Tuyển chọn các bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm 2010 201139727

Trang 1

TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN

N M H C 2010 - 2011

(Lê Phúc L - t ng h p và gi i thi u)

Bài 1

1/ Gi i ph ng trình x2 x 1 x 3 4 x  1 1

2/ Gi i ph ng trình v i n s th c 1 x 6   x 5 2x

( thi HSG t nh V nh Long)

Bài 2 Gi i ph ng trình 5 4 3 2

x x  x x  x 

( thi HSG t nh ng Nai)

Bài 3 Gi i h ph ng trình 2 2 4

x y





   



( HSG Bà R a V ng Tàu)

Bài 4 Gi i h ph ng trình sau

1

y

x y

y



    





   



( thi HSG H i Phòng, b ng A)

Bài 5 Gi i h ph ng trình







( thi HSG t nh Lâm ng)

Bài 6 Gi i h ph ng trình trên t p s th c

4

2 2







( thi ch n đ i tuy n ng Nai)

Trang 2

Bài 7 Gi i h ph ng trình

1 1

2 4

y

x

y

  







( thi HSG Hà T nh)

Bài 8 Gi i ph ng trình 3 2

x x   x

( thi ch n đ i tuy n Lâm ng)

Bài 9 Gi i h ph ng trình

1 1







( thi HSG t nh Qu ng Bình)

Bài 10

(x 4 ) 2x x 3x  2 0

2/ Gi i h ph ng trình sau

2

7 12

xy y x y x

x y

   





 





( thi HSG i n Biên)

Bài 11 Gi i h b t ph ng trình

6 8 10

2007 2009 2011

1 1





( thi ch n đ i tuy n Bình nh)

Bài 12

2

x

2/ Gi i h ph ng trình

2

2 2







( thi HSG t nh B n Tre)

Trang 3

Bài 13

1/ Gi i ph ng trình 2

x  x  x

x x  x  x trên [ 2, 2]

( thi HSG t nh Long An)

2

x y x



  







   



( ch n đ i tuy n tr ng Chuyên Lê Quý ôn, Bình nh)

2







( thi ch n đ i tuy n Nha Trang, Khánh Hòa)

Bài 16

x  x x   x x 

3

x y x y

    





   



( thi HSG t nh V nh Phúc)

Bài 17 Gi i ph ng trình sau 4 3 2 3 1 2

x



( thi HSG t nh Hà T nh)

Bài 18 Gi i ph ng trình 2sin2x3 2sinx 2cosx 5 0

Bài 19

x x  x x

Trang 4







( thi ch n đ i tuy n THPT Chuyên Lam S n, Thanh Hóa)

Bài 20 Gi i ph ng trình 3 2

x x   x

4

5

6





( ch n đ i tuy n tr ng PTNK, TPHCM)

Bài 22

2

x y  z  x  y z

121

9

x







      



( thi HSG t nh Qu ng Nam)

Bài 23

1/ Tìm t t c các giá tr c a a b , đ ph ng trình 22 2

m

m i tham s m

6

   







( thi HSG vòng t nh Bình Ph c)

Bài 24

Trang 5

2010 2010





3 x x 3x xx 3x  2 0

( thi ch n đ i tuy n Ninh Bình)

Bài 25

1/ Gi i b t ph ng trình sau

2

y x x

       





   



sin 2xsin 4xsin 8x sin 2n x 

( thi HSG t nh Khánh Hòa)

Bài 26

x



x

( thi HSG t nh Thái Bình)

Bài 27

2

1 2 1

y

x y

x





  





( thi HSG t nh Phú Th )

( thi HSG t nh Qu ng Ninh)

Trang 6

Bài 29 Gi i ph ng trình 3 2 3 2 2

3x 2x   2 3x x 2x 1 2x 2x 2

Bài 30 Gi i h ph ng trình 22 2 23 4 2 2 3 4 18







3

      





   



Bài 32 Gi i h ph ng trình 4 3 3 3 9 3 2 2 9

7

x y x







( thi ch n HSG t nh H ng Yên)

3

2







( thi ch n đ i tuy n chuyên Nguy n Du, k L k)

3 3

35





( thi HSG t nh Yên Bái)

Bài 35 Gi i ph ng trình 3 3 2

2 2x 1 27x 27x 13x 2

( thi HSG H i Phòng, b ng A1)

2 2

2







( thi ch n đ i tuy n Qu ng Ninh)

Trang 7

3

x x y

y y z

   



  



  



Bài 38 Gi i ph ng trình 3 9 9 2 1

3

x

 

( thi ch n đ i tuy n Phú Yên)

Bài 39

x  x   x x 

2

y y x x x

     





    



( thi HSG t nh Ngh An)

Bài 40







( x1) 2( x1) x 3x 3x2

( d b thi HSG t nh Ngh An)

3

x y x

y z y

z x z

   



   



   



( thi ch n đ i tuy n KHTN, vòng 1)

2

1 1

e

y









Trang 8

( thi ch n đ i tuy n tr ng THPT Cao Lãnh, ng Tháp)

2

1

x

( thi HSG t nh Bình Ph c)

Bài 44

3x 4 x 3x   x 2 2/ Tìm s nghi m c a ph ng trình

( thi ch n đ i tuy n Chuyên Nguy n Du)

Bài 45 Gi i h ph ng trình sau (22 )(1 2 )(22 2 )(1 2 )2 24 10 1







( thi ch n đ i tuy n Hà T nh)

Bài 46

2010 (x x    1 x) 1

xy x

 





( thi ch n đ i tuy n tr ng THPT Sào Nam, t nh Qu ng Nam)

x xy y y

   







( thi ch n đ i tuy n TP.HCM)

2

x y x y

y z y z

z x z x







( thi ch n đ i tuy n chuyên Quang Trung, Bình Ph c)

Trang 9

2

1 5 57

25

  







( thi ch n đ i tuy n Ngh An)

Bài 50 Cho các tham s d ng , ,a b c Tìm nghi m d ng c a h ph ng trình sau :

4

x y z a b c xyz a x b y c z abc

    







( ki m tra đ i tuy n Ninh Bình)

Bài 51 Gi i h ph ng trình sau trên t p h p s th c

3

3 0

x y x

y





 ( thi ch n đ i tuy n Chuyên V nh Phúc, t nh V nh Phúc)

Bài 52 Gi i h ph ng trình 42 2 2 3 4

3







( ki m tra đ i d tuy n tr ng THPT Chuyên HSP Hà N i)

2x sinxx.cosx 2x 1 x x   x 1

( thi ch n đ i tuy n Hà N i)

2

        



     





( thi ch n đ i tuy n HSP Hà N i, ngày 2)

Bài 55

Tìm x y z, , th a mãn h

2 2

z x y x y

y z xy zx yz

y x x x

    



    



    



( thi ch n đ i tuy n tr ng H KHTN Hà N i, vòng 3)

Trang 10

L I GI I CHI TI T VÀ NH N XÉT Bài 1

1/ Gi i ph ng trình x2 x 1 x 3 4 x  1 1

2/ Gi i ph ng trình v i n s th c 1 x 6   x 5 2x

( thi HSG t nh V nh Long)

L i gi i

1/ i u ki n x1 Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i

( x 1 1)  ( x 1 2)  1 x  1 1 x  1 2 1 (*)

-N u x  thì 1 1 (*) ( x  1 1) ( x 1 2) 1  3 2 x  1 1 x 1 1, lo i -N u 1 x     thì 1 2 2 x 5 (*)( x  1 1) ( x 1 2)  1 1 1, luôn đúng

-N u x  thì 1 2 (*)( x  1 1) ( x 1 2) 1 2 x   1 3 1 x 1 2, lo i

V y ph ng trình đã cho có nghi m là m i x thu c  2;5

2/ i u ki n 5

2

x 

Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i

2

     

          

            

        

Th l i, ta th y ch có x 3 là th a mãn

V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là x 3

Nh n xét Các d ng toán ph ng trình vô t này khá c b n và quen thu c, chúng hoàn toàn có

th gi i b ng cách bình ph ng đ kh c n mà không c n lo ng i v tính gi i đ c c a ph ng

trình hay không đ n gi n trong vi c xét đi u ki n, ta có th gi i xong r i th l i c ng đ c

Trang 11

Bài 2 Gi i ph ng trình 5 4 3 2

x x  x x  x 

( thi HSG t nh ng Nai)

L i gi i

2

x







Ph ng trình th hai trên có th vi t l i là

2 2

               

     

Do (x1) (2 x23x    6) 1 0, x nên ph ng trình này vô nghi m

V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là x2

Nh n xét ây là m t ph ng trình đa th c thông th ng, có nghi m là x2 nên vi c phân tích thành nhân t khá đ n gi n; cái khó là bi t đánh giá ph ng trình còn l i và có nên ti p t c tìm

cách gi i nó hay không hay tìm cách ch ng minh nó vô nghi m Tr ng h p đ bài cho phân

tích thành các đa th c không có nghi m đ n gi n, bài toán tr nên khó kh n h n r t nhi u; th m

chí là ngay c v i nh ng đa th c b c b n Ch ng h n nh khi gi i ph ng trình

2x 3x 10x 16x  , n u tính toán trên gi y thì không ph i d dàng mà có đ c phân 3 0 tích (2x25x1)(x2   x 3) 0 đ gi i t ng ph ng trình tích

Bài 3 Gi i h ph ng trình 2 2 4

x y





   



( HSG Bà R a V ng Tàu)

L i gi i

i u ki n: ,x y C ng t ng v hai ph ng trình c a h , ta có: 0

( 2x 5 2 ) ( 2x  y 5 2 )y 10

Tr ph ng trình th hai cho ph ng trình th nh t, v theo v , ta đ c:

Trang 12

5 2

t a 2x 5 2x 0,b 2y 5 2y 0 Ta có h sau:

2

5

10

b

Xét ph ng trình

2

2x 5 2x 5 2x  5 (5 2 )x 2x 5 25 2 x10 2x  2x   2 x 2

T ng t , ta c ng có y 2

V y h ph ng trình đã cho có nghi m là ( , ) (2,2)x y 

Nh n xét Ngoài cách gi i t n d ng tính ch t c a các c n th c, ta c ng có th đ t n ph r i bi n

đ i; trong ph ng trình th hai, các s h ng t do có th khác nhau mà l i gi i v n đ c ti n hành t ng t Ch ng h n, gi i h ph ng trình sau

x y





   



1

y

x y

y



    





   



( thi HSG H i Phòng, b ng A)

L i gi i

i u ki n y 0,x 1 0,x y 3

y

5

a b



     



-V i a2,b , ta có 1

Trang 13

1 4

4 1

4

4 4

x

x y

x

x y

  



           

 



          



 



-V i a1,b , ta có 2

2

1 1

7

x



 



Th l i, ta th y t t c đ u th a

V y h ph ng trình đã cho có 4 nghi m là

( , )x y (3,1), (5, 1), (4  10, 3 10), (4 10, 3 10)

Nh n xét D ng h ph ng trình gi i b ng cách đ t n ph này th ng g p nhi u kì thi, t H-C đ n thi HSG c p t nh và khu v c Chúng ta s còn th y nó xu t hi n nhi u các đ thi

c a các tnh đ c nêu d i đây

Bài 5 Gi i h ph ng trình







L i gi i

L y ph ng trình th nh t tr ph ng trình th hai, v theo v , ta đ c:

2

        

-N u y , thay vào ph ng trình đ u tiên, ta đ c: 1

2

4x  1 4x 1 x x(       1) 0 x 0 x 1

Th l i, ta th y c hai nghi m đ u th a mãn

Trang 14

-N u y  , thay vào ph ng trình đ u tiên, ta đ c: 1

2

4x  1 4x 1 x x(        1) 0 x 0 x 1

Th l i, ta th y c hai nghi m đ u th a mãn

-N u

2

4

y



     (d th y trong tr ng h p này y ), thay vào ph ng trình 0

đ u tiên, ta đ c:

2

Suy ra y 1,x và hai nghi m này đã nêu trên 0

V y h ph ng trình đã cho có 4 nghi m phân bi t là ( , ) (1,1),(0,1),( 1, 1),(0, 1)x y    

Nh n xét ây là m t d ng h ph ng trình đa th c khá khó, rõ ràng n u ph ng trình th hai,

ng i ta chia hai v cho 2 thì khó có th t nh n bi t giá tr này mà nhân vào r i tr t ng v nh

trên Vi c phát hi n ra giá tr 2 đ nhân vào có th dùng cách đ t tham s ph r i l a ch n

Bài 6 Gi i h ph ng trình trên t p s th c

4

2 2







( thi ch n đ i tuy n ng Nai)

L i gi i

Tr t ng v hai ph ng trình c a h , ta đ c

x x y  yx   xy x xy     x y x xy 

-N u x y, t ph ng trình th nh t ta có

x  x   x  x x x      x x , t ng ng v i y    2 y 1

Th l i th y th a, ta có hai nghi m ( , )x y   ( 2, 2), (1,1)

2

5

x

     , thay vào ph ng trình th nh t c a h , ta đ c

2

5

x

Trang 15

ng th i, t h đã cho ta c ng có 2 2 6

5

x x y   x

Do đó

x  x           x  x  x  

   

Suy ra trong tr ng h p này, h vô nghi m

V y h đã cho có hai nghi m là ( , ) ( 2, 2),(1,1)x y   

Bài 7 Gi i h ph ng trình

1 1

2 4

y

x

y

  







( thi HSG Hà T nh)

L i gi i

i u ki n: 2 2

xy x y  t 2 2

y

H đã cho tr thành





-V i a1,b  , ta có 1 2 2

2,

x y  x  , ta tìm y đ c hai nghi m là ( , ) (1, 1),( 1,1)x y    -V i a9,b , ta có 3 2 2

x y  x y, ta tìm đ c hai nghi m là ( , ) (3,1),( 3, 1)x y   

Th l i, ta đ u th y th a mãn

V y h đã cho có 4 nghi m phân bi t là ( , ) (1, 1),( 1,1),(3,1),( 3, 1)x y     

Bài 8 Gi i ph ng trình 3 2

x x   x

( thi ch n đ i tuy n Lâm ng)

L i gi i

i u ki n x1

Trang 16

Ta có

2 3

3

1 1

2

1 1

x

 









D th y ph ng trình th hai vô nghi m vì v trái luôn d ng nên ph ng trình đã cho có

nghi m duy nh t là x2

Nh n xét Cách đ n gi n h n dành cho bài này là ch ng minh hàm đ ng bi n, tuy nhiên, c n

chú ý xét x1 tr c khi đ o hàm

1 1







( thi HSG t nh Qu ng Bình)

L i gi i

i u ki n ,x x   y 1 0

Ph ng trình th nh t c a h t ng đ ng v i

Ph ng trình th hai c a h t ng đ ng v i

y  x y xy x  y x xy  y x y x

Ta có h m i là

2

1 1

4

2 4

y x

x

  











 



Trang 17

So sánh v i đi u ki n ban đ u, ta th y c hai nghi m trên đ u th a mãn

V y h ph ng trình đã cho có hai nghi m là ( , ) ( , 1), (2, 4)1

4

x y  

Bài 10

(x 4 ) 2x x 3x  2 0

2

7 12

xy y x y x

x y

   





 





( thi HSG i n Biên)

L i gi i

2

       Ta có

2

x x

x x x x

x x

  



   

  

2

x  x   x

2

    

2/ i u ki n y H đã cho t ng đ ng v i 0

7

x

x y

y x

x y y

   







y



y

      , th a đi u ki n

Trang 18

-V i u4,v , ta có 3 3, 4 12, 3

x

y

      , th a đi u ki n

V y h đã cho có hai nghi m là ( , ) (3,1), (12 3, )

5 5

x y 

Bài 11 Gi i h b t ph ng trình

6 8 10

2007 2009 2011

1 1





( thi ch n đ i tuy n Bình nh)

L i gi i

T b t ph ng trình th nh t c a h , ta có 1 x y z, ,  1

T hai b t ph ng trình c a h , ta có

x y z x y z x x y y z z 

T đi u ki n 1 x y z, ,  , ta d dàng th y r ng 1 6 2001 8 2001 10 2001

Do đó, ph i có đ ng th c x y ra, t c là

x x  y y z z   x y z x y z

1

x y z  , ta th y h b t ph ng trình đã cho có các nghi m là

( , , )x y z (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)

Bài 12

2

x



 

2

2 2







( thi HSG t nh B n Tre)

L i gi i

1/ i u ki n x1,3 x 0,x      1 3 x 1 x 3,x 1

Trang 19

2

 



D th y ph ng trình th nh t vô nghi m nên ta ch xét

2

               



         

V y ph ng trình đã cho có hai nghi m là 2 7

2

x 

2/ i u ki n ,x y D th y n u 0 x0thì y và ng c l i nên h có nghi m ( , ) (0,0)0 x y 

2

f t   t , ta th y 1

4

t

      nên đây là hàm đ ng bi n

H đã cho đ c vi t l i là ( )

( )

x f y

y f x





 

2

1

2

x







 



T ng ng v i hai giá tr này, ta c ng có

1

2

y y









 



V y h đã cho có ba nghi m là ( , ) (0, 0), (1,1), (3 5 3, 5)

Nh n xét Bài ph ng trình th nh t n u không có bi n đ i phù h p mà đ t n ph thì l i gi i s

khá dài dòng và r c r i, chúng ta c n chú ý t n d ng nh ng tính ch t c a c n th c, l ng liên

h p đ khai th c đ c đi m riêng c a bài toán

Trang 20

Bài 13

1/ Gi i ph ng trình 2

x  x  x

x x  x  x trên [ 2, 2]

( thi HSG t nh Long An)

L i gi i

1/ i u ki n x 5

4

x

x x x





               



Ta xét ph ng trình 3 2

x  x  x  (*)

Hàm s f x( )x34x26x có 1 2

f x  x  x  nên là đ ng bi n; h n n a,

f f    nên ph ng trình ( ) 0f x  có đúng m t nghi m thu c (0,1)

Ta s gi i ph ng trình (*) b ng ph ng pháp Cardano

3

y y

    t y u v, ta có

u  v  uv u v

Ch n u và v sao cho

27 2 9

uv

   



 



( 61 3 417 ),

u

T đó, ta tìm đ c nghi m c a ph ng trình (*) là

3

0

3

54

 

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	522,21 KB