Đề thi thử học sinh giỏi lần 12 năm học 20132014 môn toán thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề40219

Gọi M là trung điểm của AA’.. Tớnh thể tớch của khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh rằng BM vuụng gúc với B’C.

SỞ GD&ĐT HOÀ BèNH

TRƯỜNG THPT 19-5 ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 12 NĂM HỌC 2013-2014 Mụn TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề, khụng sử dụng

mỏy tớnh bỏ tỳi.

Cõu I ( 5,0 điểm) Cho hàm số 2 4 cú đồ thị (C)

1

x y x





 1) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(0; 20)

2) Tỡm trờn đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3;0) và N(-1;-1)

Cõu II (6 điểm)

1 3 2

   2) Giải phương trỡnh: 2    

cos cos 1

2 1 sin sin cos

x





3) Giải hệ phương trỡnh: 2 2







Cõu III (4,0 điểm)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a Gọi M là trung điểm của AA’ Tớnh thể tớch của khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh rằng BM vuụng gúc với B’C.

Cõu IV (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d cú phương trỡnh 2x – y + 3 = 0

1) Tỡm điểm A' đối xứng với A qua d

2) Lập phương trỡnh đường thẳng () qua A và tạo với d một gúc α cú cosα 1

10



Cõu V (2,0 điểm)

1) Tỡm m để phương trỡnh 2 sin 4xcos4xcos 4x2 sin 2x m 0 cú nghiệm trờn

0;

2



2) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = 3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

4

3 3

1 3

1 3

1

a c c b b

a

P













-HẾT -HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 12 Câu I.

2 Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có ; 2 6 ; ; 2 6 ; , 1

Trung điểm I của AB: I ; 2 2

a b a b

Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0

Có : AB MN. 0

I MN









 

=> 0 (0; 4)

2 (2; 0)



Câu II

1/

1 TXĐ: x  1;3

Đặt t= x 1 3x , t > 0=> 2 2 4

3 2

2

t

đc pt: t3 - 2t - 4 = 0  t=2

3

x

x

 



 2/

Giải phương trình 2    

cos cos 1

2 1 sin sin cos

x





ĐK: sinxcosx0

 1 sinx1 cos xsinxsin cosx x0

 1 sinx1 cos x1 sin x0

(thoả mãn điều kiện)

x

x

 





2 2

2

   







 



k m, Z

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 2 và

2

x   k 

2

x  m  k m, Z

Đặt xy = p 2

2

3 11

3 26 105 0

3







 

p p

p

(1)   2  p = xy = (loại)  p = xy = 3 

3

1/ Với 3 3 2/ Với

2 3





 



xy

3

3

2 3





  



xy

Vậy hệ cú hai nghiệm là:  3; 3 ,  3;  3

Cõu III

Gọi H là trung điểm của BC

H M

A

B

C

C'

B' A'

2

a

d M BB C AH

S  BB BC V  AH S 

Gọi I là tõm hỡnh vuụng BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hỡnh)

Ta cú B C' MI B C; ' BC'B C' MB

Cõu IV

PT đường thẳng () cú dạng: a(x – 2) + b(y +1) = 0  ax + by – 2a + b = 0

Ta cú: 7a2 – 8ab + b2 = 0 Chon a = 1  b = 1; b = 7

2 2

cos

10





 (1): x + y – 1 = 0 và (2): x + 7y + 5 = 0

Cõu V

1)

Ta cú sin4 os4 1 1sin 22 và

2

x c x  x cos4x 1 2 sin 2 2 x

Do đú  1  3sin 22 x2 sin 2x 3 m

Đặt tsin 2x Ta cú 0; 2  0;  0;1

2

x   x  t

Suy ra f t  3t2  2t 3 m t,  0;1

Ta cú bảng biến thiờn

2)

áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

(*) z y x

9 z

1 y

1 x

1 9 xyz

3 xyz 3 z

1 y

1 x

1

)

z

y

x

(

3

3





































a 3 c c 3 b b a

9 a

3 c

1 c

3 b

1 b

a

1 P

























áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

3

3

3

a 3b 1 1 1

b 3c 1 1 1

c 3a 1 1 1

  

  

  

3

           1 4.3 6 3

3 4

   

Do đó P3

Dấu = xảy ra

3

a b c 4

4

a 3b b 3c c 3a 1

   



      

 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi abc1/4

Mọi cỏch giải khỏc cho kết quả đỳng đều được điểm tuyệt đối