Đặt vấn đề Dạy học giải các bài toán có tầm quan trong đặc biệt và từ lâu nó đã trở thành trung tâm của phương pháp truyền thụ kiến thức cho học sinh.. Đối với học sinh việc giải toán xe
Trang 1Đặt vấn đề
Dạy học giải các bài toán có tầm quan trong đặc biệt và từ lâu nó đã trở thành trung tâm của phương pháp truyền thụ kiến thức cho học sinh Đối với học sinh việc giải toán xem là hình thức chủ yếu của việc học toán
Việc giải bài toán là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu hệ thống hoá kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, đây cũng là hình thức tốt nhất để dẫn dắt học sinh đi
đến kiến thức mới Và là phương pháp tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra về năng lực, mức độ tiếp thu, vận dụng kiến thức của mình Việc giải toán có tác dụng gây hứng thú học tập cho học sinh, khả năng tư duy và nâng cao kiến thức cơ bản về nhiều mặt
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: khi giải toán “phương trình quy về phương trình bậc hai” các em thường mắc phải những sai lầm: không biết đặt ẩn phụ, không biết chuyển dạng phương trình Từ đó, tôi đưa ra “Một số phương pháp sử dụng phương trình bậc hai để giải một số bài tập dạng khác” Nhằm giúp các em có định hướng và phần nào gây được hứng thú cho học sinh khi gặp các dạng toán này
Trong chương trình phổ thông chúng ta thường gặp các bài toán có thể đưa được
về dạng phương trình bậc hai như:
- Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Phương trình vô tỷ
- Hệ phương trình
- Phương trình hữu tỷ
- Phương trình bậc ba
- Phương trình bậc bốn
Trong bản sáng kiến này tôi đưa ra một số ví dụ có tính chất minh hoạ nhằm thấy được hiệu quả, vai trò của phương trình bậc 2 trong giải toán
Trang 2Quá trình thực hiện
I- Sử dụng phương trình bậc hai giải Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cách 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương, bao gồm:
B A
B A B
A
B A
B A
B B
A
0
B A A
B A A
0 0
Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
x2 2x 2 x2 2x (1)
Giải
Phương trình (1) tương đương với
1 , 1 2 1
0 1
1 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
x x
x x
x x
x x
x
x x x
x
Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt: x = 1 và x =
2 1
Ví dụ 2 : Giải phương trình
x2 3x 2 x 2
Lưu ý: Học sinh gặp khó khăn là khử dấu giá trị tuyệt đối.
Giải
Ta khử dấu giá trị tuyệt đối:
+ Nếu x2- 3x + 2 = x - 2 x2- 3x + 2 0(*)
Lúc đó: x2 - 3x + 2 = x - 2
x2- 4x + 4 = 0 (x-2)2= 0 x = 2 thoả mãn (*)
+ Nếu -x2+ 3x - 2 = x-2 x2 - 3x + 2 0(**)
Lúc đó: -x2+ 3x - 2 = x - 2 x2 - 2x = 0 x (x- 2) = 0
x1= 0, x2 = 2 không thoả mãn (**)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
Trang 3Ví dụ 3: Giải phương trình:
x4- 4x2 + 5 x2 2 = -8(1)
Giải
(1) x4- 4x2 + 4 + 4 + 5 x2 2 = 0
( x4- 4x2+ 4) + 5 x2 2 + 4 = 0
(x2-2)2 + 5 x2 2 + 4 = 0(2)
Đặt t = x2 2 0
Lúc đó (2) t2 + 5t + 4 = 0
Phương trình có dạng: a - b + c = 1 - 5 + 4 = 0
t1 = -1 (Loại)
t2 = 4(Loại)
1
4
a c
Vậy phương trình vô nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình: (x-1)2 + 4 x 1 + 3 = 0
Giải
Đặt t = x 1, điều kiện t 0
Khi đó phương trình được biến đổi về dạng:
t2 + 4t + 3 = 0 ta có t = -1 (loại ) còn t = 3 (Thỏa mãn)
3
1
t t
Khi đó x 1 = 3
2
4 3
1
3 1
x
x x
x
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 4 và x = -2
Một số bài toán áp dụng:
Giải phương trình: a> x2 3x 1 x 2
b> x2 5x 4 x 4
c> x 1 x2 x 1
d> x2 2x 4 x2 3x 3
Trang 4
II- sử dụng Phương trình bậc hai giải phương trình vô tỷ
- Phương pháp thường dùng là biến phương trình đã cho thành phương trình tương
đương bằng cách luỹ thừa cả hai vế để giảm bớt căn thức
0 ) ( ) ( ) ( )
(x g x f x g x
f
2
)) ( ( ) (
0 ) ( )
( )
(
x g x f
x g x
g
x
f
- Phương pháp đặt ẩn phụ
Học sinh hay mắc phải trong việc lấy điều kiện để hạn chế những nghiệm không thích hợp
Ví dụ 1:
Giải phương trình: x 4 1 x 1 2x
Giải
Điều kiện:
2
1 4
0 2 1
0 1
0 4
x x
x x
Phương trình viết lại dưới dạng:
1 x 1 2x x 4 ( 1 x)( 1 2x) 2x 1
) ( 2 7 0 0
0 7 2 2 1
) 1 2 ( ) 2 1 )(
1 (
0 1 2
2 2
L x
x x
x x
x x
x x
x
0
x
Vậy phương trình có nghiệm x = 0
Ví dụ 2 :
Giải phương trình: 5x 1 3x 2 x 1
Giải
Điều kiện để phương trình có nghĩa là:
Hay là x 1
0 1
0 2 3
0 1 5
x x
x
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình:
5x 1 3x 2 x 1
( 5x 1)2=( 3x 2 x 1)2
x + 2 = 2 (x 1 )( 3x 2 )
(x + 2)2 = (2 (x 1 )( 3x 2 ))2
Trang 5(x + 2)2 = 4(x- 1)( 3x - 2)
11x2 - 24x + 4 = 0
' 144 - 44 = 100
x1= 2 (TMĐK)
x2 = (Loại)
11 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 2
Ví dụ 3: Giải phương trình: (x 2 )2 5 x 2 6 0(*)
Giải:
Đặt t = x 2 điều kiện t 0và x 2
(*)t2- 5t + 6 = 0
Vì t1 + t2 = 5 và t1.t2 = 6 t1 = 2, t2 = 3
Khi t = 2 x 2 = 2 x -2 = 4 x = 6 (Nhận)
Khi t = 3 x 2 = 3 x - 2 = 9 x = 11(Nhận)
Vậy nghiệm phương trình là: x = 6, x = 11
Ví dụ 4:
Giải phương trình: 2
2
1 1
2
x x
Giải
Điều kiện: x 0, - 2 x 2(1)
Đặt 2 x2 y 0(2) thì 2 - x2 = y2
Khi đó ta có: x2 + y2 = 2 và 1 1 2
y x
Đặt S = x + y, P = xy, các điều kiện trên trở thành S2 - 2P = 2 và S = 2P
Dễ dàng tìm được P = 1, S = 2 và P = - , S = -1
2 1
Với P = 1, S = 2 thì x, y là nghiệm của X2 - 2X + 1 = 0
Ta được X = 1, do đó x = 1, y = 1 thỏa mãn (1) và (2)
Với P = - , S = -1 thì x, y là nghiệm của 2X2 + 2X -1 = 0
2 1
Ta được X = Do y > 0 nên x = , y =
2
3
1
2
3
1
2
3
1
Trang 6Vậy nghiệm của phương trình là: x = 1; x =
2
3
1
Một số bài tập áp dụng:
Giải phương trình: a> 2x - x2 + 6x2 x12 7=0
b> 5 3 5 3 = 7
) 7 3 ( ) 3 7 ( x x
c> 2x2 5x 2 2 2x2 5x 2 1
III- sử dụng phương trình bậc hai giải Hệ phương trình
Để giải hệ phương trình ta phải dùng phương pháp thế sau đó thay vào và giải phương trình bậc hai
Cách khác cũng có thể đặt ẩn phụ
Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình:
) 2 (
) 1 ( 6
2 2
a y x
y x
Với những giá trị nào của a thì:
a> Hệ có nghiệm duy nhất
b> Hệ có hai nghiệm phân biệt
Giải
Từ (1) ta có x = 6 - y
Thay giá trị x vào phương trình (2) ta có:
2y2- 12y + 36 - a = 0(*)
Với số nghiệm của hệ phương trình đã cho tương ứng với số nghiệm của phương trình (*)
Vậy: a>Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi (*) có nghiệm duy nhất
Hay ' 36 2 ( 36 a) 2a 36= 0 a =18
Nghiệm phương trình (*) là: y1= y2= 3
2
6
'
a b
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
3
3
x y
b> Hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt
Hay ' 36 2 ( 36 a) 2a 36> 0 a > 18
Vậy: khi a = 18 thì hệ có nghiệm duy nhất
Khi a > 18 thì hệ có hai nghiệm phân biệt
Trang 7Ví dụ 2: Giải hệ (I)
) 2 ( 4
) 1 ( 27
3
y x
Giải
Lập phương hai vế của phương trình (2) ta có:
(3 x 3 y )3= 43 x + y + 33 xy(3 x 3 y) = 64
x + y + 33 27.4 = 64 x + y = 28
Ta có hệ (II)
) 4 ( 27
) 3 ( 28
y x
y x
Từ (3) ta có y = 28 - x thay vào (4) ta được
x( 28 - x ) = 27 x2- 28x + 27 = 0
Có dạng a + b + c = 1 - 28 + 27 = 0
x1=1; x2 = 27
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: và
27
1
1
1
y
x
1
27
2
2
y x
Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình:
115 4
54 3
2 2
y xy
xy x
Giải
Đặt y= tx thay vào hệ phương trình ta có:
) 2 ( 115 ) 4 (
) 1 ( 54 ) 3 1 (
2 2
2
t t x
t x
Từ (1) ta có x2 = thay vào phương trình (2) ta được
t
3 1
54
216t2 - 291t - 115 = 0
= (-291) 2 - 4.216.(- 115) = 184041 > 0 429
t1= ; t2 =
2
5
72 23
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
* t1= ;
2
5
5
3
1
1
y
x
5
3
2
2
y x
72
23
2 23 36
3
3
y
x
2 23 36
4
4
y x
Trang 8Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
82
2
4
4 y x
y x
Giải
Để ý rằng x4 + y4 = [(x + y )2 - 2xy]2 - 2x2y2
Đặt S = x + y, P = xy ta có hệ:
82 2
) 2 (
2
2 2 2
P P
S S
Giải hệ ta tìm được S = 2, P = -3 Hoặc S = 2, P =11
Nếu S = 2, P = -3 khi đó x và y là nghiệm của: X2 - 2X - 3 = 0
Ta có: ' 1 3 4> 0
Ta được hoặc
1
3
y
x
3
1
y x
Nếu S = 2, P = 11 khi đó x, y là nghiệm của: X2 - 2X + 11 = 0
Ta có: ' 1 11 10 < 0 vô nghiệm
Vậy hê phương trình có nghiệm là: hoặc
1
3
y
x
3
1
y x
Một số bài tập áp dụng:
Giải hệ phương trình: a>
1 3
1 3
2 2
x y
y x
b>
35 3
19 2
) ( 5
y x xy
xy y x
IV- sử dụng phương trình bậc hai giải Phương trinh hữu tỷ.
Trong cách giải phần này học sinh hay nhầm khi xét lấy điều kiện và khó khăn trong việc tìm mẫu thức chung Khi giải cần phải tập cho học sinh thói quen trong việc lấy
điều kiện và xét điều kiện
Muốn giải phương trình này ta cần thực hiện:
*Đặt điều kiện để mẫu số khác không
*Quy đồng mẫu số, trục mẫu và rút gọn
Đặt ẩn phụ rồi giải phương trình mới (giải phương trình bậc hai)
Ví dụ 1:
4
3 2 3 2
4
x
x x
x
Trang 9
ĐK: x - 4 và x
2 3
2
4
3 2 3 2
4
x
x x
x
(x + 4)2 + ( 2x - 3 )2 = 2( 2x - 3 )( x + 4)
x2 - 14x + 49 = 0
= 49 - 49 = 0 ' x1 = x2 = 7 (TMĐK)
Vậy nghiệm phương trình là: x = 7
Ví dụ 2: Giải phương trình:
12
1 ) 1 (
1 )
2 (
1
2
x x
Giải.
ĐK: x 0; x -1; x -2
Vì (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 nên ta đặt x( x + 2) = y thì phương trình trở thành
Với điều kiện trên thì y và y + 1 đều khác 0 Khử mẫu số
12
1 1
1
y y
ta có: 12(y + 1 - y) = y( y + 1)
y2 + y - 12 = 0(*)
= 1 + 4.12 = 49 7
Phương trình (*) có 2 nghiệm: y1= 3; y2= -4
+/ y = 3 x2 + 2x = 3 x2 + 2x - 3 = 0 (1)
Phương trình (1) có 2 nghiệm: x1= 1; x2= -3
+/ y = -4 x2 + 2x = -4 x2 + 2x + 4 = 0
< 0 nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1= 1; x2 = -3
Ví dụ 3: Giải phương trình: (*)
4
5 4
2 2
2
2
x
x x
x
Lưu ý HS: Khi giải bài này cần chú y đổi dấu để đưa về x2- 4
Giải
Điều kiện: x 2 và x -2
4
5 4
2 2
2
2
x
x x
x
4
) 5 ( ) 6 (
2
2 2
2
x
x x
(x2 + 6)2 - ( 5x )2 = 0
Trang 10(x2 + 5x + 6)( x2- 5x + 6) = 0
) 2 ( 0 6 5
) 1 ( 0 6 5
2 2
x x
x x
Giải (1) ta có: 1 x1= -2 (Loại)
x2= -3 (Nhận)
Giải (2) ta có: 1 x3= 3 (Nhận)
x4= 2 (Loại)
Vậy phương trình có nghiệm là: x1= -3; x2= 3
Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 .
5 1
1
2
x
x x
x
Giải
Cách 1> Điều kiện: x 0.
2
5 1
1
2
x
x x
x
) 1 ( 2
) 1 ( 5 )
1 ( 2
2 ) 1 ( 2
2 2 2
2 2 2
x x
x x x
x
x x
2(x2+1)2+2x2= -5x(x2+1)
2x4+4x2+2+2x2+5x3+5x = 0
2x2(x2+2x+1)+x(x2+2x+1)+2(x2+2x+1) = 0
( x2+2x+1)(2x2+x+2) = 0
0 2 2
0 1 2
2 2
x x
x x
Phương trình: x2+ 2x + 1(x+1)2 = 0 Phương trình có nghiệm x = -1(TMĐK)
Phương trình: 2x2+x + 2 = 0 có = 1- 16 = -15 < 0 nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = -1
Cách 2: Ta đặt y thì rồi giải y sau đó giải x để tìm nghiệm
x
x
1
2
y x
1
*/ Dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu và phương trình có chứa tham số
Ví dụ:
) 2 )(
1 (
3 2
2 ) 1 (
2
x x
x m x
Lưu ý HS khi giải phương trình này cân phải lấy nghiệm của tham số m
Trang 11
Giải
Điều kiện:
2 1 0
x x m
Phương trình (*)
) 2 )(
1 (
3 )
2 )(
1 (
) 1 ( 2 ) 2
x x m
m x
x m
x m x
x
x2 + 2x - 2mx - 2m = 3 - m2
x2 + 2( 1 - m)x + m2 - 2m -3 = 0 (1)
Nghiệm của phưong trình (*) là nghiệm của phưong trình (1) thoả mãn điều kiện trên
Phương trình (1) có 2 nghiệm là:
x1= m + 1; x2= m - 3
Để (*) có nghiệm ta phải loại giá trị của m để x -1; x -2 và m 0
Ta thấy với
x1= m + 1= -2 m = -3 khi đó x2 = -6
x1= m + 1 = -1 m = -2 khi đó x2 = -5
x2= m - 3 = -2 m = 1 khi đó x1 = 2
x2= m - 3 = -1 m = 2 khi đó x1 = 3
Vậy với m = -3 thì x = -6 là nghiệm
m = -2 thì x = -5 là nghiệm
m = 1 thì x = 2 là nghiệm
m = 2 thì x = 3 là nghiệm
m = 0 thì phương trình vô nghiệm
Với m 0; m -3; m -2; m 2; m 1 thì phương trình đã cho có nghiệm là:
x1= m + 1; x2= m - 3
Một số bài tập áp dụng:
Giải phương trình: a> x2 + 5
) 2 (
4
2
2
x x
b> 0
2
1 6
1 2
2
2
x x
x x
c> 0
1
) 1 ( 7 1
1 (
9
2
2
x
x x
x
x x
V- sử dụng Phương trình bậc hai giải phương trình bậc ba.
1> Phương trình có dạng:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 có hai tính chất sau để áp dụng:
1- Nếu a + b + c + d = 0 thì phương trình có 1 nghiệm x = 1
Trang 122- Nếu a - b + c - d = 0 thì phương trình có 1 nghiệm x = -1
3- Nếu a,b,c,d nguyên thì phương trình có nghiệm hữu tỷ thì p, q theo thứ tự
q p
là ước của d và a
4 - Nếu ac2 = bd2 (a,d 0) thì phương trình có nghiệm x=
b c
Đoán nhận được một nghiệm ta có thể phân tích ra các thừa số
Ví dụ 1:
Giải phương trình: x3- 3x2 + 4x - 2 = 0 (**)
Giải
Ta thấy a + b + c + d = 1 - 3 + 4 - 2 = 0 do đó phương trình có một nghiệm x = 1 Phương trinh (**)( x- 1)( x2 - 2x + 2 ) = 0
0 2 2
0 1
2
x x x
Với x-1 = 0 x = 1
Với x2 - 2x +2 = 0 ta có ' 1 2 0 Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình (**) chỉ có một nghiệm x = 1
Ví dụ 2:
Giải phương trình: 2x3 + 4x2 +3x + 1 = 0 (1)
Giải
Ta thấy có dạng: a - b + c - d = 2 - 4 + 3 - 1 = 0
Nên phương trình có một nghiệm là: x= -1
Lúc đó (1) ( x + 1 ) ( 2x2 + 2x + 1 ) = 0
0 1 2 2
0 1
2
x x x
* Với x + 1 = 0 x = - 1
* Với 2x2 + 2x + 1 = 0 ta có ' 1 2 1 0 Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = -1
Ví dụ 3:
Giải phương trình: x3 + x2 -x 2 - 2 2= 0
Trang 13
Nhận xét rằng: ac3 = 1(- 2)3 = -2 2 = bd3
Do đó phương trình có nghiệm x = =
b
c
2
Biến đổi phương trình về dạng: ( x - 2) [ x2 + ( 2+1)x + 2] = 0
2
0 2 ) 1 2 (
0 2
x x
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x= 2
2> Phương trình dạng chứa tham số
Có thể coi tham số là ẩn để thực hiện việc phân tích đa thức
Ví dụ:
Xác định m để phương trình: m2x3 - 3mx2 + (m2 + 2)x - m = 0 (1)
Có ba nghiệm phân biệt
Giải.
Viết lại phương trình về dạng: (x3 + x)m2 - (3x2 + 1)m + 2x = 0
Coi m là ẩn và x là tham số ta được phương trình bậc hai theo m
Giải ra ta được: m = hoặc m =
x
1
1
2
2
x x
Do đó phương trình được chuyển về dạng:
(mx - 1) ( mx2 - 2x + m ) = 0
0 2
) (
0 1
mx x f mx
Phương trình có ba nghiệm phân biệt
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác
m
1
1 0
0 1
0 1
0
0 )
1 ( 0
0
2 '
m m
m m m m
m f a
Vậy với m ( 1 , 1 ) \ 0 phương trình có ba nghiệm phân biệt
Một số bài toán áp dụng:
1> Giải phương trình: a> 4x3 - 9x2 + 6x - 1 = 0
b> 2x3 + x2 - 5x + 2 = 0
c> 2x3 + x + 3 = 0
d> 2x3 - 9x + 2 = 0