Thời gian làm bài: 120 phút Không kể thời gian giao đề I.. Tìm m để đường thẳng y = 6x cắt Cm tại ba điểm phân biệt O; A; B đồng thời hoành độ các điểm A; B là độ dài các cạnh góc vuông
Trang 1Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 2
m
( 3) C
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
2 Tìm m để đường thẳng y = 6x cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt O; A; B đồng thời hoành độ các điểm
A; B là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng2 2
Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình:
5
2
x
2 Giải hệ phương trình sau :
2
x,y R
x x y x y x
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 2 2 2
2 1
ln ln 1
.
e
x x
x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có 0và đường
ACa BC a ACB thẳng A C' tạo với mặt phẳng ABB A' ' góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng A B CC' , ' theo a
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1
Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm đúng khối thi của mình
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho tam giác ABC với A(-1; -1), phương trình đường tròn ngoại tiếp là
(T): 2 2 Viết phương trình đường thẳng , biết là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong không gian cho 3 điểm A(1;1; 1), B(1;1; 2),C( 1; 2; 2) và mặt phẳng
(P): x2y 2z 1 0 Mặt phẳng ( ) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại
I sao cho IB2IC Viết phương trình mặt phẳng ( )
Câu VIII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số của x8 trong khai triển: 1 x 21 2x
8
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và đường tròn (T): 2 2
x y 2x 4y 20 0 Gọi B, C là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng (d): 3x+ 4y+ 30=0, A và trung điểm của AB nằm trên đường tròn (T) Tìm A; B; C biết trực tâm tam giác ABC là tâm đường tròn (T) và B có hoành độ dương
Câu VII.b (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho điểm A(0;-1;2) và đường thẳng 1 2
:
x y x
.Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, cắt đường thẳng ( ) tại C sao cho khoảng cách từ B(2;1;1) đến
đường thẳng (d) là 3 2
10
Câu VIII.b (1,0 điểm) Tính tổng 1 5 2013
2013 2013 2013
nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm miến phí
TCM-ĐH-T13A
Trang 2Câu Nội dung trình bày Điểm I(2,0đ) 1 (1,0 điểm)
Khi M=0 hàm số (1) có dạng 3
3
yx x
a) Tập xác định :D
b) Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: y'3x2 3, y' 0 x 1
0,25
+) Bảng biến thiên:
-2
-
1
-
y'
y x
0,25
+) Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 , 1; và nghịch biến trên khoảng 1;1.+)
Cực trị: hàm số đạt cực đại tại x 1,y CD 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x1,y CT 2 0,25 c) Đồ thị: 3 , suy ra đồ thị hàm số cắt trục Ox tại Ox
y x x x x tại các điểm 0; 0 , 3; 0 , 3; 0
4
2
-2
-4
2 1
-2 -1
2 (1,0 điểm)
P/trình HĐGĐ: x( x2 – mx + m2 – 9)=0
9 0 1
Đường thẳng y = 6x cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi pt (1) có 2 nghiệm dương
phân biệt x x1; 2 là hoành độ của A và B:
2
0
0,25
Trang 3Theo gt ta có 2 2 2 2
1 2 2 2 ( 1 2) 2 1 2 8
Theo đl Viet thì (*) m2 2( m2 9) 8 m 10 0,25 II(2,0đ) 1 (1,0 điểm)
Đk : *
4
x k
P/trình 2 sin 2 cos 2x x2 cos 2x2 sin xcosxsin 2x1
2 sinx cosx sin 2x cosx sinx cosx sinx sin 2x 1 0
cos sin 0 sin 2 cos sin cos sin sin 2 1 0 1
x x Loai
0,25
Giải (1) : Đặt tcosxsin ,x 2 t 2sin 2x 1 t2
Pt (1) trở thành : 2 2 3 2
1t t t 1 t 1 t t 2t 2 0 t 1 và t= 2 0,25
+ Với t 1 ta có cos sin 1 s 2
x x co x
2 2
k t m
x k
+ Với t 2 ta có cos sin 2 cos 1 2
0,25
2 (1,0 điểm)
Đk: x 0 Nhận thấy (0; y) không là nghiệm của hệ phương trình
Từ phương trình (2) ta có 2
2
1 1 1
2y 2y 4y 3 3 *
x x x
Xét hàm số 2 có nên hàm số đồng biến
3
f t t t t 2 2
2
3
t
t
Vậy 1 1
0,25
Thay vào phương trình (1) : 2 1 Điều kiện: (**)
x
x 1
Đặt t= 1 => t= 1
x x
Do (**) => /
Hệ có nghiệm 1 5 ; 1 5
0,25
III (1,0 điểm)
Đặt : t ln x dt dx
Trang 4Đ/cận: x= 1 => t =0 và x= e2 => t= 2
2
1
t
dt
1 ( tdtt dtt) ( t dtt dtt ) t
0,25
Vậy :
2 2 2
1
I
IV (1,0 điểm) ( Học sinh không kẻ hình sẽ tính điểm không bài này)
Trong (ABC), kẻ CH AB HAB, suy ra CH ABB A' '
nên A’H là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABB’A’)
Do đó: 0
A C ABB A A C A H CA H
2 0
.s in120
ABC
a
2 cos120 49 7
AB AC BC AC BC a AB a 2.S ABC 3
AB
Suy ra: ' 0 2 3
s in30
CH
Xét tam giác vuông AA’C ta được: AA' A C' 2AC2 a 5
3
7 15 '
2
ABC
a
Do CC'/ /AA'CC'/ /ABB A' ' Suy ra:
d A B CC d CC ABB A d C ABB A CH a 0,25
V (1,0 điểm)
Trang 5Ta có VT = 2 2 2 2 2 2
ab c ab c abc abc a bc a bc
(bc )(2bc ) (ca )(2ca ) (ab )(2ab )
0,25
Vì a, b, c dương và abc = 1 nên đặt ab y,bc z,ca x với x, y, z > 0
(y 2 )(z z 2 )y (z 2 )(x x 2 )z (x 2 )(y y 2 )x
=
( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )
y z z y z x x z x y y x
Ta có ( 2 )( 2 ) 2 2 2 2 4 2( )2 5 9( 2 2)
2
y z z y yz y z yz yz yz y z
2 2
2 ( 2 )( 2 ) 9
y z z y y z
2 2
2 ( 2 )( 2 ) 9
z x x z x z
2 2
2 ( 2 )( 2 ) 9
x y y x y x
0,25
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được VT 2( 2 2 2 2 2 2 2 2 2)
9
2 2 2 2 2 2
y z x z y x
2 2 2
2 2 2 2 2 2
= 1(( 2 2) ( 2 2) ( 2 2))( 21 2 21 2 21 2) 3 1.9 3 3
2 x y y z z x y z x z y x 2 2
Suy ra VT 2 3 1 (đpcm)
9 2 3
0,25 VI.a (1,0 điểm)
Đường tròn T có tâm K 3;2 bán kính là R 5
Ta có AI :x y 0, khi đó đường thẳng AI
cắt đường tròn T tại A ' A'( khác A) có tọa
độ là nghiệm của hệ 2 2
(loại) hoặc (t/m) Vậy
0,25
Ta có: A 'B A 'C (*) (Do BA ' CA ' ) => A 'BC BAI (1) (Vì cùng bằng IAC )
Mặt khác ta có ABI IBC (2)
Từ (1) và (2) ta có: BIA ' ABI BAI IBC A 'BC IBA '
Suy ra tam giác BA 'I cân tại A ' do đó A 'B A 'I (**)
0,25
K
A
I
B
C A'
Trang 6Do đó B, I,C thuộc đường tròn tâm A ' bán kính A 'I có phương trình là
x 6 y 6 50
Suy ra tọa độ B, C là nghiệm của hệ
0,25
Nên tọa độ các điểm B,Clà : (7; 1), ( 1;5)
Khi đó nằm trong tam giác I ABC (TM)
Vậy phương trình đường thẳng BC : 3x 4y 17 0 0,25 VIII.a (1,0 điểm)
Gọi mặt phẳng ( ) có phương trình là axbycz d 0với a b c; ; không cùng bằng 0
+ mp( ) đi qua A(1;1; 1) nên ta có : a b c d 0 (1)
+ mp( ) mp P( ) :x2y2z 1 0 nên 2 VTPT vuông góc nhau
a b c
0,25
+IB2IC khoảng cách từ B tới mp( ) bằng 2 lần khoảng cách từ C tới ( )
5 2 3 0
Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :
1
2 2 0
2
a b c d
a b c d
a b c d
Ta có phương trình mp ( ) là 2x y 2z 3 0
0,25
3
2 2 0
2
a b c d
a b c d
Ta có phương trình mp ( ) là 2x3y2z 3 0
0,25
VIII.a (1,0 điểm)
Ta có: 2 8 8 k 2 k 8 k 2k k
Để x2k i x8 2k i 8 k 8 i, k và i là các số nguyên thỏa mãn
2
0 i k 8
i = 0; k = 4 và i = 2; k = 3
0,25
Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là: 4 0 0 3 2 2 4 0 3 2
C C 2 C C 2 C C 4C C 0,25
VI.b (1,0 điểm)
Trang 7Nhận xét : Đường tròn (T) có tâm H(1;-2), R=5
=> (d) tiếp xúc với (T) tại D
Tọa độ của D là nghiệm của hệ
2 2
6
2; 6
y
D
Do tâm đường tròn H là trực tâm tam giác ABC nên AD
là đường kình của (T)=> A(4;2)
0,25
Gọi M là trung điểm AB => HM//= BD => BD = 101
Lấy 3 30 (đ/k) Do BD = 10
4
a
4
a
=> a= - 10(loại) và a = 6 (t/m) => B(6; -12)
0,25
+ Đường thẳng (CH) qua H và có VTPT AB 2; 14 => Pt (CH): x - 7y – 15 = 0
=> Tọa độ của C là nghiệm của hệ: 7 15 0 6 6; 3
C
0,25
VII.b (1,0 điểm)
Ptts của :
1 2
2
Do đt (d) qua A và cắt tại C nên C 1 2 ; ; 2 u u u
0,25
=> đường thẳng (d) có VTCP: AC 2 u 1; u+1; -u
Ta có AB 2;2; 1 AB AC , 1 u ; 1; 4- 2u
=>
(2 1) + (u+1) + u 6u 2 2
B d
d
Theo giả thiết ta có: =
2 2
u u
3 2 10
50
3 3 2
u u
0,25
+ Khi u 3 AC 5;4; 3 => ptđt (d):
5
1 4
2 3
A
D C
B M
H
Trang 8+ Khi 3 2; ; 5 3 => ptđt (d):
4
1 5
2 3
0,25
VIII.b (1,0 điểm)
Trong khai triển:
Khi x= 1 ta có: 0 1 2 3 2013 2013
2013 2013 2013 2013 2013 2 1
Khi x=-1 ta có: 0 1 2 3 2013
2013 2013 2013 2013 2013 0 2
Lấy (1) – (2) ta có: 1 3 5 7 2013 2012
2013 2013 2013 2013 2013 2 3
0,25
Xét số phức: 2013 0 1 2 2 3 3 2013 2013
Do 2013 21006 1006 503
1006 2
1 i 1 i 1 i 2 i 1 i 2 i 1 i
1006 1006 1006
0,25
Nên: 21006 i 21006 0 1 2 3 4 5 2013
2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013
2013 2013 2013 2013 . 2013 2013 2013 2013
Vậy : C12013 C20133 C20135 C20132013 = 1006(4)
2
Lấy (3) + (4): Ta có 2011 1005