Công thức lượng giác và phương trình lượng giác cơ bản40031

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC1.. Công thức nhân đôi, nhân ba.. Công thức hạ bậc.. Công thức viết các hàm lượng giác theo.. Công thức biến đổi tổng và tích a... Công thức biến đổi tổng thành tích

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Các đẳng thức cơ bản

x

x x

cos

sin tan 

x

x x

sin

cos cot 

x

2 cos

1 tan

x

2 sin

1 cot

2 Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

a) Hai cung đối nhau b) Hai cung bù nhau

x x

x x

x x

x x

cot )

cot(

tan )

tan(

sin )

sin(

cos ) cos(























x x

x x

x x

x x

cot )

cot(

tan )

tan(

cos )

cos(

sin ) sin(































c) Hai cung khác nhau  d) Hai cung phụ nhau

x x

x x

x x

x x

cot ) cot(

tan ) tan(

cos )

cos(

sin )

sin(





























x x

x x

x x

x x

tan 2

cot

; cot 2

tan

sin 2

cos

; cos 2

sin













 













 













 













 









e) Hai góc hơn kém nhau

2



sin( ) os cos( ) sin

tan( ) cot cot( ) tan

3 Công thức cộng

1 tan tan





4 Công thức nhân đôi, nhân ba.

2

2 tan sin 2 2sin cos tan 2

1 tan

a

a



5 Công thức hạ bậc Công thức viết các hàm lượng giác theo

2 tana

t

a a

a a

2 2 sin 2 2 cos

1

cos 2 2 cos

1









2 1

2 sin

t

t a



1

1 cos

t

t a





1

2 tan

t

t a





6 Công thức biến đổi tổng và tích

a Công thức biến đổi tích thành tổng

sin cos sin( ) sin( ) cos cos cos( ) cos( )

1 sin sin cos( ) cos( )

2

b Công thức biến đổi tổng thành tích

2 sin 2 sin 2 cos cos

2 cos 2 cos 2 cos cos

2 sin 2 cos 2 sin sin

2 cos 2 sin 2 sin sin

b a b a b

a

b a b a b

a

b a b a b

a

b a b a b

a



































b a

b a b

a

b a

b a b

a

b a

b a b

a

b a

b a b

a

sin sin

) sin(

cot cot

sin sin

) sin(

cot cot

cos cos

) sin(

tan tan

cos cos

) sin(

tan tan



























a a  a  a

2

1 sin 2 a(sinacos )a

a a   a   a

7 Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

0

6



4



3



2

3

4

6

2

2 2

3

3 2

2 2

1

2

2 2

1

1 2

2

2

3

3 3

CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN, THƯỜNG GẶP

I PHƯƠNG TRÌNH LG CƠ BẢN

1 Phương trình: sinx = m = sin 

+ Đk để pt có nghiệm là: -1≤ m ≤ 1

+ Nghiệm của pt là: 2 (kZ)

2







 

  

+ Nghiệm của các pt đặc biệt:

2

x  k 

  

2

   

sinx= 0  x k 

+ Trong trường hợp m không xác định được là sin của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm

arcsin 2 (kZ)

arcsin 2







2 Phương trình: cosx = m = cos 

+ Đk để pt có nghiệm là: -1≤ m ≤ 1

+ Nghiệm của pt là: 2 (kZ)

2







 

  

+ Nghiệm của các pt đặc biệt:

cosx=1  x k2

cosx= -1   x  k2

cosx= 0

2

x  k 

  

+ Trong trường hợp m không xác định được là sin của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm

arccos 2 (kZ)

arccos 2









3 phương trình: tanx = m = tan 

+ ĐKXĐ: (kZ)

2

x k

+ Nghiệm của pt là: x  k (kZ)

+ Nghiệm của các pt đặc biệt:

+ Trong trường hợp m không xác định được là tan của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm

xarctanm k  (kZ)

4 phương trình: cotx = m =cot 

+ ĐKXĐ: xk  (kZ)

+ Nghiệm của pt là: x    k  (kZ)

+ Nghiệm của các pt đặc biệt:

+ Trong trường hợp m không xác định được là tan của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm

xarc cotm k  (kZ)

II Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Có dạng: 2

a sin x b sinx c 0 2

a cos x b cosx c 0 2

a tan x b tanx c 0 2

a cot x b cotx c 0 (với a0, a, b, c là các số thực)

Phương pháp giải: Đặt: sinxt ( 1  t 1)

cosxt ( 1  t 1)

ĐKXĐ:

tanxt

2

x k

ĐKXĐ:

cotxt xk 

Khi đó ta được PT bậc hai theo ẩn t

III Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Có dạng: a sinx b cosxc (với a, b khác 0)

+ ĐK có nghiệm: 2 2 2

a b c

+ Phương pháp giải: Chia cả 2 vế của PT cho 2 2 ta được

a b

a

2 2

cos s inx sin cosx c

a b



là phương trình lượng giác cơ bản

2 2

a b





IV Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sin và cos

a sin x b sin cosx x c cos x0

Phương pháp giải:

+ Kiểm tra cosx = 0 có thỏa mãn PT hay không?

+ Với cosx0, chia cả 2 vế của PT 2 ta được Giải PT bậc hai đối với tanx

cos x a tan2x b t anx c 0

Tổng quát: Phương trình a sin2x b sin cosx x c cos2xd (với d0)

Biến đối 2 2 chuyển vế đối dấu ta được PT thuần nhất bậc hai đối với sin và cos

.1 (sin cos )

d d d x x

V Phương trình đối xứng đối với sin và cos

Có dạng: (sinx cos ) a  x bsin cosx xc

4

x 

2 1

s inx.cos

2

t

Khi đó PT đã cho trở thành: 2 Giải PT bậc hai theo ẩn t và so sánh với điều

bt  at b c kiện, ta được t Giải PT lương giác cơ bản sin cos 2 sin

4

x x t x t

VI Phương trình nửa đối xứng đối với sin và cos

Có dạng: (sinx cos ) a  x bsin cosx xc

4

x 

2 1

s inx.cos

2

t

Khi đó PT đã cho trở thành: 2 Giải PT bậc hai theo ẩn t và so sánh với điều

bt  at b c kiện, ta được t Giải PT lương giác cơ bản sin cos 2 sin

4