

xy

xy

  













0.5

a

2,5đ

Giải các hệ trên ta có nghiệm của phương trình là x = 1; x = 4 0.5

2

2

2

3

4 (1)

y

     

 

  

 



0.75

Nếu y  2 thì phương trình (1) vô nghiệm Nếu y  2 thì phương trình (2) vô nghiệm Do đó hệ chỉ có nghiệm khi y  2

0.75

Câu

2

4,5đ

b

2,0đ

Suy ra nghiệm của hệ là x = 1, y = 2, z = 1 và x = -1, y = -2, z = -1 0.5

Câu

3

(4đ)

a

a b c

0.5

2 2 2 2 2 2

0.5

Vì 1 + b2 2b; 1 + c 2 2c; 1 + a 2 2a nên 

(2)

1

ab bc ca

0.5

Mặt khác vì a + b + c = 3 và ab + bc + ca a 2 + b2 + c2, với mọi số dương a, b, c nên ab + bc + ca 3 (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh (Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1)

0.5

9so 1

10 10 1+1+ +1 10 1

10

9so 1

1+1+ +1 10 10

b

2.0đ

Suy ra M 1,  đảng thức xẫy ra khi x = 1 Vây giá trị nhỏ nhất của M 

bằng 1 khi x = 1.

0.75

Theo tính chất tiếp tuyến ta có ME,

MF lần lượt là phân giác của các góc

PMK, QMK

0.75

Tứ giác APMQ cóAPMˆ AQMˆ 1800 BACˆ PMQˆ 1800 0.75

Từ đó EMFˆ = =

0 ˆ 180 2

BAC

a

3.0đ

Từ câu a suy ra tam giác BEM đồng dạng với tam giác CMF

2

4

0.5

2

BEFC BME EMF FMC

= R (BE + FC +BE - BP + FC- CQ)1

2

0.25

Câu

4

(5đ)

b

2.0

đ

A

B

P

F

Q

Không đổi

Dấu = xẩy ra khi BE = FC EF // BC K là trung điểm của cung  

nhỏ PQ V ậy S BEFC nhỏ nhất khi K l à trung điểm của cung nhỏ PQ

0.5

Đặt

2 2

1 1

ABC BIC

S

IA



0.5

Chứng minh tương tự ta có:

2 2

2 2





Câu

5

2,0đ

2 2 2 2 2 2

3 2

Vây IA IB IC 3 2

1.0

Chú ý: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa

A

B

I