Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán Đề 3640176

Gọi V, V1 lần lượt là thể tích của tứ diện ABCD và DAMN... I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD... Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12Môn: Toán... thuộc các cạnh của tứ diện.

đề thi học sinh giỏi lớp 12

Môn: Toán - Bảng A

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: Cho phương trình:

m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Giải phương trình trên với m=1

2) Tìm m để phương trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt ;5

2 2

x    

  

Bài 2:

1) Giải phương trình (Sin)x + (tg)x = ()x

(với x là tham số, 0 < x < )

2



2) Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt

32-x - Sin a +1 log (x2 + 4x + 6) + 2 4 1 =0

( 3) log

x x

x Sina



 

  

Bài 3: Với mọi ABC, k 0,3 Chứng minh:

4

 

 

 

Cos  Cos  Cos  Cosk A  Cosk B  Cosk C 

Bài 4: Xét hai dãy số:     













 





1 1 1

1

1

; ; voi

1 (i=1, 2 )

i

i

b

a

b

Chứng minh (a2006 + b2006)2 > 16039

Bài 5: Cho tứ diện ABCD

1) Gọi i (i= 1, 2, …, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần lượt là các cạnh của tứ diện

Chứng minh: 





6

1

2

i i

Cos

2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB tại

M và cắt DC tại N Gọi V, V1 lần lượt là thể tích của tứ diện ABCD và DAMN Chứng minh:

1

9  V  2

V

3) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lượt là: Sa, Sb, Sc, Sd I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD Chứng minh:

S IA S IB S IC S ID

Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12

Môn: Toán Bảng A

Với m =1; Phương trình  

 

0

Cosx Cos x Cosx

 



 















x=

2

k Cosx

1

2

Phương trình  

0

Cosx Cos x Cosx m

* Cosx =0 Có 2 nghiệm:  

 ; x=3

x

* Ycbt  4Cosx2 - 2 Cosx +m - 3 =0



 

Có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn:     





2

0<t<1=t (b)

t t

* Trường hợp (b) loại (vì nếu t2=1 thì t1<0)

* Trường hợp (a)    





( 1) (0) 0

1< m < 3 (0) (1) 0

f f

Vậy giá trị m cần tìm: 1< m < 3

0,5

0,5

0,5

0,5

    

Chứng minh:    có Sinu < u < tgu

 0, 

2

u

0,5 0,5

0,5

nên:    

 

  1 : 0, 

2

Sin tg

Khi đó  Vậy phương trình vô nghiệm











x =0: VT =2 > VP

x >0: VT > VP

x <0; VT> VP

0,5

Đặt Sina -1 =m (-2 m  0)

ta luôn có: xR thì:     nên TXĐ của phương trình là R



2

2 x-m 2 2

x

 

 

( 3)x x .log (x 4x 6) 3 x m log (2 x m 2) Xét hàm số: f(t) =  3 log ( ) : 2; +t  t  

là hàm số đồng biến với x[2; +)

nên phương trình  x2 + 4x +6 = 2 x-m +2 (*)

 



2

2

x x m

Theo yêu cầu bài toán  (*) có 3 nghiệm phân biệt 











(1) có nghiệm kép x ;(2) có 2 nghiệm x

(2) có nghiệm kép x ;(1) có 2 nghiệm x

(1), (2) có 1 nghiệm chung; 2 nghiệm còn lại khác nhau

(loại)

  







  





3 2 5 2 2

m

m

m

Vậy theo yêu cầu bài toán:

 

 

 















6 3

2

6

- "2 2

k Sina

Sina

Có 3 họ giá trị của a cần tìm

0,5

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 3 2

Mọi  ABC có         (1)

Cos

mà:    3  1   

nên:   3   (2)

Cosk B Cos B

Ta có:

Chứng minh tương tự có:

1

Từ (a), (b), (c) suy ra (đpcm)

Dấu "=" khi A=B = C= ABC đều

3



0,5

0,5

0,5

0,5

Ta có Si = (ai + bi) (i=1,2,3….)

Thì

2 2

i+1 i+1 i+1

2 2

2

1 1

S = (a + b ) = : (i=1,2, )

1 1 1 1

1 1

i i

i i

i i

a b

a b

a b

  

        

        

nên ta có: (a1 + b1)2 > 0

(a2 +b2)2 > 0

(a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + 8

(a2006 +b2006)2 > (a2005 + b2005)2 + 8

Cộng các bđt trên, ta có:

0,5

0,5

0,5

(a2006 +b2006)2 > 8 2005 = 16040 > 16039 0,5

C

A

I

A1 D1

M

Hạ IA1  (BCD); ID1  (ABC)

IB1  (ACD); IC1  (ABD)

Dựng A1M  BC D M1 BC

IM BC





  

 nên ฀A MD1 11 (Tương tự với 2…6)

Ta có:

2

2

6

i i=1

0

4 2 0

Cos 2 : (dpcm)

IA IB IC ID

r IA IB IC ID

r r Cos  Cos  Cos 



   

   

1,0

1,0

1,0

G

A' B

C

D

O M

N









DAMN ABCD

A' lµ träng t©m BCD Gäi:

O lµ trung ®iÓm BC

V

V

T­ong tù

DM DN DA

xy

DB DC DA

x

dt DNA

dt DBC







 



: (b)

Tõ (a), (b) suy ra:

y(3x-1) =x: (x ) y=

1

x 0 va x

1 3

x 2 1 T­ong tù, suy ra: ; 1

2 V

VËy:

y

dt DBC

xy

x

x y



2 1

2

1 ( ) : ;1

x

x x x

vµ:

2

2 3

1

f(x) 1

2

4 9

1 2

4 V 1 1

9 V 2

  

0,5

0,5

0,5

0,5

I

P'

A

B

C M'

M P

N'

N

Gọi











M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI)

N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI)

P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI)

vì I ở trong tứ diện, nên: M, M',… thuộc các cạnh của tứ diện

Do: (DAM) là mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AD nên:

d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)]

dt AMB dt DAB

dt AMC V dt DAC S

điểm M đoạn BC; nên:   c.

b

S

S

       

Chứng minh tương tự:

Mặt khác: I  MM' = (AMD)  (BCM')

nên các vecto    song song

IM IM MM

Vậy gọi vecto:

v S IA S IB S IC S ID

thì

song song với

( a b) ( c d) ')

v S S IM S S IM MM'

Chứng minh tương tự:  v NN// ' và v PP // '

Nhưng MM'; NN'; PP'; không đồng phẳng

0,5

0,5

0,5

0,5

nên: v  0  (đpcm)

Chú ý:

1)Điểm toàn bài là điểm tổng cộng sau khi đã làm tròn đến 0,5 điểm (ví dụ: 5,25 làm tròn 5,5)

2) Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng chính xác thì cho điểm tối đa của câu đó.