Chứng minh: luôn có hai trong 3 số đối nhau.. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C.. Vẽ tiếp tuyến CD và CE của O D, E là tiếp điểm E nằm trong O’.. a Chứng minh: tứ giác BKMD nội tiếp, BE
Trang 1Thời gian: 150 phút (NGÀY THI: 29/11/2014, lúc 13 giờ 30 phút)
PHẦN ĐẠI SỐ:
Bài 1: (4 đi m)
Cho
2 2
n n
Ch ng t A thu c N v i n N *
Bài 2: (4 đi m)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh trong một tam giác Chứng minh:
2 b c c a a b
Bài 3: (3 điểm) Cho phương trình: x 2 2 m 3 x 4m 8 0 (x là ẩn, m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x ;x 1 2 thỏa 2 2
x 2x 3x x b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm bé hơn -1.
Bài 4: (5 điểm) Cho 3 số x,y,z 0 thỏa:
1
x y z
2
4 xyz
a) Tính: 1 1 1
x y z b) Nếu 1 1 1 0
x y z Chứng minh: luôn có hai trong 3 số đối nhau.
PHẦN HÌNH HỌC:
Bài 5: (2,5 đi m) Cho hai đường tròn (O;r) và đường tròn (O’;R) cắt nhau tại A, B Trên tia đối của tia AB lấy điểm C Vẽ tiếp tuyến CD và CE của (O) (D, E là tiếp điểm) (E nằm trong (O’))
DA cắt (O’) tại M, AE cắt (O’) tại N DE cắt MN tại K
a) Chứng minh: tứ giác BKMD nội tiếp, BEKN nội tiếp.
b) Chứng minh: BK.AE = KM.BE
c) Chứng minh: BNK ADB O'K MN
Bài 6: (1,5 đi m) Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài (O) kẻ đường thẳng (d) OA tại A Lấy
M d bất kỳ Vẽ tiếp tuyến MC, MB (C, B là tiếp điểm), CB cắt OM tại H, OA tại K.
a) Chứng minh: H di động trên đường cố định khi M di động trên (d).
b) Cho OA = 2R Tìm vị trí của M để S MCOB đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
HẾT
ĐỀ THI HSG LỚP 9 QUẬN 12 – Vòng 2 (2014-2015)
Trang 2Thời gian: 150 phút (NGÀY THI: 29/11/2014, lúc 13 giờ 30 phút)
PHẦN ĐẠI SỐ:
Bài 1: (4 đi m)
Cho
2 2
n n
Ch ng t A thu c N v i n N *
Ta có:
2 2
1 n n 2n 1 n n
1 n
2
2
n n 1 2n 2n 2n n n 1
n 1
n 1
n n 1 n n 1 n 1 1
n 1 n 1 n 1 n 1
Ta có:
2
1 1
2
n n 1 1
n n 1
n n 1 n n 1 n n 1 n n 1
Thay (1) và (2) vào A, ta được: A n 1 1 1 1 1 n 1
n 1 n n 1 n
Mà n N * Nên A N
Vậy A thu c N v i n N *
Bài 2: (4 đi m)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh trong một tam giác Chứng minh:
2 b c c a a b
Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a, b, c > 0 và
a b c
b a c
c a b
ĐỀ THI HSG LỚP 9 QUẬN 12 – Vòng 2 (2014-2015)
HƯỚNG DẪN
Trang 3Đặt
x y z a
2
x b c
x y z
y c a b
2
z a b x y z
c
2 Khi đó:
a b c x z y x y z x y z 1 1 z y x 1 z x y 1
b c c a a b 2x 2y 2z 2 x x y y z z
Áp dụng bổ đề: với x < y; x, y, t > 0 thì : x x t
y y t
a 2a
b c a b c
b 2b
a c a b c
c 2c
a b a b c
b c a c a b
(**)
Từ (*) và (**) ta suy ra đpcm
Bài 3: (3 điểm) Cho phương trình: x 2 2 m 3 x 4m 8 0 (x là ẩn, m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x ;x 1 2 thỏa 2 2
x 2x 3x x
a = 1; b 2 m 3 ,b / m 3 ; c = 4m + 8
/ b /24ac m 3 21 4m 8 m 1 2 0, m
phương trình luôn có 2 nghiệm x ,x 1 2 m
2 nghiệm của phương trình là :
/
m 3 m 1 b
m 3 m 1 b
TH1:
1
2
2
x 2m 4 thế vào 2 2
x 2x 3x x , ta được:
2 2 2 2m 4 2 3 2 2m 4 4 2 4m 16m 16 2 12m 24
TH2:
1
x 2 thế vào 2 2
x 2x 3x x , ta được:
Trang 4
2
m 0
Vậy khi m 0; 1; 3
2
thì phương trình có nghiệm thỏa đề bài
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm bé hơn -1.
Do phương trình x 22 m 3 x 4m 8 0 có nghiệm x x 2 < 1 2m 4
nên để phương trình có 2 nghiệm bé hơn 1 thì:
2m 4 1 2m 4 1 m 3
2 Vậy khi m 3
2
thì phương trình có hai nghiệm bé hơn 1
Bài 4: (5 điểm) Cho 3 số x,y,z 0 thỏa:
1
x y z
2
xyz
a) Tính: 1 1 1
x y z
Ta có:
2
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
x y z x y z xy yz zx
2
1 1 1 1 1 1 2. x y z
x y z x y z xyz
mà
xyz
1
x y z
2
nên
x y z
1 1 1 4 1 2 2 1 1 1 4
x y z xyz xyz x y z 1 1 1 2
x y z b) Nếu 1 1 1 0
x y z Chứng minh: luôn có hai trong 3 số đối nhau.
Vì 1 1 1 0
x y z nên
1 1 1 2
x y z Mà
1
x y z
2
Nên
1 1 1 1 xy yz zx 1
x y z x y z xyz x y z
yz x y z 1 xyz x y z
yz x y z x y z xyz 2 2
Trang 5y z yz x 2 xy xz 0 y z z x x y 0
x
Vậy ta có điều phải chứng minh
PHẦN HÌNH HỌC:
Bài 5: (2,5 đi m)
Cho hai đường tròn (O;r) và đường tròn (O’;R) cắt nhau tại A, B Trên tia đối của tia AB lấy điểm
C Vẽ tiếp tuyến CD và CE của (O) (D, E là tiếp điểm) (E nằm trong (O’)) DA cắt (O’) tại M, AE cắt (O’) tại N DE cắt MN tại K
K
N
M E
D
B
A
O
O' C
a) Chứng minh: tứ giác BKMD nội tiếp, BEKN nội tiếp.
Ta có:
BMK BAN 2 gnt cùng chắn BN của (O')
BDK BAN 2 gnt cùng chắn BE của (O) BMK BDK
Tứ giác BDMK nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới hai góc bằng
nhau)
Ta có:
DAB DEB hai góc nội tiếp cùng chắn DB của (O)
DAB MNB góc ngoài bằng góc đối trong của tứ giác BAMN nội tiếp
DEB MNB DEB KNB
Tứ giác BEKN nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong đối diện)
b) Chứng minh: BK.AE = KM.BE
Trang 6Ta có:
0
0
BKM BKN 180 2 góc kề bù
BEA BEN 180 2 góc kề bù
BKN BEN 2 góc nội tiếp cùng chắn BN của BEKN
BKM BEA
Xét BKM và BEA, ta có:
BKM BEA cmt BMK BAE 2 góc nội tiếp cùng chắn BN của ABNM
BK KM tsđd BK.AE KM.BE
BE AE c) Chứng minh: BNK ADB O'K MN
Xét CDA và CBD, ta có:
CDA CBD góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn BN của (O)
C chung
CDA CBD g g DA CA
DB CD Chứng minh tương tự: CEA CBEAE CA
BE CE
Ta có:
CD CE tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại C c
DA CA cmt
DB CD
AE CA cm
ủa
t
O
DA AE
DB BE
BNK DAB tư ùgiác ABNM nội tiếp BNK và ADB, ta có:
BKN ADB tư ùgiác BKMD nội tiếp
BNK BAD g g KN BK tsđd
KN DA
BK DB
Mặt khác : BKM BEA cm câu b KM BK tsđd KM AE
Ta có:
/
KN DA cmt
BK DB
KM AE cmt KN KM KN KB K là trung điểm của MN O K MN.
DA AE cmt
DB BE
Trang 7Bài 6: (1,5 đi m)
Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài (O) kẻ đường thẳng (d) OA tại A Lấy M d bất kỳ Vẽ tiếp tuyến MC, MB (C, B là tiếp điểm), CB cắt OM tại H, OA tại K
d
H K
B
C
A O
M
a) Chứng minh: H di động trên đường cố định khi M di động trên (d).
Gọi K là giao của BC và OA
Chứng minh được: OHK OAM g g OK OH tsđd
OM OA OK.OA OH.OM mà OH.OM OC 2 R nên 2
2
OK.OA R OK
OA Mặt khác: R, OA không đổi (do O, A cố định) Nên OK không đổi K cố định
Chứng minh được: OHK 90 0 H di động trên đường tròn đường kính OK cố định
b) Cho OA = 2R Tìm vị trí của M để S MCOB đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
MCOB MOC
1
S 2S 2 .OC.CM R.CM
2
Để S MCOB nhỏ nhất thì CM nhỏ nhất (vì R không đổi) 2 2 2
min
OM vì R CM OM
Mà OM OA (Quan hệ dường xiên đường vuông góc) Vậy OM min OM OA M A
Do đó: CM 2 OM R 2 2 4R R 2 2 3R 2 CM R 3
MCOB
S R.R 3 R 3 đơn vị diện tích
Vậy khi M A thì 2
MCOB
HẾT