Toán học Giới hạn của hàm số nguyên hàm và tích phân39676

Nguyên hàm và tích phân xác đ nh.

GI I H N C A HÀM S NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

I Gi i h n c a hàm s

Dùng l nh > limit(hàm s , x = x 0 , left/right (trái/ph i)); đ hi n th (tính) giá tr c a gi i

2

lim

x

x x

®

> limit((1-sqrt(x-1))/(1+surd((1-x),3)),x=2);

3 2

(Trong Maple, c n b c n c a s a đ c khai báo b i t khóa > surd(a,n); )

N u đ a vào gi ng d y, chúng ta c n cho hi n th bi u th c gi i h n u tiên chúng ta nh p vào Maple l nh sau:

> Limit((1-sqrt(x-1))/(1+surd((1-x),3)),x=2);

lim ®

x 2

-

1 x - 1

+

1 surd ( 1 - x 3 , )

hi n th k t qu c a gi i h n trên chúng ta ch c n dùng hàm >value(%); trên dòng

> value(%);

3 2

L u ý: N u ch tính gi i h n c a hàm s t i m t đi m nào đó thì ta không c n khai báo thêm thông s left ho c right

Ví d 2: Tìm gi i h n bên trái và gi i h n bên trái và gi i h n bên ph i c a hàm s

2

1

x

y

x

-=

d quan sát, đ u tiên chúng ta nh p bi u th c c a hàm s vào Maple:

> y:=abs(x-1)/(sqrt((x^2+3))-2);

:=

- +

> Limit(y,x=1,left);

-

Giá tr c a gi i h n bên trái :

> value(%);

-2

> Limit(y,x=1,right);

lim ® +

x 1

-

- +

Giá tr c a gi i h n bên ph i :

> value(%);

2

> Limit(y,x=1);

lim ®

x 1

-

- +

> value(%);

undefined

x

x x x

Maple:

> y:=x-sqrt(x^2+x+1);

:=

y x - x2 + + x 1

Bi u th c gi i h n c a hàm s khi x ® -¥ :

> Limit(y,x=-infinity);

lim ®

x ( -¥ ) x - x2 + + x 1

Giá tr c a gi i h n trên:

> value(%);

-¥

Bi u th c gi i h n c a hàm s khi x ® +¥ và giá tr c a gi i h n:

> Limit(y,x=+infinity);

lim ®

x ¥ x - x2 + + x 1

> value(%);

-1 2

F ý: Khi x ® +¥ thì Maple v n cho hi n th là x ® ¥ , khác v i khi x ® -¥

Ví d 4: Tìm gi i h n:

0

1 lim

x® x

Dùng Maple đ tính gi i h n trên ta đ c k t qu :

> limit(1/x,x=0);

undefined

Nh ng n u tính các gi i h n

0

1 lim

x® + x

và

0

1 lim

x® - x

thì k t qu s th nào ? Chúng ta dùng hai th t c sau (tính gi i h n ph i/trái c a hàm s “ham” t i x=x0) đ d

> ghtrai:=proc(ham,x0)

print(Limit(ham,x=x0,left)=limit(ham,x=x0,left))end proc:

> ghphai:=proc(ham,x0)

print(Limit(ham,x=x0,right)=limit(ham,x=x0,right))end proc:

> ghtrai(1/x,0);

= lim ®

-x 0

1

> ghphai(1/x,0);

= lim ® +

x 0

1

Nh v y chúng ta th y, Maple đã giúp cho chúng ta phân bi t rõ h n r ng:

0

1 lim

xác đ nh, nh ng

0

1 lim

x® + x = +¥ và

0

1 lim

x® - x = -¥ i u này hoàn toàn phù h p v i yêu c u

đ i m i và n i dung c a ch ng trình SGK ph thông hi n nay

Chú ý: Trên t p s th c thì

0

1 lim

x® x không xác đ nh, nh ng trên t p s ph c thì Maple s thông báo v i k t qu khác:

> Limit(1/x,x=0,complex)=limit(1/x,x=0,complex);

= lim

® ,complex

x 0

1

x ¥ ¥ I -

M t đi u c n l u ý là n u trong hai l nh trên chúng ta không khai báo thông s “complex”

Ví d 5: Gi i h n c a hàm s cho b i nhi u công th c

Cho hàm s f x( )= íìïx2-2x+3 víi x£2,

Tìm ( ) ( ) ( )

2

u tiên chúng ta nh p công th c c a hàm s vào Maple:

> f:=piecewise(x<=2,x^2-2*x+3,x>2,4*x-3);

:=

f { x2 - 2 x + 3 x £ 2

-

4 x 3 2 < x

·Gi i h n bên ph i c a hàm s t i x=2:

> limit(f,x=2,right);

5

·Gi i h n bên trái c a hàm s t i x=2:

> limit(f,x=2,left);

3

·Gi i h n c a hàm s t i x=2:

> limit(f,x=2);

undefined

Hàm s không có gi i h n t i x=2

= ¹ =

Qua đây chúng ta nh n th y Maple có th tính đ c gi i h n c a nh ng hàm s cho b i nhi u công th c

l nh with(student))

Ví d 6: Hãy kh o sát các dòng l nh sau:

> with(student):

> L:=Limit(x^3-2*x^2+5/x,x=3/2);

> L:=expand(L);

> value(%);

Nh v y, Maple có th phân tích gi i h n c a m t t ng thành t ng c a các gi i h n thành

ph n Và đi u ng c l i Maple c ng th c hi n đ c

Chúng ta hãy xem các dòng l nh sau:

>

L1:=Limit((x+1)/(x^2-1),x=0)+Limit((sqrt(x+1)-1)/(x^2-3*x+2),x=0);

> L1:=combine(L1);

> value(%);

k t h p t ng các gi i h n chúng ta dùng hàm combine

khi tính gi i h n m t hàm s

· Quy t c đ a h ng s ra kh i d u gi i h n trong phép nhân

Ví d :

> restart;

> with(Student:-Calculus1):

> Rule[`c*`](Limit(sqrt(2)*sin(7*x), x=Pi/2));

> value(%);

· Quy t c đ i bi n

x

®+¥ chúng ta đ i bi n u 1

x

=

> Rule[change, u=1/x](Limit(x*sin(1/x), x=+infinity));

II Nguyên hàm và tích phân xác đ nh

1 Nguyên hàm c a hàm s : ò f x dx( )

> int( f(x), x); ( cho k t qu )

Ví d :

2

x

> Int(x^2-2*x+1/x,x);

N u mu n hi n th c hai, chúng ta có th k t h p hai l nh trên nh sau:

> restart;

> Int(x^2-2*x+1/x,x)=int(x^2-2*x+1/x,x)+C;

đây chúng ta c ng thêm h ng s C đ k t qu tr c quan và chính xác h n !

· M t đi u c n l u ý r ng: f x có th là m t hàm s , c( ) ng có th là m t bi u th c ch a

bi n

Ch ng h n, khi nh p vào Maple:

> f:=sqrt(x)-3*x^2+ln(x);

> Int(f,x)=int(f,x)+C;

Nh ng n u nh p d i d ng hàm s :

> f:=x->sqrt(x)-3*x^2+ln(x);

> Int(f,x)=int(f,x)+C;

Nh v y, khi f là hàm s , n u trong câu l nh chúng ta ch dùng tên hàm s “f” thì Maple

> Int(f(x),x)=int(f(x),x)+C;

ó chính là đi u c n l u ý khi s d ng Maple !

2 Tích phân xác đ nh c a hàm s f trên đo n [a; b] : b ( )

a

f x dx

> int( f(x), x=a b); ( cho k t qu ) Trong đó f(x) là m t bi u th c ho c là m t hàm s bi n s x

> Int(1/(x*(x+1)),x=1/2 2)=int(1/(x*(x+1)),x=1/2 2);

Có th dùng th t c sau cho g n khi mu n hi n th c hai l nh trên:

> tp:=proc(f,a,b)

print(Int(f,x=a b)=int(f,x=a b))

end proc:

s d ng th t c này chúng ta ch c n nh p >tp(f,a,b); thì s cho k t qu tích phân c a

Ví d : Sau khi đã thi t l p th t c trên chúng ta tính tích phân ln 2 2 1

0

1

x x

e

dx e

+ +

> f:=(e^(2*x+1)+1)/e^x;

> tp(f,0,ln(2));

M t đi u c n l u ý, n u f là hàm s thì l nh tính giá tr c a tích phân c a hàm f trên đo n

“f” thay vì “f(x)”

Ví d :

> f:= x -> x^2*(1-x)^5

Warning, inserted missing semicolon at end of statement

Chúng ta nh p f d ng hàm s

> Int(f(x),x=0 1)=int(f,0 1);

Nh ng mu n hi n th bi u th c tích phân (khi f là hàm s ) chúng ta ph i khai báo đ y đ

> Int(f,0 1);

§ Gói l nh “with(IntegrationTools)” v i tích phân

Trong đó V là bi u th c tích phân c a m t hàm sô xác đ nh tr c

Ví d : Tính

1

2 0

-ò (H ng d n: đ t x=sinu)

> with(IntegrationTools):

> V:=Int(sqrt(1-x^2),x=0 1);

i bi n theo h ng d n, chúng ta đ c k t qu :

> V:=Change(V,x=sin(u));

> V:=subs(cos(u)^2=(1+cos(2*u))/2,V1);

n đây, vi c tính tích phân trên không còn ph c t p n a

hi n th k t qu chúng ta dùng l nh:

> V:=value(V);