Toán học Hình học giải tích trong mặt phẳng39680

HÌNH H C GI I TÍCH TRONG M T PH NG

Gói l nh: > with(geometry);

0 M t s hàm chung

01) Hàm đ t tên cho các tr c t a đ

* t tên cho tr c hoành (tr c ngang):

Cú pháp: > _EnvHorizontalName := 'x':

@Ta có th đ t tên cho các tr c theo ý mu n l nh trên ta đã đ t tên cho

tr c hoành là ‘x’

* t tên cho tr c tung (tr c d c):

Cú pháp: > _EnvVerticalName := 'y':

0.2) Hàm xác đ nh t a đ c a m t đi m M

*N u các tr c t a đ đã đ c đ nh ngh a (đ t tên) thì dùng cú pháp:

Cú pháp: > coordinates(M);

*N u các tr c t a đ ch a đ c đ nh ngh a (đ t tên) thì dùng cú pháp:

Cú pháp: > coordinates(M,[x,y]);

Trong đó: - x, y là tên c a hai tr c hoành và tung theo th t đó (Ta có

th đ t tên khác theo ý mu n)

0.3)Hàm tính hoành đ và tung đ c a m t đi m M

*Hàm tính hoành đ :

Cú pháp: > HorizontalCoord(M);

*Hàm tính tung đ :

Cú pháp: > VerticalCoord(M);

0.3) Hàm trích(tr l i)tên các đi m mút c a m t đo n th ng, đo n th ng

đ nh h ng ; các đ nh m t tam giác, m t hình vuông

Cú pháp: > DefinedAs(obj);

Trong đó: -obj là tên c a các đ i t ng nói trên (đo n th ng,…)

0.4) Hàm mô ta chi ti t m t đ i t ng (obj), m t t p h p(đi m), ho c t p

h p các đ i t ng

Cú pháp: > detail(obj);

K t qu tùy theo đ i t ng, sau đây là m t s d ng k t qu hay g p :

- tên c a đ i t ng (name of object);

- th lo i (d ng) c a đ i t ng (form_of_object); point2d , line2d,

triangle2d , circle2d,…

- t a đ c a đi m (coordinates of point), t p h p đi m;

- ph ng trình c a đ i t ng (đ ng th ng, đ ng tròn);

0.5) Th t c ‘map’ tác đ ng m t hàm (func) lên m t t p h p các đ i t ng

(objs)

Cú pháp: > map(func, objs);

Ví d :

- - - - o0o - - - -

1 i m trong m t ph ng

Xác đ nh đi m A có t a đ A a b ( ) ;

Cú pháp: > point(A, a, b); ho c > point(A, [a,b]);

Ví d :

xác đ nh đi m A(1; 3- ) ta làm nh sau:

> with(geometry):

> point(A,1,-3);

A

ki m tra xem đ i t ng v a đ nh ngh a thu c th lo i gì ta dùng l nh:

> form(A);

point2d

§K t qu là point2d cho ta bi t đ i t ng v a đ nh ngh a là “đi m”

xem t a đ đi m A ta dùng l nh:

> coordinates(A);

[1 -3, ]

Có th trích hoành đ c a đi m A b ng l nh:

> HorizontalCoord(A);

1

Có th trích tung đ c a đi m A b ng l nh:

> VerticalCoord(A);

-3 xem chi ti t các y u t liên quan đ n đi m A, ta dùng l nh:

> detail(A);

name of the object: A

form of the object: point2d

coordinates of the point: [1, -3]

@M t s hàm liên quan đ n đi m

1.1) Hàm ki m tra xem 3 đi m A, B, C có th ng hàng (cùng n m trên m t đ ng

th ng) hay không

Cú pháp: >AreCollinear(A,B,C,’cond’);

Trong đó: - cond: là option cho bi t đi u ki n đ 3 đi m A, B, C th ng hàng khi

t a đ c a A, B, C có tham s

K t qu c a câu l nh trên là true (n u 3 đi m th ng hàng) ho c false(n u 3 đi m không th ng hàng)

Khi t a đ các đi m có ch a tham s thì k t qu thông báo c a l nh là: FAIL

Và option ‘cond’ s cho ta bi t đi u ki n đ 3 đi m th ng hàng

Ví d : Cho ba đi m A(-3; 4 ,) (B 0; 5 ,- ) (C -2;1)

Ta nh p ba đi m vào Maple v i l nh:

> with(geometry):

point(A,-3,4): point(B,0,-5): point(C,-2,1):

ki m tra xem 3 đi m có th ng hàng không ta dùng l nh:

> AreCollinear(A,B,C);

true

K t qu là true cho bi t 3 đi m A, B, C th ng hàng

Ví d : Cho 3 đi m A( ) (1;3 , B 2; 2 ,- ) (C m;5)

Nh p ba đi m vào Maple:

> with(geometry):

point(A,1,3): point(B,2,-2): point(C,m,5):

Ki m tra xem A, B, C có th ng hàng không:

> AreCollinear(A,B,C,'cond');

AreCollinear: "hint: could not determine if -3+5*m is zero"

FAIL Maple thông báo FAIL cho bi t không th xác đ nh đ c A, B, C th ng hàng hay

ch a

Ta dùng l nh > cond; đ bi t đi u ki n đ A, B, C th ng hàng

> cond;

=

- + 3 5 m 0

K t qu là:

> solve(%,{m});

{m = 3} 5 1.2) Ki m tra xem 4 đi m phân bi t A, B, C, D có cùng n m trên m t đ ng tròn

(c) hay không

Cú pháp: >AreConcyclic(A,B,C,D, ’cond’);

Trong đó: - cond: là option cho bi t đi u ki n đ 3 đi m A, B, C, D cùng n m trên

m t đ ng tròn khi t a đ c a A, B, C có tham s

K t qu c a câu l nh trên là true (n u 4 đi m thu c cùng m t đ ng tròn) ho c

false(n u 4 đi m không cùng thu c m t đ ng tròn)

Khi t a đ các đi m có ch a tham s thì k t qu thông báo c a l nh là: FAIL

Và option ‘cond’ s cho ta bi t đi u ki n đ 4 đi m thu c cùng m t đ ng tròn

2 o n th ng trong m t ph ng

xác đ nh đo n th ng có hai đi m mút là A, B ta dùng l nh:

Cú pháp: >segment(seg,[A,B]);

>segment(seg, A,B);

* o n th ng có đ nh h ng

>dsegment(dseg,[A,B]);

>dsegment(dseg, A,B);

Trong đó: -seg: là là tên c a đo n th ng;

- A, B: là tên c a hai đi m mút

ng d ng c a đo n th ng có đ nh h ng là “xác đ nh h ng” cho vect c a phép

t nh ti n Có th xem nó là vect c a phép t nh ti n

* Trung đi m M c a đo n th ng AB

Cú pháp: >midpoint(M,A,B);

ho c >midpoint(M,seg);

Trong đó: - seg là tên c a đo n th ng đã đ c xác đ nh tr c

a) ng th ng l đi qua 2 đi m A, B cho tr c

Cú pháp: >line(l,[A,B]);

b) ng th ng l xác đ nh b i m t ph ng trình t ng quát cho tr c

Cú pháp: >line(l,eq,name);

Trong đó: - eq: là ph ng trình hai bi n s ;

- name: là tên c a 2 bi n xác đ nh hai tr c ngang(tr c hoành_ horizontal axis) và tr c d c(tr c tung_vertical axis)

* tên c a hai tr c đ c đ nh ngh a b ng l nh:

+ tr c hoành: > _EnvHorizontalName := x:

+ tr c tung: > _EnvVerticalName := y:

( đây chúng ta đã đ t tên cho tr c hoành là x, tr c tung là y)

* N u ta không đ t tên cho hai tr c thì Maple s nh c chúng ta vi c này

Ví d :

Vi t ph ng trình t ng quát c a đ ng th ng l đi qua hai đi m A( ) (1; 2 ,B 2; 3- )

###

Ta nh p các l nh nh sau:

> with(geometry):

point(A,1,2):point(B,2,-3):

line(l,[A,B]);

l xem ph ng trình c a đ ng th ng l ta dùng l nh:

> Equation(l,[x,y]);

=

- + 7 5 x + y 0

Gi i thích: Trong l nh này ta đã khai báo tên 2 tr c là x( tên tr c hoành) và y(tên

tr c tung) Do đó ph ng trình đ ng th ng đ c bi u di n qua 2 bi n x, và y

N u ta đ t tên cho 2 tr c là [u,v] ch ng h n thì k t qu s th nào? Ta cùng xem:

> Equation(l,[u,v]);

=

- + 7 5 u + v 0

N u ta dùng l nh: > Equation(l); thì Maple s yêu c u ta đ t tên cho hai tr c

¨ u tiên Maple có thông báo yêu c u ta nh p tên tr c hoành:

> Equation(l);

enter name of the horizontal axis >

Ta nh p m t tên r i đánh d u “;” đ k t thúc r i nh n Enter

Ch ng h n nh p: enter name of the horizontal axis > x;

¨Ti p theo Maple có thông báo yêu c u ta nh p tên tr c tung:

enter name of the vertical axis >

Ta nh p m t tên r i đánh d u “;” đ k t thúc r i nh n Enter

Ch ng h n nh p: enter name of the horizontal axis > y;

K t qu thu đ c là:

> Equation(l);

enter name of the horizontal axis > x;

enter name of the vertical axis > y;

=

- + 7 5 x + y 0

Nh n xét: R ràng ta nên khai báo đ y đ tên hai tr c trong câu l nh đ Maple

kh i yêu c u đ t tên

N u ta đ t tên cho hai tr c ngay t đ u thì dòng l nh > Equation(l); s cho k t

qu đ y đ

Ví d :

> with(geometry):

> _EnvHorizontalName := x:

_EnvVerticalName := y:

> point(A,1,2):point(B,2,-3):line(l,[A,B]):

> Equation(l);

=

- + 7 5 x + y 0 xem chi ti t các y u t liên quan đ n đ ng th ng l ta dùng l nh:

> detail(l);

name of the object: l

form of the object: line2d

equation of the line: -7+ 5*x+ y = 0

ª xem ph ng trình tham s c a đ ng th ng l đ u tiên ta xác đ nh ph ng

trình t ng quát r i dùng l nh > isolve_(tìm nghi m nguyên):

> Equation(l);

=

- + 7 5 x + y 0

> isolve(%,t); # ph ng trình tham s

{x = t, y = 7 - 5 t}

@M t s hàm liên quan đ n đ ng th ng

3.1) Hàm ki m tra xem 2 đ ng th ng l1 và l2 có song song v i nhau không

Cú pháp: >AreParallel(l1,l2, ‘cond’);

Trong đó: - l1; l2: là tên c a 2 đ ng th ng;

- cond: là option khai báo cho bi t đi u ki n đ l1//l2 khi ph ng trình

t ng quát c a l1 ho c l2 có ch a tham s

Ví d : Cho hai đ ng th ng ( )l1 : 3x-4y+ =5 0 ; ( )l2 : 7x my+ -7m+ =1 0

Nh p 2 đ ng th ng vào Maple:

> with(geometry):

> line(l1,3*x-4*y+5=0,[x,y]):

line(l2,7*x+m*y-7*m+1=0,[x,y]):

ki m tra xem l1, l2 có song song hay không, ta dùng l nh:

> AreParallel(l1,l2,'cond');

AreParallel: "hint: cannot determine if 3*m+28 is zero"

FAIL Maple thông báo FAIL cho ta bi t ch a xác đ nh đ c l1, l2 có song song

v i nhau hay không tìm đi u ki n c a tham s m đ l1//l2, ta dùng l nh:

> cond;

= +

3 m 28 0

> solve(%,{m});

{m = -28} 3

3.2) Hàm ki m tra xem 2 đ ng th ng l1 và l2 có vuông góc v i nhau không

Cú pháp: >ArePerpendicular(l1,l2, ‘cond’);

Trong đó: - l1; l2: là tên c a 2 đ ng th ng;

- cond: là option khai báo cho bi t đi u ki n đ l1^l2 khi ph ng trình t ng quát c a l1 ho c l2 có ch a tham s

Ví d : Cho đi m A ( ) 1;3 và đ ng th ng ( )l : 3x+7y-13=0 Vi t ph ng

trình đ ng th ng (d) đi qua A và vuông góc v i (l)

Nh p đi m A và đ ng th ng (l):

> with(geometry):

> point(A,1,3): line(l,3*x+7*y-13=0,[x,y]):

Nh p đ ng th ng (d) qua A v i PTTQ:a x( - +1) (b y-3)= 0

> line(d,a*(x-1)+b*(y-3)=0,[x,y]):

checkline: "One of the following conditions must be satisfied " a

<> 0 b <> 0

Erro

Maple yêu c u chúng ta ph i khai báo a ¹ ho0 c b ¹0

V y ta ph i khai báo thêm dùng l nh nh sau:

> assume(a<>0,b<>0);

line(d,a*(x-1)+b*(y-3)=0,[x,y]):

Bây gi ta tìm đi u ki n đ (d)^(l):

> ArePerpendicular(l,d,'cond');

ArePerpendicular: "hint: cannot determine if 3*a+7*b is zero"

FAIL

i u ki n c n tìm là:

> cond;

= +

3 a~ 7 b~ 0

@Bây gi ta tìm m t s l nh khác đ vi t ph ng trình c a (d):

> dk:=solve(%,{a}): # tính a theo b

> f:=a*(x-1)+b*(y-3):subs(dk,f): # tính f v i a,b thõa h th c trên

> primpart(%,x):%=0; # làm g n h s c a f và l p ph ng trình f=0

=

-7 x - + 2 3 y 0

Nh n xét: Rõ ràng đ n k t qu 3 a~ + 7 b~ = 0 có th ch n a =7,b= -3 ta đ c

ph ng trình c a (d):7x-3y+ = Nh ng tôi v n mu n dùng các tính n ng c a 2 0 Maple đ gi i quy t đi u đó Vi c này có th giúp ta l p m t ch ng trình cho bài toán t ng quát

Trên đây là m t ví d minh h a cho “hàm ki m tra quan h vuông góc c a 2

đ ng th ng” ch đ i v i bài toán này ta không gi i theo ph ng pháp trên

3.3) Hàm ki m tra xem đ ng th ng l có ti p xúc v i đ ng tròn c không

Cú pháp: >AreTangent(l,c);

Trong đó: - l; c: là tên c a đ ng th ng và đ ng tròn;

Ví d : Cho đ ng tròn có ph ng trình ( ) ( ) (2 )2

c x- + y- = và 2 đ ng

th ng có ph ng trình ( )d1 :x-2y+ = , 8 0 ( )d2 : 3x-2y- = 6 0

Nh p ph ng trình các đ ng trên vào Maple:

(Xem ph n nh p đ ng tròn m c 4_đ ng tròn)

+Nh p 2 đ ng th ng:

> restart;

with(geometry):

> line(d1,x-2*y+8=0,[x,y]):line(d2,3*x-2*y-6=0,[x,y]):

+Nh p đ ng tròn (c):

> circle(c,(x-3)^2+(y-3)^2=5,[x,y]):

ki m tra xem (d1) có ti p xúc v i (c) hay không ta dùng l nh:

> AreTangent(d1,c);

true

K t qu là true cho bi t (d1) ti p xúc v i (c)

ki m tra xem (d2) có ti p xúc v i (c) hay không ta dùng l nh:

> AreTangent(d2,c);

false

K t qu là false cho bi t (d2) không ti p xúc v i (c)

@Có th dùng đ th đ minh h a kh ng đ nh trên:

v các đ ng trên ta dùng l nh > draw( ); nh sau:

>

draw([d1(color=blue),d2(color=black),c],view=[-2 8,-2 8]);

Cách khác: (dùng gói l nh > with(plottools): with(plots):)

Tr c khi v (d1) và (d2) ta l y 2 đi m ng u nhiên trên (d1) và trên (d2) r i v

đ ng th ng đi qua 2 đi m đó.( ây là cú pháp c a Maple)

Dùng l nh > randpoint(); đ l y 2 đi m A, B ng u nhiên trên (d1) và 2 đi m

C, E ng u nhiên trên (d2)

> randpoint(A,d1,-1 0):randpoint(B,d1,0 1):

> randpoint(C,d2,-1 0):randpoint(E,d2,0 1):

Tr c khi v đ ng tròn (c) c n xác đ nh tâm và bán kính:

> circle(c,(x-3)^2+(y-3)^2=5,[x,y]):

> q:=center(c);r:=radius(c);

:=

q center_c

:=

Bây gi ta dùng gói l nh (xem ch ng v đ th ) đ v các đ ng trên:

> with(plottools):

with(plots):

> d_1:=line(coordinates(A,[x,y]),coordinates(B,[x,y]),

color=red, linestyle=dash):

> d_2:=line(coordinates(C,[x,y]),coordinates(E,[x,y]),

color=black, linestyle=dash):

> c1 := circle(coordinates(q,[x,y]),r, color=blue):

> display(d_1,d_2,c1);

Nh n xét: Cách dùng gói l nh with(plots) khá dài dòng ph c t p, theo tôi đ

v các đ ng trong hình h c ta nên dùng l nh ‘draw’

3.4) Hàm ki m tra xem 3 đ ng th ng l1,l2,l3 có đ ng quy hay không

Cú pháp: >AreConcurrent(l1,l2,l3, ‘cond’);

Trong đó: - l1; l2;l3: là tên c a 2 đ ng th ng;

- cond: là option khai báo cho bi t đi u ki n đ l1,l2,l3 đ ng quy

khi ph ng trình t ng quát c a l1, l2 ho c l3 có ch a tham s

3.5) Hàm xác đ nh đ ng th ng (d) đi qua đi m A cho tr c và song song v i

đ ng th ng (l) cho tr c

Cú pháp: >ParallelLine(d, A, l);

Trong đó: - d là tên đ ng th ng d ng đ c;

- A, l: là tên c a đi m và đ ng th ng cho tr c

3.6) Hàm xác đ nh đ ng th ng (d) đi qua đi m A cho tr c và vuông góc v i

đ ng th ng (l) cho tr c

Cú pháp: >PerpendicularLine(d, A, l);

Trong đó: - d là tên đ ng th ng d ng đ c;

- A, l: là tên c a đi m và đ ng th ng cho tr c

Ví d :

Quay l i ví d m c 3.2), ta có th vi t nhanh đ ng th ng (d) đi qua đi m

( ) 1;3

A và vuông góc v i đ ng th ng ( )l : 3x+7y-13=0 nh sau:

Nh p đi m A và đ ng th ng (l):

> with(geometry):

> point(A,1,3): line(l,3*x+7*y-13=0,[x,y]):

xác đ nh đ ng th ng (d) qua A và (d)^(l), ta dùng l nh:

> PerpendicularLine(d,A,l):

xem ph ng trình c a (d) ta dùng l nh:

> Equation(d,[x,y]);

= + -

2 7 x 3 y 0

Ho c mu n xem chi ti t v (d) ta dùng l nh:

> detail(d);

name of the object: d

form of the object: line2d

equation of the line: 2+ 7*x-3*y = 0

3.7) Hàm xác đ nh đ ng trung tr c (d) c a đo n th ng AB

Cú pháp: >ParallelLine(d, A, B);

Trong đó: - d là tên đ ng th ng d ng đ c;

- A,B: là tên c a 2 đi m mút

3.8) Hàm xác đ nh h s góc c a đ ng th ng (l) cho tr c

Cú pháp: >slop(l);

* Xác đ nh h s góc c a đ ng th ng đi qua 2 đi m A, B ta có cú pháp:

>slop(A, B);

3.9) Hàm xác đ nh giao đi m M c a 2 đ ng th ng (l1) và (l2)

Cú pháp: >intersection(M, l1, l2);

3.10) Hàm ki m tra xem đi m M có n m trên đ ng th ng (l) không

Cú pháp: >IsOnLine(M, l, ‘cond’);

Trong đó: - M, l là tên c a đi m và đ ng th ng cho tr c;

- cond: là option khai báo cho bi t đi u ki n đ MÎ(l)

4 Tam giác

a) Tam giác T có 3 đ nh A, B, C cho tr c

Cú pháp: > triangle(T,[A,B,C],name);

Trong đó: - T là tên c a tam giác;

- name: là tên c a 2 tr c t a đ (đ t trong c p ngo c [ ])

b) Tam giác T có 3 đ nh là giao đi m c a 3 đ ng th ng l1, l2, l3 cho tr c

Cú pháp: >triangle(T,[l1,l2,l3],name);

c) Tam giác T có 3 đ dài 3 c nh a, b,c cho tr c

Cú pháp: >triangle(T,[a,b,c]);

d) Tam giác T xác đ nh b i 2 c nh a, bcho tr c và góc a gi a 2 c nh đó

Cú pháp: >triangle(T,[a, ’angle’=a, b],name);

Nh n xét: Theo 2 l nh c) và d) thì tam giác d ng đ c là tùy ý

·M t s hàm liên quan đ n tam giác

4.1) Hàm “ tính di n tích” c a tam giác T:

Cú pháp: >area(T);

Ví d : Cho ba đi m A ( ) ( 1;2 , B - 1;1 , ) ( ) C 2;3

xác đ nh tam giác ABC ta dùng l nh:

> with(geometry):

triangle(ABC, [point(A,1,2), point(B,-1,1), point(C,2,3)]):

tính di n tích tam giác ABC ta dùng l nh:

> area(ABC);

1 2 4.2) Hàm ki m tra xem 2 tam giác T1, T2 có đ ng d ng hay không?

Cú pháp: >AreSimilar(T1,T2, ‘cond’);

Trong đó: - T1; T2: là tên c a 2 tam giác;

- cond: là option khai báo cho bi t đi u ki n đ T1 và T2 các y u

t trong tam giác có ch a tham s

4.3) Hàm xác đ nh đ ng cao AH c a tam giác ABC_ H là hình chi u c a A trên

c nh BC)

t tên đ ng cao là hA Khi đó:

Cú pháp: >altitude(hA, A, ABC, H);

Trong đó: - ABC là tên c a tam giác;

- A là đ nh; hA là tên đ ng cao; H là chân đ ng cao

Chú ý: N u có khai báo H thì hA chính b ng đo n AH, n u không thì hA là đ ng th ng qua A và vuông góc v i BC

4.4) Hàm xác đ nh đ ng phân giác trong AD c a tam giác ABC_D là chân

đ ng phân giác trong c a góc ·BAC và thu c đo n BC

Cú pháp: >bisector(pA, A, ABC, D);

Trong đó: - ABC là tên c a tam giác;

- A là đ nh; pA là tên đ ng phân giác; D là chân đ ng phân giác