SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNGMôn Thi : TOÁN ; Khối :D Lần thứ hai Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Gọi I là giao điểm củ
Trang 1SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
Môn Thi : TOÁN ; Khối :D
Lần thứ hai
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề gồm 01 trang
-Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị ( C )
1
2
x
x y
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
2 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( C ).Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ), biết khoảng cách từ I đến tiếp tuyến đó bằng 2
Câu II ( 2,0 điểm)
4 2 sin(
2 1 3 cos
x x
x
2 Giải phương trình 3 6 x 2 8 x3 4 x 2
Câu III (1,0 điểm ) Tính tích phân 1
3
dx x
x x I
Câu IV (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và BCD là các tam giác đều cạnh
a, góc giữa AD và mặt phẳng ( ABC ) bằng 450 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a
và góc giữa hai mặt phẳng ( ABD ) và ( ABC )
Câu V (1,0 điểm) Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
y
y x
x P
1 1
Câu VIa ( 2,0 điểm)
1 Trong hệ toạ độ Oxy, cho điểm A( 1; 1) và đường thẳng d: x - y + 1 = 0 Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho đường thẳng đi qua hai điểm A, B tạo với d một góc 450
2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) và đường thẳng (d) có phương trình là
, (d): Viết phương trình mặt phẳng (P)
( ) : (S x1) y (z 2) 9
2 2
1
x
vuông góc với đường thẳng (d) và cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn có bán kính bằng 2
Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z biết: z 1 1 và ( 1 i )( z 1 ) có phần ảo bằng 1
-hết -Họ và tên thí sinh……….số báo danh………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN KHỐI D
1 Tập xác định: D R \ 1
2 Sự biến thiên của hàm số:
* Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số Tiệm cận của đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1
1 1
2 1 lim 1
2 lim lim
x
x x
x y
x x
x
làm tiệm cận ngang
Đồ thị hàm số nhận
2 lim lim
; 1
2 lim lim
1 1
1
x y
x
x y
x x
x x
đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng
0,25
* Lập bảng biến thiên:
Có x D, y’ không xác định tại x = 1
x
) 1 (
1
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó Hàm số không có cực trị
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
I.1
( 1,0 đ)
3 Đồ thị:
Đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại (2;0),
( C ) cắt trục Oy tại (0; 2)
Đồ thị ( C ) nhận I(1; 1) làm tâm
4
2
-2
1
I
x
y
f x = -2 -1
1
1
+
-
+
1 -
y y' x
Trang 3Giao điểm của hai đường tiệm cận của ( C ) là I( 1; 1 ).
Gọi ) ( ), ( 1 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với (C)
1
2 ,
0
0
x C x
x x M
Khi đó phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M là:
(d) 0 2 4
) 1 ( 1
2 )
( ) 1 (
1
0
2 0
2 0 0
0 0 2
0
x
x x x x
y
0,25
) 1 ( 1
2 4
) 1 ( 1 2 )) ( , (
4 0
0
2 0
2 0
x
x x
x d
I d
4 0
0
) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 )
1 ( 1
2 2
x x
0,25
Đặt 2 ( đk: t > 0 ) pt có dạng:
0 1 )
x t
) / ( 1 0
1 2 2
m t t t
I.2
( 1,0 đ)
2
0 1
) 1 ( 1
0
0 2
0
x
x x
t
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là:
0 2
0 2
y x
y
) 4 2 sin(
2 1 3 cos
x x
x 2 cos 2 cosx x 1 sin 2x cos 2x 0,25
2
2 cos 2 cosx x sin 2x 2 cos x 2 cos (cos 2x x sinx cos )x 0
2 cos (cos sin )(cos sin 1) 0 cos cos( ) 2 cos( ) 1 0
0,25
II.1
(1,0 đ)
) , , (
2 2
2 4 3 2
2
1 ) 4 cos(
0 ) 4 cos(
0 cos
Z m l k
l x
l x
m x
k x
x x
x
0,25
Đặt y 3 6 x 2 y3 6 x 2 ta có hệ:
) 2 ( 2 6
) 1 ( 2 4 8 3 3
x y
x x
Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: y3 y 8 x3 2 x
y3 y ( 2 x )3 2 x(*) 0,25
Trang 4Xét hàm f t t3 t có: đồng biến
) ( f ' ( t ) 3 t2 1 0 t f ( t ) t
Từ (*) có: f ( y ) f ( 2 x ) y 2 x 3
8 2
6 x x
II.2
( 1,0đ)
Vậy pt có 2 nghiệm là
1 2
1 0
2 6
8 3
x
x x
x
1 2 1
x
x
0,25
dx
x
x dx
x
x x
3
3 2 1
3
0,25
x dt t x
t x
2
2 3
1
1 1
x
3 2
3
0,25
Khi đó: dx t dt ; Đ ổi cận:
x
x
2 3 1
1
3
3
3 2
0 1
; 2 3
III
(1,0 đ)
Khi đó 6
8
3 2
0
2 0
4
3
Gọi H là trung điểm của BC
Do ABC và BCD đều cạnh a nên
và 2
3
a DH
Kẻ DK AH DK ( ABC )
45
45
DAH vuông cân tại K;
DAK
vuông cân tại H
DAH
DH
0,25
Diện tích tam giác ABC là: 1 0 2 3
sin 60
ABC
a
Thể tích khối tứ diện ABCD là 1 1 3 2 3 3
3 ABC 3 2 4 8
Kẻ HE AB DE AB Vậy góc giữa 2 mp ( ABD) và ( ABC) là góc giữa
hai đường thẳng DE và HE và bằng gócDEH
0,25
Câu IV
( 1,0 đ)
Gọi CF là đường cao xuất phát từ C của tam giác đều ABC cạnh a nên có
2
3
a
CF
4
3 2
CF
HE tanDEH DH 2 DEH arctan 2
HE
0,25
a F
E
H a
B
C D
A
Trang 5Vậy góc giữa hai mp ( DAB) và (ABC) là góc DEH =arctan 2
1
0 ,
y x
y x
t y
t x
2 2
cos
sin
) 2
; 0 (
t
Tacó:
t t
t t
t t t
t t
t
t t
t
t t
t P
cos sin
) cos (sin
cos sin 3 ) cos (sin
cos sin
cos sin
sin
cos cos
0,25
4 sin(
2 cos
u
2
1 cos
sin
2
u
t t
4
sin(
2
2 4
3 4 4
2
1
3 2
3
u
u u
Có P luôn nghịch biến với
) 1 (
) 3 (
4
u
u
V
(1,0 đ)
tại 2 ) 2 (
4 1
) 4 sin(
Vậy 2
1
2
1 2
min x y
Đường thẳng d đi qua điểm M(1;-2) có VTCP u ( 1 ; 1 ) nên có ptts
Do ) (
y
t x
) 1
; ( t t B
d
Có AB ( t 1 ; t ) AB u 2 t 1
Theo giả thiết có góc giữa đường thẳng AB và d bằng 450
u AB
u AB u
AB d
AB
.
)
, cos(
) ,
0,25
2
1 2 1 2 2
1 2 )
, cos(
t t
t d
AB
1 2 2 1
0,25
VIa.1
(1,0đ)
) 2
; 1 (
) 1
; 0 ( 1
0 0
2
2 2
B
B t
t t
t
0,25
Trang 6(P) vuông góc với d nên VTPT của (P) là n ( 1 ; 2 ; 2 ) 0,25 Giả sử (P) có phương trình : x 2 y 2 z D 0
Ta có d ( I ; ( P )) R2 4 5 0,25
5
) 2 ( 2 1
5
2 2
0,25
VIa.2
( 1,0đ)
5 5 3
5 5 3 5
3 5
5 3 5
D
D D
D
Vậy có hai mp thỏa mãn đề bài là:
0 5 5 3 2 2 :
) (
0 5 5 3 2 2 :
) (
z y x P
z y x P
0,25
Gọi z x yi ( x , y R ) z x yi
Ta có: z 1 1 ( x 1 )2 y2 1 ( 1 ) 0,25
Vì ( 1 i )( z 1 ) ( x y 1 ) ( x y 1 ) i có phần ảo bằng 1 nên x – y – 1 = 1 0,25
x 1 y 1 ( 2 )
Thay (2) vào (1) có: ( y 1 )2 y2 1 2 y2 2 y 0 0,25 VIIa
(1,0đ)
1
0
y y
Với y 0 x 2 z 2
Với y 1 x 1 z 1 i
Vậy có 2 số phức là z = 2 và z = 1 - i
0,25