AB và CD là hai đường kính cố định của O vuông góc với R nhau.. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của O.. MD lớn nhất.. Ghi chú : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm ThuVienDeThi.com
Trang 1TRƯỜNG THCS PHÚ LƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG 2
MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút
3
5 5
3 15
2
25 :
1 25
5
x
x x
x x
x
x x
x x
1) Rút gọn A
2) Tìm số nguyên x để A nguyên
3) Với x 0, x 25, x 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B =
5
) 16 (x
A
Bài 2:(4,0 điểm)
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2y2x + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy
2) Giải phương trình 2
x 4x + 5 = 2 2x+3
Bài 3:(4,0 điểm)
1) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và 1 1 1 4
x y z
2x+y+z x 2y z x y 2z
2) Cho 2 số thực dương thỏa mãn a b 1 Tìm GTNN của :
ab ab
b a
A 2 1 2 1 4
Bài 4:(5,0 điểm)
Cho đường tròn (O; ) AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với R
nhau M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O) K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB
1) Tính 2 2 2 2
sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC
2) Chứng minh: 2
OK AH RAH
3) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn nhất
Bài 5: (1,0 điểm)
Tìm n N * sao cho: n4 + n3 + 1 là số chính phương
Ghi chú : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
ThuVienDeThi.com
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG 2
MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút
Bài 1: (6 điểm)
3
5 5
3 15
2
25 :
1 25
5
x
x x
x x
x
x x
x x
1 Rút gọn A
2 Tìm số nguyên x để A nguyên
3 Với x 0, x 25, x 9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B =
5
) 16 (x
A
Bài 1: (6điểm)
1 Tìm đúng điều kiện x 0 ,x 25 ,x 9 (2,5đ)
Rút gọn
3
5
x A
2 x z => x 3 là Ư(5) (1,5đ)
=>
4 5
3
1 3
x x
loai x
3
16 3
( 5
) 16 ( 5 5
) 16 (
x
x x
x x
A B
6 3
25 3
3
25
x
x x
x
=> B 4 => min B = 4 x=4
Bài 2:(4 điểm)
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy
Giải: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy 2y2x- 2y2- x2+ x- xy + y = -1
2y2(x-1)- x(x-1)- y(x-1) = -1
(x-1)(2y2-x-y) = -1
*
2
( 1)(2 1) 0 1
y Z
*
2
1
y
Vậy nghiệm của phương trỡnh là: (2;1),(0;1)
2) Giải phương trình x2 4x+5=2 2x+3 (1)
Điều kiện: 2x+3 0 x -3
2
(1) x2 4x+5-2 2x+3 0
2
x 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0
Trang 32 2
(x 1) ( 2x+3 1) 0
x 1 0 2x+3 1 0
x 1 2x+3=1
thỏa mãn điều kiện
Bài 3:(4 điểm)
1) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và 1 1 1 .
4
x y z
2x+y+z x 2y z x y 2z
Áp dụng bất đẳng thức (với x,y > 0)
x y x y
2x+y+z 4 2x y z
y z 4y 4z
2x+y+z 4 2x 4y 4z
x+2y+z 4 4x 2y 4z
(3)
x+y+2z 4 4x 4y 2z
Từ (1),(2),(3)
2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z
1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z
Dấu "=" xảy ra
3
x y z
4
2) Cho 2 số thực dương thỏa mãn a b 1 Tìm GTNN của :
ab ab b a
A 2 1 2 1 4
a b ab ab
ab b
a
ab ab
ab ab
b a
ab ab
ab ab b
a A
4
1 2 4
4
1 2
2 2
1
2
4
1 4
1 4 2 2
1 2
4
1 4
1 4
2
1 1
2 2
2
2 2
2 2
ThuVienDeThi.com
Trang 4
2 Do
2 4
1 2
2 2
b a ab b
a b
a
7 2 1 5
2 5
2
b a
Dấu “=” xảy ra
2 1
1
4
1 4
2
2 2
b a
b a
ab ab
ab b
a
Vậy GTNN của A là 7
Bài 4: (5 điểm)
Cho đường tròn (O; ) AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau R
M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O) K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB
a) Tính 2 2 2 2
sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC
b) Chứng minh: 2
OK AH RAH
c) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn nhất
H K
D
C
A O
B
M
(0,5đ)
a Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
=
sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC 2 2 2 2
(sin MBA c os MBA) (sin MCD c os MCD)
=1+1=2 (1,5đ)
b Chứng minh: 2
OK AH RAH
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường cao) (1đ)
và BH = AB – AH = 2R – AH
Trang 5Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) (1đ)
c P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) (0,25đ)
Mà OH.MH 2 2 2 2 (Pitago) (0,25đ)
Vậy 2 2 4 đẳng thức xẩy ra MH = OH (0,25đ)
2
R
OH = (0,25đ)
2
R
Câu 5: (1 điểm)
Tìm n N * sao cho: n4 +n3+1 là số chính phương
Câu 5: Giả sử n4 +n3 + 1 là số chính phương vì n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2
1
n
n4 3 2 2 4 2 2 *
0 1 K ) k n ( n 1 K Kn
2
n3 2 2 2 2
Mà K2 1 n2 K2 1 hoặcn2 K2 1
Nếu K2 1 K 1 n2( n 2 ) 0 n 2
Thử lại 2 4 2 3 1 5 2 ( thỏa mãn)
Khi K 1 K2 K2 1 n2 K n
mâu thuẫn với điều kiện (1đ)
n k 0 n2n 2 K K2 1 0
Vậy n = 2
GV soạn đề: Bùi Công Hải
ThuVienDeThi.com