b Qua tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với Oy cắt elíp tại hai điểm M và N.. Tính độ dài MN.
Trang 1ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2012-2013 MễN THI TOÁN – LỚP 10
Thời gian làm bài 90 phỳt.
Bài 1: (2,0 điểm).
1 Giải bất phương trình sau : 23 2 1
x
5
2
A cos cos
Bài 2: (3,0 điểm)
1 Giải phương trình 2
3x 1 4x 2x 10
x x x xm
Bài 3: (2,0 điểm).
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng : 2x y 1 0 và cho đường tròn
2 4 1 0
x y x y
1 Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính R của (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với
Bài 3: (3,0 điểm)
II Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau:
Dành cho ban cơ bản:
Bài 4A (2 điểm): Cho elip (E): 1
9 16
2 2
y
x
a) Tìm toạ độ bốn đỉnh, tính độ dài trục lớn và độ dài trục bé của elíp (E)
b) Qua tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với Oy cắt elíp tại hai điểm
M và N Tính độ dài MN
Bài 5A: (1điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
với
( )
1
f x
Dành cho ban nâng cao:
Bài 4B (2 điểm): Cho elip (E): + = 1.
25
x 2
16
y 2
a) Tìm toạ độ bốn đỉnh, tính độ dài trục lớn,độ dài trục bé, tâm sai và tiêu cự của (E).
b) Tìm toạ độ của điểm M trên (E) sao cho MF 1 MF 2 = 2 (trong đó F 1 , F 2 lần lượt là
tiêu điểm của (E) nằm bên trái và bên phải trục tung).
Bài 5B: (1điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
với
2 2
2
1 1 2
1 )
x x
x
Trang 2ĐáP áN Và BIểU ĐIểM
3x 2 x 2x 2 x 5x 4 0 x [1; 4]
cos 1 sin
5
cos
với ( ; )
2
5
cos cos
Bài 1:
(2 điểm)
Thay vào biểu thức ta có A= 3 15
25 25 25
ĐK 1, Bình phương hai vế ta được PT hệ quả
3
9x 6x 1 4x 2x 10 0,5
2
1
x
x loai
1,0 Thử lại ta thấy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình 0,25
2(1đ)
Điều kiện 0 x 3
(1) ( x 3 x ) x 3x m 2 x(3 x) x(3 x) m 3 0,25
2 0
x x t
t t
Khi đó phương trình trở thành: 2 (2)
t t m
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có ít nhất một nghiệm t [0; ]3
2
Xét Parabol f(t)= 2 trên có a=-1<0, đỉnh
2
t t
[ 0; ]3
t 0 1 3/2
f (t)
1
0 3/4
0,25
Bài 2:
(3 điểm)
Từ BBT ta thấy để phương trình (1) có nghiệm thì 0 m 3 1 3 m 4 0,25
Trang 3a) Tõm I(1; -2), bỏn kớnh R = 2 2 =2.
b) Đường thẳng d// cú phương trỡnh dạng: 2x + y+ c = 0 (c 1) 0,25
2.1 1.( 2) 2 2 5 2 5
4 1
c
Bài 3:
(2 điểm)
Vậy cú 2 tiếp tuyến với (C) và song song với là: 2x + y + 2 5
và 2x + y - 2 5
0,25
Bài1 a2 9a3; b2 4 b 2
1 a c2 a2 b2 9 4 5 c 5
1 b
Tâm sai ; Tiêu cự
3
5
a
c
5 2
2c
2. a2 9 a 3 ; b2 4 b 2
Bài2 c2 a2 b2 945c 5
Bài3
1 A(1 ; 2 ), BC: 3x + 4y+15 = 0
1 a a2 9 a 3 ; b2 4 b 2
1 b c2 a2 b2 9 4 5 c 5
2 (E) : 25 x + = 1
2
16
y 2
2 a
Phương trình có dạng chính tắc : + = 1
2
2
a
x
2
2
b y
16 b
25 a
2
2
4 b
5 a
Vậy toạ độ bốn đỉnh là: A1(5 ; 0), A2(5 ; 0), B1(0; 4), B2(0 ; 4 )
Độ dài trục lớn là 2a = 10
Độ dài trục bé là 2b = 8
2.b Ta có : c2 = a2b2 = 9 c = 3
Tâm sai e =
5
3 a
c
Ta có MF 1 MF 2 = (a + ex) (a ex) = 2ex,
MF 1 MF 2 = 2 ex = 1 x =
3 5
Thay vào phương trình của (E), ta được y =
3
2 8
Vây có hai điểm cần tìm là M1( ; ) và M2( ; )
3
5
3
2 8
3
5
3
2 8
Bài 3.
Trang 4a) Tõm I(1; -2), bỏn kớnh R = 2.
b) Đường thẳng d// cú phương trỡnh dạng: 2x + y+ c = 0 (c 1)
(d) là tiếp tuyến của (C) d(I, (d)) = R 2.1 1.( 2) 2 2 5 2 5
4 1
c
Vậy cú 2 tiếp tuyến với (C) và song song với là: 2x + y + 2 5 và 2x + y - 2 5
; 3 9
5 5
4 9
2
2
Tâm sai ; Tiêu cự
3
5
a
c
5 2
Đường tròn (C) cần tìm có tâm O(0; 0) đi qua 4 đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (E), chọn đỉnh
a
cx a a
cx a MF
, thay vào phương trình của (E) ta được
5
3 3
2
c
a
x M
5
4
M
Vậy có hai điểm cần tìm là
5
4
; 5
3
2
1 4
3 16
15 1 4
1 16 2
1 1 1 2
1 )
(
2 2
2 2
x
x x
x x
x x
x
x
áp dụng BĐT Côsi ta có:
4
29 2
1 2
3 4
15 1 4 2
1 16 2 )
2
x
x x
x x
Vậy GTNN của f(x), với x ≥ 2 là 2
khi
4
/
29
)
(x x