Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số 2.. Tớnh thể tớch khối chúp.. Chọn ngẫu nhiờn 5 người đi trực tuần.. Hóy tớnh xỏc suất để chọn được đội trực tuần cú số học sinh nam nhiều hơn
Trang 1Trường ĐH Hồng Đức
Khoa KHTN
*********
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009
MễN: Toỏn; Khối B
Thời gian làm bài: 180 phỳt
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = - x + 3x3 2- 2 (C)
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số
2 Tỡm m sao cho tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của ( C ) song song với ( d m): y = -9x + m
Cõu II (2,0 điểm)
1 Giải hệ phương trỡnh:
0
1 2
3 y x y x
y x y
x
2 Giải phương trỡnh:
1 1
sin 4
4
13 sin
2 2 cos 3 2
2
2
x
x
Cõu III (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn: dx
x x
x
0 2
2 cos 3 1 cos
sin
Cõu IV(1,0 điểm)Cho hỡnh chúp tứ giỏc SABCD, đỏy là hỡnh thoi, AC = 6, BD = 8 và SA=SC; SB=SD
Cỏc mặt bờn hợp với đỏy một gúc 450 Tớnh thể tớch khối chúp
Cõu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn đẳng thức: ab+bc+ca = abc Chứng minh rằng:
3 2
2
2
ca
c a
bc
b c
ab
a
b
II - PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ đựoc làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1 Theo chương trỡnh Chuẩn
Cõu VI.a (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giỏc ABC cõn tại B, với A(-1; 1),
C( - 3; - 5) Đỉnh B nằm trờn đường thẳng d: y - 2x = 0 Viết phương trỡnh cỏc đường thẳng AB, BC
2 Trong khụng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) , C(1; 1; 3) Hóy tỡm điểm M thuộc mặt phẳng(ABC) sao cho 2 2 2 nhỏ nhất
MC MB
Cõu VII.a (1,0 điểm) Một học cú 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ Chọn ngẫu nhiờn 5 người đi trực
tuần Hóy tớnh xỏc suất để chọn được đội trực tuần cú số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ
2 Theo chương trỡnh Nõng cao
Cõu VI.b (2,0 điểm)1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường trũn lần lượt cú phương
trỡnh: (C1): x2 y22x2y110
(C2): x2 y2 2x2y70 và A( 1; 2) là giao điểm của (C1) và (C2)
Viết phương trỡnh đường thẳng ( d ) đi qua A và cắt (C1), (C2) lần lượt tại hai điểm M,N khỏc A sao cho AM=AN
2 Cho 2 điểm A(1 ; 1 ; 1), B(3 ; 1 ; -1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y - z - 2 = 0 Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho MAB là tam giác đều
Cõu VII.b (1 điểm)Đa thức P(x) = 2 3 10 được khai triển dạng: P(x) = a0 + a1x + + a30x30
) 2 1
( x x
Tìm hệ số a10
Họ tờn thớ sinh: ……….Số bỏo danh:………
trường ĐH hồng đức
(Đáp án – Thang điểm có 4 trang)
Trang 2I PHẦN CHUNG
Câu I: (2,0 điểm)
Tập xác định của hàm số: ¡
Giới hạn tại vô cực: lim ( )
x
f x
f x = - x + x= - x x
-Bảng biến thiên:
x - ¥ 0 2 + ¥
f '( )x 0 + 0
+ ¥ 2
f x( )
-2
- ¥
Nhận xét: Hàm số đạt cực đại tại x = 2, f CD = 2;
đạt cực tiểu tại x= 0, f CT = - 2
0,5
Đồ thị:
0,25
Gọi là tiếp tuyến của (C), do song song với d m nên k=-9
x 3
0,25
* Với x=-1 suy ra pt ( ): y = -9x-9.
Kết hợp với giả thiết bài toán suy ra m=-9 hoặc m=25
Câu II: (2,0 điểm)
Điều kiện x+y 0 và 3x+2y 0 Đặt u = x y và v = 3x 2y , suy ra x = v2 – 2u2 và
Phương trình đã cho trở thành u v 2 1 2 v u 12
Trang 3
u 2, v 3
u , v (lo¹i)
Phương trình đã cho tương đương với 2 3 cos 2x 1 cos 2x 2 cos 2x 1
2
sin 2x 3 cos 2x 0 tan 2x 3
0,5
Kết hợp với điều kiện ta có
2
3
, k 5
3
Câu III: (1,0 điểm)
Tính tích phân
/ 4
2 0
sin x
cos x 1 3cos 2x
Ta có
Đặt t = 4 2 tan x 2 , ta có t2 = 2 , suy ra 2tdt = -4tanx ; x 0
t 2 2
2
2
t.dt I
t
2
t
0,5
Câu IV: (1,0 điểm)
Từ giả thiết suy ra SO (ABCD) Gọi H là hình chiếu của O lên AB, ta có SOH 45 0,25
Ta có 12 1 2 12 1 1 25 , suy ra OH= , do đó SO = OH.tan =
OH OA OB 9 16 144 12
Vậy VSABCD = 1.SO.SABCD = = (đvtt)
3
1 3
12 5
6.8 2
96
Câu V: (1,0 điểm)
Ta có ab+bc+ca=abc 1 1 1 1 Điều phải chứng minh tương đương với
a b c
3
b a c b a c u 1 1 1
, ,
b a a
1 1 1 , ,
c b b
1 1 1
, ,
a c c
0,25
Trang 4Khi đó u v w 12 22 12 22 12 22
w
u
Mặt khác ta luôn có u v w u v w , suy ra điều phải chứng minh
0,5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
kv, k 0 u
1 w
3
ab bc ca abc
0,25
Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky để giải bài này
II PHẨN RIÊNG
1 Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa: (2,0 điểm)
Gọi B(xB, 2xB) (d), do ABC cân tại B nên BA2=BC2
Vậy B
(x 1) (2x 1) (x 3) (2x 5)
7
7 7
0,5
Pt đt AB: x 1 y 1 3x 5y 8 0
15 / 7 9 / 7
Pt đt BC: x 3 y 5 51x 29y 8 0
29 / 7 51 / 7
0,25
Gọi G là trọng tâm ABC, ta có MA2+MB2+MC2 =
MA MB MC MG GA MG GB MG GC
3MG GA GB GC 0,5 Vậy MA2+MB2+MC2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, do đó M G(1; 2; 2). 0,5
Câu VIIa: (1,0 điểm)
Gọi A là biến cố “chọn được 5 người trong đó nam nhiều hơn nữ”; B là biến cố “chọn được 5
nam”; C là biến cố “chọn được 4 nam, 1 nữ”; D là biến cố “ chọn được 3 nam, 2 nữ” Ta có
Suy xác suất để chọn được 5 người trong đó nam nhiều hơn nữ là:
5 12
C
21 175 350 546 182
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb: (2,0 điểm)
Nhận xét: AM = AN, do đó A là trung điểm MN
Gọi M(xM, yM), suy ra N(2xA-xM;2yA-yM) = (2- xM; 4- yM) 0,25
Trang 5Do M C1, NC2 nên 2M 2M M M
x y 2x 2y 11 0 (1)
x y 2x 10y 17 0 (2)
Trừ vế với vế (1) cho (2) ta được 4xM + 12yM – 28 = 0 Vậy MN có pt: x + 3y - 7 = 0
0,5
Dễ kiểm tra được d(I 1 / MN) < R 1 và d(I 2 / MN) < R 2 Suy ra MN: x + 3y - 7 = 0 thỏa mãn ycbt 0,25
Gọi M(x; y; z), khi đó ta có:
x y z 2 0
0,5
10 x
10
z 2
2
Câu VIIb: (1,0 điểm)
1) Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển P(x) = (1 - x2 - 2x3)10 1,0
Ta có P(x) = [1 - x2(1 + 2x)]10
10
10
k 0
C ( 1) x (1 2x)
( 1) C x C (2x)
10 k
k 0 i 0
( 1) C C 2 x
Tìm 0 k 10; 0 i k; k, i sao cho 2k + i = 10 ta được k = 4, i = 2 hoặc k = 5, i = 0
Vậy hệ số cần tìm là a10 4C C104 24C C105 05 5040 – 252 = 4788 0,5
- Hết