CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG sin dx 3.. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng.
Trang 1CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG
sin
dx
3 sinx dx= −d(cos )x = −d(cosx± =a) d a( −cos )x 8 e dx x =d e( ) (x =d e x ±a)= −d a( −e x)
4 cosx dx=d(sin )x =d(sinx± = −a) d a( −sin )x 9 dx d( ) (lnx d lnx a) d a( lnx)
cos
dx
Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1
x
x
=
+
2
1
x dx I
x
=
+
∫
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
( )
2
ln
x
du
u
=
(ln ) ln
2
1
du
d u u C u
x
= = +
+
∫ ∫
b) Sử dụng các công thức vi phân
2
1
1
n n
x
u
u du d
n
+
+
11 2
2
1 1
x
c)Sử dụng các công thức vi phân
( )
3
2
x
du
u
=
Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx I
x
=
−
Tài liệu tham khảo:
02 PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
2
1
1
n n
x
u
u du d
n
+
+
3 2
4
1
x
b)Sử dụng các công thức vi phân
( )
2
du
u
=
1
2
du
d u u
dx
=
c) Sử dụng các công thức vi phân
1
1
n n
u
u du d
n
+
=
+
2 6
5 2
2 5 2
x x
Ví dụ 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
7 5 4
2
5
x
x
=
−
(3 2 )
dx I
x
=
−
3 9
ln x
x
=∫
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
4
1
1
n n
x
d n u
− +
=
− +
4
4
1 3
4
x d
x x
x
−
3 2 1
x dx
x
−
−
c) Sử dụng công thức vi phân dx d( )lnx
9
4
x
Ví dụ 4 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
dx
I
x
=
−
x
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
2009 2010
x dx
−
−
b)Sử dụng các công thức vi phân
( )
2
dx
x
=
Trang 3
Ta có 11 ( )
2
= −
3
3
2 12
Ví dụ 5 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
cos
x
x
15 sin cos
Hướng dẫn giải:
= −
=
3 4
u du d u
x
=
cos
x
−
−
c)Sử dụng các công thức vi phân
1
1
n n
u
n
+
+
5
5
sin
5
u
=
Ví dụ 6 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 3cos
x dx I
x
= +
∫
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức
ln
du
u
= −
∫
16
cos sin
xdx
3 2
2 sin 4
18
x dx
+
Ví dụ 7 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2 cos
2 5sin
x dx I
x
=
−
4sin x 3
x dx
−
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng công thức vi phân
2
1
du d u u
=
= −
x dx
x
−
−
Trang 4LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
b)Sử dụng công thức vi phân
( )
2
du
u
=
=
20
x dx
c)Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản
2
cos sin
2
xdx
u
= +
∫
cos sin
x
21
Ví dụ 8 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
cos
x
x
3
23 4
tan cos
x
x
cos 2
x
x
+
=∫
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức
2 2
tan cos
2
dx
x u
=
= +
∫
b) Sử dụng các công thức
2
2 2
tan cos
1
1 tan cos
dx
x
x x
=
= +
23
c)Sử dụng các công thức
2
tan( )
2
u
= +
∫
+
24
Ví dụ 9 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
sin
x
x
cos
x
x
π
cos
2
x
x
=
+
∫
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức
2 2
cot sin
2
dx
x u
= −
= +
∫
Trang 5Ta có 25 2 2 ( ) 2 25 2
b) Sử dụng các công thức
1
1
n n
C
− +
= −
− +
−
−
c) Sử dụng các công thức
2
π
2 1
du
C
+ = −
= − +
∫
Ta có
cos
2
x
−
+
Ví dụ 10 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
x
e
x
tan 2
cos
x
I
x
+
=∫ c) I30=∫x e 1−x2dx
2 ln 3 32
x
e
x
+
=∫
Hướng dẫn giải:
dx
x
=
= +
∫
3
2
x
cos
dx
x
= +
∫
x
+
1
= +
∫
I =∫x e− dx=∫e− x dx= − ∫e− d −x = − e− + C →I = − e− +C
= −
= +
dx
x
= +
∫
32
x
+
Trang 6LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Vậy
2 ln 3
2 ln 3 32
1
2
x
x
e
x
+
+
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1
x
x
=
+
x
=∫
cos
x
x
5
x
x
=
+
dx I
x
=
−
10)
3
10
ln x
x
11 x
12 sin cos
cos
x
x
cos
x
x
=∫
16)
tan
cos
x
e
x
x
e
x
(3 2 )
dx
I
x
=
−
2
1
x dx I
x
=
+
I =∫x x + dx
25 xsin
26 x
I =∫x e + dx 27) 27 sin
1 3cos
x dx I
x
= +
29 cos cos
2 ln 1 30
x
e
x
+
=∫