đầy là X thì tụ hội là đối tuyệt tụ hội chuỗi mọi nếu CM cần ta trên, lý định Theo : minh Chứng tụ.. tụ hội chuỗi ra suy Ta s : có ta cho sao Banach X do Cauchy dãy tụ hội tụ hội vậy,
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ƠN T P LÝ THUY T GI I TÍCH HÀM
( Giảng viên hướng dẫn : TS Nguy n H u Khánh)
{ }
( )
Banach
gian không là
X Vậy :
đó Do n
thì n
Cho
:
có
Ta
: đó Khi tụ
hội chuỗi nên tụ hội
:
chuỗi
Vì
: chuỗi
Xét
: biệt
Đặc
: có ta :
đó Khi X
trong CauChy dãy
là
sử
Giả
đủ
đầy là X thì tụ hội là đối tuyệt tụ hội chuỗi mọi nếu CM cần ta trên, lý định
Theo
: minh
Chứng
tụ
hội đều X trong đối tuyệt tụ hội chuỗi Mọi Banach
gian không là
X chuẩn định gian
Không
: được ta n
Cho
: có ta n , Mặt khác
tụ hội chuỗi
ra
suy
Ta
s : có ta cho
sao
Banach) X
do ( Cauchy dãy
tụ hội
tụ hội vậy,
Thật
: có ta cho
sao
tụ hội
chuỗi đó Khi Banach
gian không
là
X
: có ta cho
sao nên
tụ hội
số chuỗi
Vì
: minh
Chứng
: có và tụ hội
chuỗi thì X trong đối tuyệt tụ hội chuỗi là
và Banach gian
không là
X
Nếu
1)
k
1 n 1 n
1 n
1 n
p n
1 k 1
n
1 n
1 n
1 n 1
n
1 n 1
n
lim
lim
lim lim
2 1
2
1 ,
,
)
2
, 0
, 0
, 0
, 0
, 0
, 0
1 2
3 1 2 1 1
2 3 1
2 1 1
1
1
2 1 2
1
2 1
2 1
2 1
2 1
X x x
x x x
x x x
X x x
x x
x x x x s
x
x x
x x x x x
x x
x x n
n N n N k x
x x
x x
x x x x
x
x
x x
x s p
N n N
s x
s x
x x
x
p N n N
x
x x
x x
x x
p N n N
x
x x
x x
n n
n n
n n
n k n
n n
n n n n k k k
k
n n
n n n n n
k n
n
k n m k
k k
n n
n n
n n
n n
p n n
n n
n
n k n
n
p n n
n
n
p n n
n p n n
n
n
n n
n n
k k
k k
k
k k
k k
∈
=
∞
→
∞
→
•
− +
−
≤
−
•
∈
=
− + +
− +
− +
=
=
∗
−
−
∗ +
− +
− +
•
<
−
<
−
>
∈
∃
∈
∀
•
•
∗
⇔
≤
∞
→
•
≤ + + +
≤ + + +
∀
•
≤ +
+ +
=
−
∀
>
∀
>
∃
>
∀
⇔
−
⇔
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⇔
≤ +
+ +
∀
>
∀
>
∃
>
∀
⇔
•
<
+ + +
≤ +
+ +
∀
>
∀
>
∃
>
∀
•
∗
≤
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
=
−
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+ +
+ +
=
∞
=
+ +
+
∞
=
+ +
+ +
+ +
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
− +
+
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
ε ε
ε
ε ε ε
o
Trang 2Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1
( )
{ }
( )
, , ,
, lim ,
:
1 :
,
, : 0 ,
0
~
0
~
~
~
~
~
~
~
~
~
1
~ 2
1
~
~ ,
~
~
)
4
,
1 1
1
1 1
,
1 ,
1
,
0 1
),
1 0
0
0 inf
,
"
, 1 1
, 0 ,
2 2 1 1 2 2 1 1 2
1 2
1
1
2 1 2
1
2 1 2
1 1
1
1 1
1 1
0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
Ax Ax
x x
A X
x x K
X x x A Ax
Y X
A
x A x
A X
x
x x A A x A x A X x
A N
m n N
A
x
u u
u x x
x x x
x x
x x u u
u x x
u x x
x u
x u
x u N n
x x
Y y d
d
d d d y x
d y z d
y z
d y y z y z Y
y y z y Y
y y
y y z y z y z
y y z
y z y x Y
y
x y
z
y z x
d y z d Y y d
y z Y
z d d
Y y y
x x
x Y
z
n n
n n n
m n m
n
m n
n
n
n
n n
n n
n n
n n
n
n
n n
n n
n n
n n n
n n
n
Y y
α α
α α α
α
ε
ε ε
ε δ
δ δ
δ
δ δ
δ ε
ε δ ε
ε
ε
ε
+
= +
∈
∀
∈
∀
•
∈
=
→
•
−
⇒
∈
∀
⇒
<
−
≤
−
∈
∀
•
<
−
>
∀
>
∃
>
∀
•
∗
−
•
→ +
+ +
−
≤ + + +
−
+ + +
−
∈ + + +
−
∈
=
−
•
+
<
⇒ +
<
∈
∃
∈
•
−
•
•
∗
∈
∀
−
= +
−
= +
= +
>
−
•
+
>
−
⇒ +
<
−
•
>
− +
−
∈
− +
∈
•
− +
−
−
=
−
−
−
=
−
∈
∀
•
=
→
−
−
=
•
+
<
−
≤
∈
∃
>
−
=
<
<
>
∀
•
>
−
=
=
∉
•
∗
∈
∀
−
>
−
=
∃
>
∀
∉
∀
∞
→
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∈
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
: có Ta
: CM
cần
Ta
tính
tuyến tử toán là A
thấy
Dễ
:
Đặt
tụ
hội dãy
nên Banach
-Y Do Y
trong Cauchy dãy
là
:
đó
Do
A : có ta :
đó Khi Y)
L(X, trong Cauchy dãy
là
sử
Giả
: minh
Chứng
Banach
KG là Y X, L thì Banach KG
là
Y
Nếu
5)
tụ
hội
Vậy
: nên
Vì X/Y
có Ta Gọi
tụ hội :
đó
Do
: cho sao
mỗi với thương, KG
trong chuẩn của nghĩa định
Theo
tụ
hội chuỗi
là nghĩa X/Y, trong đối tuyệt tụ hội
chuỗi
sử
Giả
tụ
hội đều X/Y trong đối tuyệt tụ hội chuỗi mọi
CM
Ta
: minh
Chứng
Banach
KG 1 là X/Y thì X của đóng con KG là Y và Banach KG
là
X
Nếu
:
đó
Do
: Mặt khác
: đó Do
: nên
và con KG
là
Y
Vì
: có ta
đó
Khi
và z và Y bởi nên gây tính tuyến con KG thuộc x
:
Đặt
: :
inf nghĩa định theo
với chọn
thể có ( bé
đủ
: nên đóng Y
Y,
z
Vì
: minh
Chứng
và :
cho sao z và Y bởi nên gây tính tuyến con gian không
thuộc
thì X chuẩn định gian không của đóng con gian không là
Y Nếu
"
: Riesz
Lý
Định
3)
n 0
Trang 3( ) ( )
( )
{ }
{ } { }
2
&
lim
&
1 ,
0 inf
,
inf
,
, 0
,
)
7
,
, ,
Ta
, , , ,
1 ,
0
0 ,
0
, ,
,
,
0
0
, 1
0
, , ,
, ,
,
,
2
, ,
,
2
2 2
2 2
2 2
2
2 1
2 2
1 2
2
2 1
2
2
1
2 1 2
2 1
1 2 2
1 2
1
m n
m n m
n
m n
n n
n n
n n
n n
M u
M u
n n n
n
m n m
n
m n n
m m
n m
m m
n
n i n
n
i n
n n
n n
n i i i
i n
i
n j
j j j
i n
i
i
n j
j j j j
j j j j i i j
i i j
i i n
n i i n
i i n
n
n n n
n
u x u
x u
u u
u
x
u x u x u
d u x M
u
n d u x d M
u N n
u x M
x d d
u x y
x
s
m n m
n s
s
x x
x x
x x
s
s
m n x
x s
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x x n j x
x x x
x x x
x x
x x
n j x
S x x x
x x
S x x x
N n A
A
Y X L A A A A Y X L A A N n
X
x
x Ax x A
− +
−
=
− + +
−
−
−
•
=
−
⊂
∞
→
•
+
<
−
≤
∈
∃
∈
∀
⇒
•
>
−
=
=
∉
•
∈
∈ +
=
∈
•
∗
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
∈
∈ +
=
∈
⇔
•
∞
→
∞
→
−
⇔
∞
→
→
−
•
−
= +
+ +
= +
+ +
=
−
>
∀
=
=
•
∗
⇔
=
=
=
=
•
⇒
⇒
=
∀
=
>
=
≠
•
=
=
=
=
=
∀
=
∈
•
∗
=
∈
>
∀
<
−
⇒
•
∈
−
−
=
→
∈
−
→
>
∀
∈
∀
•
≤
−
∞
→
•
∞
→
∈
⊥
∈
⊥
+ +
+ +
=
=
∞
=
∞
=
=
=
= =
=
=
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
: có ta
cho hành bình hình thức đẳng dụng áp
vậy,
Thật
bản)
cơ dãy hay ( Cauchy
dãy là
CM
Ta
được ta
n
Cho
: cho sao inf
nghĩa
định
Do
: nên đóng M Vì : M
x
Khi
M 0 M, x với 0, x x : viết thể có ta thì
M
x
Khi
: minh
Chứng
nhất
x gần M của tử phần là y đó trong , M z M, y
với
z,
y
x
dạng nhất duy diễn biễu đều X x mọi đó Khi Hilbert X
gian không của đóng con gian không là
M
sử
Giả
8)
tụ hội
tụ hội
nên đầy gian không
là
X
Do
:
đó
Do
: có ta Pythagore,
lý định Theo
Gọi
: minh
Chứng
tụ hội
chuỗi
tụ hội
chuỗi đó Khi Hilbert X
gian không trong giao trực hệ là
sử
Giả
:
có
tính
tuyến lập độc
hệ
là
S
tính
tuyến lập độc hệ là :
đó Do nên
Vì
: có ta
đó Khi :
sử Giả :
tơ
véc
n
Lấy
: minh
Chứng
: có ta :
tơ véc n với
nữa,
Hơn
tính tuyến lập độc hệ là S đó Khi 0
khác tơ véc các gồm giao trực hệ 1 là S sử Giả
"
: Pythagore
lý
Định
6)
Banach
KG là Y) L(X, Vậy Y)
L(X, trong A về tụ hội A thấy Cho
: thì m
cho
1
Từ
1 i 1
i
1 n 1
n
n 1 i
n 1 j
n 1 i
n 1 i
n 1 i
n 1 i n
σ
σ σ
σ σ σ
α
α α
α
α ε
ε
Trang 4Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1
{ }
{ }
( )
{ }
, , ,
, , , ,
1 , ,
1 ,
0 ,
, ,
, ,
,
,
1
,
2 , 1
."
, , ,
'
&
' 0
' '
, ' '
, ' 0
' '
0
,
0 ,
'
,
0 ,
2 ,
2
,
,
2 ,
2 ,
, 2 , ,
lim
0 lim
2 lim
4
2 0
4 2
1
4 4
2
2 1
2
1
2 1
2 2
1
2 2
2
1 2
1 1
1 1
1 1
2 1
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
,
2 2 2
, 2
2 2
2 2
2
2 2
i e x x
y e
y e
y x
e e
y n j e y
n i e y
e x e e e
x e
e x
e y n
j
e y
x n
e x
y
i e x x
e
z z y y y
y y y y y z z y y
z z y y
M z M z u
z u
z
R u
z u
f d u
u z d
M u y d u y x u z u z u z
u u z d
u u z z
u u u
z z z u z
u
z
d z z y x y x z
d u x y
x
u u
u u d
d u
u d
u u d u
x u
x
d u
u x u
u x d
u u x M
u u
i i
i
n i i n
i i n
n i i i n
n i i i n
n n n
j j n i
i
n
j j n
i
j i i i
j n
i i i j
n
n i i i n
n i i i n
i i
i
i i
n n
n n
n n
m n m n m
n m n
m n m
n
m n m
n m
n m
n
∀
=
≤
∞
→
•
≥ +
= +
= +
=
•
⇒
=
∀
⊥
⇒
=
∀
⊥
⇒
=
−
=
−
=
−
=
=
∀
•
+
=
⇒
=
−
=
∈
∀
•
∗
∀
=
≤
∈
∀
=
=
⇒
=
−
⇒
−
−
=
−
−
=
∈
∈
−
=
−
∈
∈ +
= +
=
•
∈
∈ +
=
•
∈
⇔
⊥
⇔
=
⇔
≤
= Δ
•
∈
∀
≥
−
=
⇒
≥ +
−
⇒
∈ +
≥ +
−
=
−
=
−
−
•
+
−
= +
−
= +
−
=
−
−
∈
∀
∈
∀
•
∈
⇔
⊥
= +
=
⇔
−
=
•
=
−
=
−
•
•
=
−
⇔ +
≤
− +
∞
→
•
≥
− +
≥
− +
−
⇒
•
≥
+
−
= +
−
≥
+
−
∈
+
•
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∞
=
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
∞
→
∞
→
∞
→
i
i
với
thì n
Cho
: có ta Pythagore lý
định
Theo
giao
trực hệ
: có ta
đặt X,
x
: minh
Chứng
với
: có ta X x đó Khi Hilbert X
gian không trong chuẩn trực hệ là sử Giả
"
: Bessel thức
đẳng
Bất
9)
:
đó
Khi
M z -z' M, y' -y nên con gian không các là M và M Vì :
đó
Khi
M z , z' M, y' y, z' y' z y x sử giả vậy, Thật nhất
duy là diễn biễu
Sự
M z M, y với z y x có ta lại,
Tóm
ra xảy này Điều
đó
Từ
: Mặt khác
: có ta R M,
u
Lấy
M z M z : CM Ta
và :
Đặt
:
đó
Khi
M
thuộc y tử phần về tụ hội
dãy đó Do đầy
M nên đầy X trong đóng
M
Vì
M
trong ) bản cơ dãy hay ( Cauchy dãy
là
đó
Do
: được ta
m n, khi (2) hạn giới qua
Cho
2 :
đó Khi 2
nên 2
Vì
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ
ξ ξ
ξ ξ
α α
α α
α α
α α
α α
α
α α
α α
α α
α α
α
Trang 5{ }
{ }
( ) ( )
0 0
, 0 ,
, :
,
:
lim
, lim
, lim
lim , lim
, ,
,
2 , 1 , , ,
, :
0
, :
, ,
, ,
,
,
2 , 1 ,
)
11
, 0
, lim
,
&
,
1 1
1
2 2
1
2 2
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
2 2
1
1 1
1
1
2 1
2 1
2 1
1
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
∞
→
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
∞
→
=
∞
→
=
=
∞
→
=
∞
→
=
∞
→
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
∞
→
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
=
∈
∀
⇒
•
=
⇒
=
=
⇒
∀
=
=
∀
⊥
⇒
•
=
=
=
⇒
•
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⇒
•
=
⇔
=
−
∀
⊥
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⇒
•
∗
=
=
=
=
⇒
∈
∈
∀
=
⇒
∈
∀
=
⇒
∈
∀
=
=
∀
⊥
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⇒
=
−
=
−
>
∀
•
∞
<
≤
=
•
∗
∀
⊥
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∈
∀
n i i i n
i i i
i i i
i i
i i
i i i n
i i i n
n
i
i i i i
n
n j j j n
i i i n
n j j j n
n i i i n
j j j i
i i
j j
i i
i i i i
i i
i i j
i i i
i i
i
i i
i i
i i i
i i
i i i
i
i
i i
i
j i
i i j
n i i i n
j i
i i
i i i i
i i
i i
j i
i i
i i i i
i
e e
x X
x v
ii
x x
i e
x i
e x i
iii
x x x iii
iv
e e
e e
e e
e e
y
x
j i e y e
x iv
ii
e x
e x
e j e e x
ii
i
X e L e
e y e
x y
x X y X x
x X x
e x
X x
e
i e x e
j e e x
e e x
e e x
j n j
e x
e
j e e x
e e
ξ ξ
ξ ξ
ξ
η ξ η
ξ η
ξ
η ξ
η ξ
η ξ
η ξ
ξ ξ
ξ
η ξ
η ξ ξ
ξ
ξ
ξ ξ
ξ
ξ ξ
ξ
ξ
ξ
: có ta
đó Khi (ii)
có sử Giả
: đó Từ
và (iii) có sử Giả
: được ta thì y cho (iv) Từ
: có ta
Với
: nên đủ đầy chuẩn trực hệ là Vì
có ta (10) câu Theo
: minh
Chứng
là nghĩa X trong mật trù tính tuyến
Hệ
(v)
với (iv)
Passerval thức
đẳng (iii)
(ii)
đủ
đầy chuẩn trực hệ là
(i)
: đương tương là sau đề mệnh các đó Khi e với
đối
x
của Fourier số
hệ là
và Hilbert X gian
không trong chuẩn trực hệ là
sử
Giả
: có ta :
Mặt khác
tụ hội
chuỗi ra suy ta (7) câu theo nên
Vì
: minh
Chứng
và
tụ hội
chuỗi X x đó Khi Hilbert X
gian không trong chuẩn trực hệ là
sử
Giả
10)
i si Cờ
j ta ê
i si Cờ
i ta ê
i si Cờ i
i
Trang 6Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1
{ }
( ) ( ) ( ) Giả sử có (v)và ( ) { } ( ) { } { } là hệtrựcchuẩnđầyđủ
nên e tử phần các tính tuyến hợp tổ các dãy 1 của hạn giới là
x
thấy
i i i
i i
i
e x
e L x e
L x i e x i
v
e L x
⇒
=
⇒
⊥
⇒
⊥
⇒
∀
⊥
⇒
•
∈
0 ,
: