Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB.. Đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K ; đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.. 1.Chứng
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn
Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012
Môn : Toán (dùng chung cho tất cả thí sinh)
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát đề
Ngày thi: 18 tháng 6 năm 2011
Câu1 (2 điểm) Cho biểu thức A
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x x
1.Rút gọn biểu thức A (với x 0,x 1)
2 Chứng minh rằng A
3 2
Câu 2(2 điểm)
Cho parabol (P): 2 và đường thẳng (d): y= mx –m +2 (với m là tham số)
2
1
x
y
1 Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu 3 : (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình :
19 2 5
12 3 2
y x
y x
2 Giải phương trình 6 2
9
3
2
x
x x
Câu 4: (3 điểm) Gọi C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB ( C ,A CB) Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy
điểm I (I A) Đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K ; đường tròn đường
kính IC cắt IK tại P
1.Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CPKB nội tiếp được trong đường tròn Xác định tâm của đường tròn đó
b)Tam giác ABP là tam giác vuông
2 Cho A, I, B cố định Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất
Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a+b+c = 2 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: P=
b ca
ca a
bc
bc c
ab
ab
2 2
-Hết -(cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh……… Số báo danh………
Chữ ký của giám thị số 1: ……… chữ ký của giám thị số 2………
Đề CHíNH THứC
Trang 2Đáp án Câu1 : Rỳt gọn biểu thức A
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x x
3
3 2 1
2 3 ) 3 )(
1
(
11 15
x
x x
x x
x
x
) 3 )(
1 (
) 1 )(
3 2 ( ) 3 )(
2 3 ( 11 15
x x
x x
x x
x
) 3 )(
1 (
3 3 2 2 6 2 9 3 11
15
x x
x x x x
x x x
) 3 )(
1 (
5 2 7
x x
x x
) 3 )(
1 (
) 5 2 )(
1 (
x x
x x
A=
)
3
(
)
5
2
(
x
x
3
2
) 3 (
) 5 2 (
x x
3
2
3
2
) 3 (
) 5 2 (
) 3 (
3
) 5 2 (
3 ) 3 ( 2
x
x x
0 0 là đỳng vỡ x nờn 17 và 3.( +3) > 0
) 3 (
3
15 6 6
2
x
x x
) 3 (
3
17
x
x
vậy A được chứng minh
3
2
Câu 5-a)Vì a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+( bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b)
vỡ a ; b ; c > 0 nờn 1 0và ỏp dụng cosi ta cú 2
c
1
c
c
a
1
c
b
1
) )(
(
1
c b c
a
dấu (=) khi a + c = b + c a = b
c
a
1
c
b
1
2
1 ) )(
(
1
b c a c b
c a
(1)
ab a c
ab b
c a c
ab ab
c
ab
2
1 ) ( 2
Chứng minh tương tự ; (2) dấu = khi b = c
bc b a
cb a
bc
bc
2
1 2
(3) dấu = khi a = c
ca b c
ca ca
b
ac
2
1 2
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta cú
b ca
ca a
bc
bc c
ab
ab
2 2
1
b c
ab a c
ab
cb a b
cb
ac a b
ac
2
1
ab
ac b a
cb b
c
ac c b
ab a
c
cb a c
ab
( ) (
) (
2
1
b a
a b c c b
c b a a c
b c
(
P=
b ca
ca a
bc
bc c
ab
ab
2 2
2
1 2
a b c
min P = 1 khi a = b = c =
3 2
Câu 2:Cho parabol (P): 2 và đường thẳng (d): y= mx –m +2 (với m là tham số)
2
1
x
y
3 Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4
4 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Giải :
Trang 3P
x
K
C
I
O
O'
a) toạ độ giao điểm của parabol (P): 2 và đường thẳng (d): y= mx –m +2
2
1
x
y
là nghiệm của hệ phương trỡnh hoành độ giao điểm là :
2
2
1 2
m x m y
x y
vi (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4 thay vào ta cú :
2
2
1x2 m xm
8 = 4m - m +2 3m = 6 m = 2 vậy thỡ (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4 b) để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi hệ
2
2
1 2
m x m y
x y
hay 2 x2 -2mx +2m - 4 = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt > 0
2
1 2
m x m
mà = 4m2 -4(2m - 4 ) = 4m2 -8m + 16 = (2m)2 – 2.2m.2+ 4+12 = ( 2m – 2)2 + 12 > 0 với mọi giỏ trị của m Vậy với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu 3 : 1- Giải hệ phương trỡnh :
19 2 5
12 3 2
y x
y x
Đặt a = và b = ta cú hệ
y
1
x
1
19 2 5
12 3 2
a b
a b
57 6 15
24 6 4
a b
a b
33 11
12 3 2
b
a b
=2 y =
3
12
3
2
b
a
b
3
2
b
a
y
1
2 1
và = 3 x = vậy nghiệm của hệ
x
3 1
2 1 3 1
y x
2-Giải phương trình 6 2 điều kiện x >3 hoặc x <-3
9
3
2
x
x x
ta thấy x = 0 khụng phải là nghiệm ư
nờn
x x
2 6 9
3
1
2
9
3
x
9
3
2
x
Câu 4: 1.Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CPKB nội tiếp được trong đường tròn Xác định
tâm của đường tròn đó
Xột đường trũn tõm O đường kớnh IC ta cú P (O)
Nờn I ˆ P C = 900 do đú K ˆ P C = 900 ( kề bự với
= 900 )
C
P
K ˆ
theo bài ra ta cú By AB mà K By ; C AB
= 900 + = 1800 mà và
C
B
K ˆ K ˆ P C K ˆ B C K ˆ B C K ˆ P C
là hai gúc đối của tứ giỏc CPKB vậy CPKB nội tiếp
được trong đường tròn mà K ˆ B C= 900 nờn KC là đường
kớnh
b)Tam giác ABP là tam giác vuông
Xột ( O ; ) ta cú ( nội tếp cựng chắn cung PC ) (1)
2
IC
P I C C A
Pˆ ˆ
Trang 4Xột ( O’ ; ) ta cú ( nội tếp cựng chắn cung PC ) (2)
2
KC
C B P C K
Pˆ ˆ
Theo bài ra thỡ IC KC tại C nờn I ˆ C K = 1V nờn C IˆPC KˆI = 1V (3) thay (1) ; (2) vào (3) ta cú P ˆ A C + P ˆ B C = 1V vậy Tam giác ABP là tam giác vuông.tại P
2-Cho A, I, B cố định Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất Ta cú tứ giỏc ABKI cú AI//BK ( cựng AB) và = 1V nờn ABKI Bˆ
là hỡnh thang vuụng nhận AI và BK là hai đỏy và AB là đường cao
SABKI = (AI+ BK) AB mà A ; B ; I cố đinh nờn AI ; AB khụng đổi nờn để SABKIđạt
2
1
Max khi BK đạt Max BK =AI lỳc bấy giờ (O) và (O’) bằng nhau nờn CI = CK
CIK cõn CP và đường cao nờn PI = PK
mà PC // BK ( cựng vuụng gúc AB) nờn PC là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABKI nờn C là trung điểm của AB