Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC; Gọi E và F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC; Gọi I là trung điểm của AM.. Các đường cao AM, BN và CK của ABC cắt nhau tại H... b Gọi O là giao đ
Trang 1TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VỊNG 2 Năm học: 2015- 2016
Mơn: Tốn
Thời gian: 150 phút (Khơng tính thời gian phát đề)
Bài 1: ( 3 điểm ) Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì
A = (x +2011 y)(x + 2012y)(x + 2013y)(x + 2014y) + 2015y4 là số chính phương
Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình:
2000 2001 2002 2003 2004
x x x x x
x
Bài 3:(2điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
chia hết cho 24
6 11 30 24
n n n n
Bài 4: (2 điểm ) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1
2
2 2
1
1 1
x
z y x
2
2 2
1
1 1
y
x z
y
2
2 2
1
1 1
z
y x
z
Bài 5: (4 điểm ) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: P = ab bc ca
c ab a bc b ca
Bài 6: (3 điểm)
Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC; Gọi E và F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC; Gọi I là trung điểm của AM
a) Xác định dạng của tứ giác DEIF (1,5 điểm)
b) Chứng minh rằng các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy (1,5 điểm)
Bài 7: (3 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Các đường cao AM, BN và CK của ABC cắt nhau tại H Điểm D đối xứng với điểm B qua điểm O
1/ Tính (1,0 điểm)
DC AH
2/ Chứng minh: tổng có giá trị là một hằng số (2,0 điểm)
CK
CH BN
BH AM
AH
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
điểm Bài 1
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Bài 2
(3điểm ) a) PT đã cho tương đương:1 2 3 4
0
2000 2001 2002 2003 2004
20002001200220032004 Nên Pt đã cho tương đương với x- 2000 = 0 x = 2000 (0,25đ) Vậy S = {2000}
5 0
x x
5
9 9
x
x x
0,5
0,5 0,5
0,75
Bài 3
(2 điểm )
6 11 30 24
n n n n
n n n n n n n n n n
=
n n n n n n n n n n n n
= n n 1n2n 3 24n1
Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia
hết cho 2.3.4 = 24 và 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên 4 3 2
6 11 30 24
n n n n chia hết cho 24
0.5 0.5 0.5 0.5
Trang 3T=
x zx y
y z x z z y
x
y
x
x yy z
z x y x y z x z y
=
z xz y
z y x y z x
y
x
z
=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) =2 Vậy T = 2
0.5 0.5
Trang 4Bài 5
a b c c a b c c ac bc c
cabac bc c aba c b c b c (ca c b)( )
c ab c a c b
( )( )
a bc a b a c
b ca b c b a
2
c ac ba ba cb cb a
2
a c c b b a
a c c b b a
2 Dấu “=” xảy ra khi 1
3
a b c
Từ đó giá trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi 3
2
1 3
a b c
0.5 0.5 0.5
0.5
0.5
0.25 0.5 0.5
0.25
Bài 6
0,25
N
O
I
F
E
D H A
M
Trang 5=> gĩc EIM + gĩc DIM = gĩc EID = 2.gĩc EAD = 2.30o = 60o
Vậy gĩc EID = 60o (2)
Từ (1) và (2) => tam giác EID đều (3)
Tương tự ta chứng minh được tam giác IDF đều (4)
Từ (3) và (4) => DEIF là hình thoi
b) Gọi O là giao điểm của ID và EF, ta cần chứng minh: M,O,H thẳng hàng Thật vậy, gọi N là trung điểm của AH Vì H là trực tâm nên H cũng là trọng tâm của tam giác đều ABC => AN=NH=HD
Khi đĩ: OH là đường trung bình của tam giác DIN => OH // IN
và IN là đường trung bình của tam giác AHM => MH // IN
Do đĩ M,O,H thẳng hàng hay MH, ID, EF đồng quy tại O 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Bài 7 (3 điểm ) 1/ Tam giác BCD có OB = OC = OD = bán kính đường tròn tâm O, nên tam giác BCD vuông tại C Vậy AH // DC ( vì cùng vuông góc với BC) Tương tự, tam giác ADB cũng vuông tại A, do đó AD//CH (vì cùng vuông góc với AB) Vậy, tứ giác AHCD là hình bình hành Do đó AH= DC, suy ra = 1 DC AH 2/ Gọi S là diện tích ABC và S1, S2, S3 theo thứ tự là diện tích các tam giác BHC, AHB, AHC Ta có S= BC AM 2 1 S1= BC HM 2 1 suy ra: (1) AM HM S S 1 AM AH AM HM AM S S S 1 Tương tự, ta có (2); (3)
CK
CH S
S S
2
BN
BH S
S S
3
không đổi 2
2 ) (
S
S S
S S S S CK
CH BN
BH AM
AH
0,25
0,25 0,25 0,25
0,5
0,5 0,5 0,5