CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1.. Áp dụng 1 chứng minh các bất đảng thức sau a.. Áp dụng 1 chứng minh các bất đảng thức sau a.. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các bi
Trang 1CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau
a a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca b a² + b² + 1 ≥ ab + a + b
c a2 2 2 d a²(1 + b²) + b²(1 + c²) + c²(1 + a²) ≥ 6abc
b c ab ac 2bc
4
e a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e)
f 1 1 1 1 1 1 với a, b, c > 0
a b c ab bc ca
g a b c ab bc ca với a, b, c ≥ 0
Bài 2 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a a3 b3 a b 3 với a, b ≥ 0 b a4 + b4≥ a³b + ab³
c a4 + 3 ≥ 4a d a³ + b³ + c³ ≥ 3abc, với a, b, c > 0
e 4 4 6 6 ; với a, b ≠ 0 f ; với ab ≥ 1
a b
a b
b a
1 ab
1 a 1 b
g (a5 + b5)(a + b) ≥ (a4 + b4)(a² + b²); với ab > 0
Bài 3 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng nếu a 1 thì (1) Áp dụng (1) chứng
b a a c
b b c
minh các bất đảng thức sau
a b b c c a
a b c b c d c d a d a b
a b c b c d c d a d a b
Bài 4 Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (1) Áp dụng (1) chứng minh các bất đảng thức sau
a (a b c)2 3(abbcca) b a2 b2 c2 a b c 2
c a4 + b4 + c4≥ abc(a + b + c) d a b c ab bc ca với a, b, c > 0
Bài 5 Cho a, b không âm Chứng minh bất đẳng thức: a³ + b³ ≥ ab(a + b) (1) Áp dụng (1) chứng minh các bất đảng thức sau
a 3 13 3 13 3 31 1 ; với a, b, c > 0
abc
a b abc b c abc c a abc
b 3 13 3 13 3 13 1; với a, b, c > 0 và abc = 1
a b 1 b c 1c a 1
c 1 1 1 1; với a, b, c > 0 và abc = 1
a b 1 b c 1c a 1
d 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ; với a, b, c ≥ 0
4(a b ) 4(b c ) 4(c a ) 2(a b c)
Bài 6 Chứng minh bất đẳng thức Min–cốp–xki:
Trang 2a x b y (ab) (x y)
Áp dụng (1) chứng minh các bất đảng thức sau
a Cho a, b ≥ 0 thỏa a + b = 1 Chứng minh: 2 2
1 a 1 b 5
b Tìm GTNN của biểu thức P = a2 12 b2 12
c Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh
d Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x y z 3 Tìm GTNN của biểu thức sau:
P = 223x2 223y2 223 z 2
Bài 7 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh:
a ab + bc + ca ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca)
b abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² – (a4 + b4 + c4) > 0
d a(b – c)² + b(c – a)² + c(a + b)² > a³ + b³ + c³
HD: a Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a2 b22bcc2
b Gợi ý a² > a² – (b – c)²
c Phân tích thành nhân tử (a + b + c)(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0
d Phân tích thành nhân tử
Bài 8 Cho a, b, c > 0 Chứng minh
a (ab)(bc)(ca)8abc b 2 2 2
(a b c)(a b c )9abc
3
(1 a)(1 b)(1 c) 1 abc bc ca ab a b c
a b c
e ab bc ca a b c f
a b b c c a 2
b c c a a b 2
Bài 9 Cho a, b, c > 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a (a3 b3 c )3 1 1 1 (a b c)2
a b c
b 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²)
c 9(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³
2 2
a b
2 a b 2ab
b Chú ý: a³ + b³ ≥ ab(a + b)
c Áp dụng 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²) và chứng minh được: 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²
Bài 10 Cho a, b > 0 Chứng minh 1 1 4 (1) Áp dụng chứng minh:
a b a b
a 1 1 1 2 1 1 1 ; với a, b, c > 0
a b c a b b c c a
b 1 1 1 2 1 1 1 ; với a, b, c > 0
a b b c c a 2a b c a 2b c a b 2c
Trang 3c Cho a, b, c > 0 thỏa 1 1 1 4 Chứng minh:
2a b c a 2b c a b 2c
d ab bc ca a b c; với a, b, c > 0
a b b c c a 2
e Cho x, y, z > 0 thỏa x + 2y + 3z = 12 Chứng minh: 2xy 8yz 4xz 6
x 2y 2y 4z 4z x
f Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh:
2
p a p b p c a b c
HD: Biến đổi tương đương chứng minh được (1)
d (1) <=> ab 1(a b)
a b 4
e Áp dụng câu d với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12
p a p b p a p b c
Bài 11 Cho a, b, c > 0 Chứng minh 1 1 1 9 (1) Áp dụng (1) chứng minh các
a b c a b c
bất đẳng thức:
a (a2 b2 c )2 1 1 1 3(a b c)
a b b c c a 2
b Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = 1 Tìm GTLN của biểu thức: P = x y z
x 1 y 1 z 1
c Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c ≤ 1 Tìm GTNN của biểu thức sau
P = 2 1 2 1 2 1
a 2bc b 2ac c 2ab
d Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 Chứng minh rằng 2 12 2 1 1 1 30
ab bc ca
Bài 12 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
a y x 18; với x > 0 b ; với x > 1
2 x
2 x 1
c y x 5; với 0 < x < 1 d ; với x > 0
1 x x
3 2
x 1 y
x
Bài 13 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a y = (x + 3)(5 – x) với –3 ≤ x ≤ 5 b y = (x + 3)(5 – 2x) với –3 ≤ x ≤ 5/2
c ; với x > 0 d
2
x
y
x 2
2 3 2
x y
x 2
Bài 14 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a a² + b² ≥ 2, với a + b = 2 b 2 2 735, với 2a – 3b = 7
3a 5b
47
c a2 b2 4, với a + 2b = 2 d
5
(x 2y 1) (2x 4y 5)
5
Bài 15 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Trang 4a 2 2 1, với a + b ≥ 1 b , với a + b ≥ 1.
a b
2
a b
4
c 4 4 1, với a + b ≥ 1 d , với a + b = 2
a b
8
a b 2 Bài 16 Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P 1 x 1 y 1 z
Bài 17 Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1 Chứng minh:
HD:
2
2
x (1 9 ) x
x x
2 2
x 82
x
Suy ra
P 1 (x y z) 9 1 1 1
x y z 82
Hay P ≥ 1 (x y z) 1 1 1 80 1 1 1
9x 9y 9z 9 x y z 82
Bài 18 Cho a, b, c 1 thỏa Chứng minh bất đẳng thức
4
a b c 1
7 4a 1 4b 1 4c 1 21
HD: x y z x y z Từ đó suy ra (1)
Bài 19 Cho x, y > 0 Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a A 4 1 , với x + y = 1 b B = x + y, với
x 4y
x y Bài 20 Tìm GTLN của các biểu thức Ax 1 y y 1 x , với mọi x, y thỏa x² + y² = 1 Bài 21 Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:
a A 7 x 2x , với –2 ≤ x ≤ 7 b B6 x 1 8 3 x , với 1 ≤ x ≤ 3
c C = y – 2x + 5, với x, y thỏa 36x² + 16y² = 9
HD: c y 2x 1.4y 1.6x
Bài 22 Giải các bất phương trình sau:
a 3 3 2x 7 b
2x
Bài 23 Giải và biện luận bất phương trình sau: m(x 2) x m x 1
Bài 24 Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a m²x + 1 ≥ m + (3m – 2)x b mx – m² > mx – 4
Bài 25 Giải các hệ bất phương trình sau:
Trang 5a 3x 1 2x 7 b c
4x 3 2x 19
4x 5
x 3 7
3x 8
2x 5 4
12x x
4x 3 2 x
Bài 26 Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:
5
7
8x 3
2x 25 2
1 15x 2 2x
3 3x 14 2(x 4)
2
Bài 27 Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a 7x 2 4x 19 b
2x 3m 2 0
x 1 0
mx 3 0
2
x 4m 2mx 1
3x 2 2x 1
mx 1 0 (3m 2)x m 0
Bài 28 Giải các bất phương trình
a (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0 b (2x – 7)(5 – x) ≥ 0 c x² – x – 20 – 2(x – 11) > 0
d x³ + 8x² + 17x + 10 < 0
Bài 29 Giải các bất phương trình
4x 3
x 3 x 5
x 1 x 2
2x 5
1
2 x
x 12x 1
2
2x x
1 x
1 2x
Bài 30 Giải các bất phương trình
a 5x 12 3 b 3x 15 3 c x 2 x 1 d 2x 5 x 1
Bài 31 Giải và biện luận các bất phương trình
x 1
mx m 1
0
x 1
x 1(x m 2)0 Bài 32 Xét dấu các biểu thức sau:
a 3x² – 2x + 1 b (x² – 4x + 3)(x – 5) c 2x² – 7x + 5
d
2
(3x x)(3 x )
4x x 3
Bài 33 Giải các bất phương trình:
a –2x² + 5x – 2 < 0 b 5x² – 4x – 12 < 0 c –2x² + 3x – 7 ≥ 0
2 2
3x x 4
0
x 3x 5
2 2
4x 3x 1
0
x 5x 7
Bài 34 Giải các hệ bất phương trình sau:
2
2
2x 9x 7 0
x x 6 0
2 2
2x x 6 0 3x 10x 3 0
2 2
2x 5x 4 0
x 3x 10 0
2
2
x 4x 7 0
x 2x 1 0
2 2
x 2x 7
x 1
2 2
1 x 2x 2
1
13 x 5x 7
Trang 6Bài 35 Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a 3x² + 2(m – 1)x + m + 4 > 0 b x² + (m + 1)x + 2m + 7 > 0
c mx² + 9m – 1)x + m – 1 < 0 d (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0
e 3(m6)x23(m3)x2m 3 3
Bài 36 Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
a (m – 3)x² + (m + 2)x – 4 > 0 b (m² + 2m – 3)x² + 2(m – 1)x + 1 < 0
c mx² + 2(m – 1)x + 4 ≥ 0 d (3 – m)x² – 2(2m – 5)x – 2m + 5 > 0
Bài 37 Giải các bất phương trình
a 2x2 5x 3 0 b 2 c
x 8 x 3x4 x 3 x 1 2
d x2 4x 3 x2 4x5 e 2 2
x 3x 2 x 2x0
2
x 2
3
x 5x 6
2 2
x 4x
1
x x 2
2x 5
1 0
x 3
Bài 38 Giải các phương trình sau:
a 3x 5 3x 6 32x 11 b 3x 1 33x 1 3 x 1
c 3x 1 3x 2 3 x3
Bài 39 Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
a 3x2 5x 8 3x2 5x 1 1 b 35x 7 35x 13 1 0
c 39 x 1 37 x 1 4 d 3 3
24 x 5 x 1
e 4472x 4352x 4 f x2 4356 x 2 2
x x 4356 x 5 x
Bài 40 Giải các bất phương trình sau:
a x2 x 12 8 x b 2
x x 12 7 x
c x2 4x21 x 3 d 2
x 3x 10 x 2
e 2x 6x2 1 x 1 f 2x 3 x 2 1
g x 3 7 x 2x8 h 2 x 7 x 3 2x
Bài 41 Giải các bất phương trình:
a (x3)(8x) 26 x2 11x b (x5)(x 2) 3 x(x3) 0
c (x 1)(x 4)5 x25x 28 d 2 2
3x 5x 7 3x 5x 2 1 Bài 42 Giải các bất phương trình:
2
x 4x
2
3 x
x x 6 x x 6
Bài 43 Giải các bất phương trình sau:
a x 2 3x2 8 0 b 3x 1 x 3 0
Bài 44 Giải các bất phương trình sau:
a x24x 5 4x 17 b x 1 x 2 3 c 2 x 3 3x 1 x 5
d x2 5x 4 x24 e 2 f
x 6 x 5x9 2
x 2x 3 2 2x 1