CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN THỨC BẬC HAI DẠNG 1: TÍNH TOÁN, RÚT GỌN, BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI SỐ HỌC I.. Định nghĩa: Với A là biểu thức đại số, người ta gọi Ađược gọi là căn thức bậc
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1:
CĂN THỨC BẬC HAI
DẠNG 1:
TÍNH TOÁN, RÚT GỌN, BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC
CHỨA CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
I Kiến thức cần nhớ:
1 Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
2 Định nghĩa căn bậc hai số học
x được gọi là căn bậc hai số học của số a không âm x a nếu: x2 0
x a
3 Hằng đẳng thức: 2 khi A 0
khi A< 0
A
A
4 Quy tắc khai phương một tích, nhân các căn bậc hai:
(A; B 0)
N ếu: A0 ta có: 2
2
=A
A A
5 Quy tắc khai phương một thương, chia các căn bậc hai:
(A 0; B > 0)
6 Nắm được quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn:
2
2
2
( B >0)
( A 0, B >0) ( A 0, B >0)
7 Nắm được quy tắc khử mẫu của biểu thức lấy căn bậc hai:
a) Với các biểu thức A, B mà B > 0 ta có:
A B = ( B > 0) B
A B
b) Với các biểu thức A, B, C mà A0và 2ta có:
AB
2
=
B
B C
A B
b) Với các biểu thức A, B, C mà A0;B0và AB ta có:
=
B
B C
Trang 28 Nhớ được căn bậc hai số học của các số chính phương nhỏ hơn 1000 hoặc lớn hơn càng tốt như: 4 2; 9 3; 121 11; 625 25;
9 Nhớ được quy tắc so sánh các căn bậc hai số học:
Với các số a; b mà a0;b0 ta có: a b a b
Với các số a; b mà a0;b0 ta có: 2 2
II Các ví dụ
Ví dụ 1: Tính
) 81.196
a
) 0, 9.1, 21.1000
e
) 360.250
b
) 117 108
) 0, 016.6, 4.100
c
) 75.180
g
) 14, 4.490
d
16 25 81
Hướng dẫn: Áp dụng quy tắc khai phương một tích để giải.
Ví dụ 2: Tính
) 2 8
a
5 ) 3 12
) 3 75
b
56 ) 14
a
) 0,1 90
c
) 3 27
) 4, 9 72 20
d
Hướng dẫn: Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai để giải.
Ví dụ 3: Tính
999
)
111
a
15
)
735
e
48 ) 3
b
1, 6 ) 0,1
f
2 ) 18
c
3 ) 243
a g
a
12, 5 )
0, 5
d
3 0,8 )
0, 2
a h
a Hướng dẫn: Áp dụng quy tắc chia các căn bậc hai để giải.
Ví dụ 4:
a) So sánh 2010 2012 và 2 2011
b) Chứng minh rằng: Nếu a > b > 0 thì a b a b
Hướng dẫn:
2010 2012 2 2011
4022 2 2010 2012 8044
2010 2 2010 2012 2012 2010 2012 0
2010 2012 2 2011 2010 2012 2 2011
a b a b a a b b a b b a b b b a
Vì a > b > 0 nên a b b a 0do đó: 2 b b a 0
Trang 3III Bài tập vận dụng:
Bài 1:
; 108 27
12
3
a
)2 45 80 125;
; 48 300 75
c
; 18 50 8 )
d
; 50 98 18 )
e
; 72 98 50 32
f
Bài 2:
)2 20 3 80 2 45 405;
; 3
1 1 10 27 75 3 48 3
1
b
1 )4 72 18 6 200;
2
4
3 3
4 12 3
4 )
15
1 2 60
1 20
3
e
Bài 3:
; 2
.
8
)
a
; 54
.
32
)
b
) 15 27 180;
c
) 8 18 98;
d
)( 20 5 45) 5;
)(2 5)(2 5);
) 5 3 3 5
) 4 15 4 15
) 6 2 5 6 2 5
) 5 3 2 5 3 2
Bài 4:
;
7
:
28
)
a
; 5 : ) 45 5
20
)(
b
; 3 : ) 48 243
75
)(
c
; 3 5 : ) 27 15
12
20
)(
d
5
20 )
e
5 7 7 5 2 70 )
35
)(2 5 2 15 125 ) : 5
1 1 5 1 ) 5 20 5 : 2 5
5 2 4 12
Bài 5:
2 2
) 5 2 ( )
5
2
(
a
2
2 ( 3 2 )
)
2
3
(
b
) ( 3 5) ( 3 2)
) 6 2 5 6 2 5
) 4 2 3 4 2 3
) 8 2 15 8 2 15
) 2 3 2 3
g ) 4 15 4 15
) 3 5 3 5
k
Bài 6:
) 8 60 8 60
a
) 17 12 2 9 4 2
) 16 2 63 16 6 7
) 24 8 5 9 4 5
) 5 3 29 12 5
) 13 30 2 9 4 2
2 2 3 2 1 2 1 )
h
Bài 7: Trục căn thức ở mẫu:
2
)
3
3 5
3
)
3 20
5 3
e
2 2
)
2 1
f
10 2 )
1 5
1 )
2008 2007
h
15 6 )
2 5
6 )
2 3 3 2
l
Bài 8: So sánh
a) 2 3 và 3 2
b) 99 101 và 200
c) 2006 2005 và 2007 2006
d) 1991 1993 và 2 1992
Bài 9: Chứng minh rằng:
Trang 41 1 1 1 1
2 1 3 2 4 3 168 167 169 168
DẠNG 2:
TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I Kiến thức cần nhớ
1 Định nghĩa: Với A là biểu thức đại số, người ta gọi Ađược gọi là căn thức bậc hai của A Khi đó A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
2 Điều kiện tồn tại ( xác định):
+ A có nghĩa( xác đinh) A 0;
+ có nghĩa( xác đinh) ;
A
1
0
A
+ có nghĩa( xác đinh)
A
1
0
A
Lưu ý: Để tìm ĐKXĐ các em cần
1 Cách giải bất phương trình ở lớp 8
2 Thực hiện tốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
3 Nắm vững hằng đẳng thức, đặc biệt là các hằng đẳng thức:
B B A A
B A B A B A
B A B
AB A
3
2
) (
2
II Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm ĐKXĐ( có nghĩa) của các biểu thức:
) 3
a x
1
)
2 1
f
x
) 2 3
b x
51 )
5 1
f x
) 7 2
c x
) ( 1)( 2)
g x x
3 ) 2
d
x
2
) 9
h x
3 )
1 2
e
x
3 )
1 2
x k
x
Ví dụ 2: Tìm ĐKXĐ( có nghĩa) của các biểu thức:
1
)
1
a
a
2
)
5 6
a
e
a a
1 ) 2
b
a 51 )
4 3
f
x x
1 ) a
c
a a
1 ) 2
1
g x
x
2 ) a
d
a a
1 ) 2
3
h x
x
2 )
5 6
a e
a a
III Các bài tập
Bài 1: Tìm ĐKXĐ( có nghĩa) của các biểu thức:
) 3
a x
1
)
2 1
f
x
) 2 3
b x
51 )
5 1
f x
) 7 2
c x
) ( 3)( 2)
g x x
3 ) 2
d
x
2
) 4
h x
3 )
1 2
e
x
3 )
1 2
x k
x
Bài 2: Tìm ĐKXĐ( có nghĩa) của các biểu thức:
1
)
2
a
a b
a
1 ) 2
a c
a a
2 ) 4
a d
a a
2 )
6
a e
a a
Trang 5)
7 12
a
e
a a
51 )
10 21
f
x x
1 ) 1
2
g x
x
1 ) 1
1
h x
x
DẠNG 3:
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I Kiến thức cần nhớ
1 Nắm vững thứ tự thực hiện các phép tính n
a
2 Nắm vững quy tắc thực hiện các phép tính về đơn thức, đa thức, phân thức, căn thức.
3 Trước khi thực hiện rút gọn phải tìm ĐKXĐ để phân thức, căn thức có nghĩa:
A có nghĩa A 0; có nghĩa ; có nghĩa
A
1
0
A
A
1
0
A
4 Thực hiện tốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.
5 Nắm vững các hằng đẳng thức, đặc biệt là các hằng đẳng thức sau:
B B A A
B A B A B A
B A B
AB A
3
2
) (
2
II Cỏc vớ dụ
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:
a a
a a
a
a a A
2 1
1 : 1
Hướng dẫn: ĐKXĐ:a a0 ; 1
2 2
2
1 1
a a a a
a a
Lưu ý:
- Nhiều Hs sau khi đến (*) không giản ước các nhân tử chung của tử và mẫu của các phân thức, mà quy đồng ngay dẫn đến trình bày dài dòng phức tạp mà không cần thiết
- Do đó sau khi phân tích tử mẫu thành nhân tử, ta giản ước các nhân tử chung( nếu có) của tử và mẫu của mỗi phân thức
Ví dụ 2: Cho biểu thức
1
3 1 : 1 1
x
x x
x
x x x x
x x
B
a)Rút gọn B
b) Tìm giá trị của B khi
2 2 3
1
x
c) Tìm giá trị của x để B < 1
d) Tìm các giá trị nguyên của x để B nguyên
Trang 6Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 0 ;x 1
1
1
B
1
1
1
b) Ta có
8 9
1 2 2
2 3
1 2 2 2 2 2 3 2 2 3
2 2 3 2
2 3
2 2
x
Thay x vào B ta có:
1 2 2
2 2 1 1 2
1 1 2 1
1
x
x
B
B
Kết hợp với ĐKXĐ ta được
Lưu ý: Hai sai lầm mà Hs thường mắc phải
- Quy đồng khử mẫu hai vế để giải BPT.
- Sau khi giải xong BPT không kết hợp kết quả với ĐKXĐ
d) Ta có
Vậy để B nguyên thì là ước của 2
1
2 1 1
2 1 1
1
x x
x x
x
Vì x 0 x 1 1 Ta xét các trường hợp sau
9 3
2
1
4 2
1
1
x x
x
x x
x
Vậy để B nguyên thì x 4 ; 9
III Cỏc bài tập
1 Cho biểu thức
2 2 1
2 1
2
2
x
x x
x x
x
x A
a)Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nguyên c) Tìm x để A< -1
2 Cho biểu thức:
4
4 2
1 2
1
x x
x B
a) Tìm x để b có nghĩa b) Rút gọn B c) Tìm x nguyên để B nguyên
Trang 73 Cho biểu thức:
1 2
1 1
1 1
x x
x x
x x C
a) Rút gọn C b)Tính C với x 3 2 2
1
2 1
1 1
1
x x x x
x x
x
x D
a)Rút gọn D b) Tìm x nguyên để D nguyên c) Tìm x để D >1
5.Cho biểu thức:
2
1
2 1
2
2 1
2
x x
x
x x
x E
a) Rút gọn E b) Tìm GTLN của E
1
2 1
1 1
1
x x x x
x x
x
x F
a)Rút gọn F b) Tìm x để F >1 c) Tính giá trị của F khi x 19 8 3
7 Cho biểu thức:
x x
x x
x x
x x
x G
2
3 4
2 2
2 2
2
a) Rút gọn G b) Tìm x để G > 0 c) Tìm x để G = 1
1 3
2 3 1 1 9
8 1 3
1 1 3
1
x
x x
x x
x
x H
a) Rút gọn H b) Tìm x để M =
5 6
K
a) Rút gọn K b) Tìm x để K < 1 c) Tìm x nguyên để K nguyên
P
a) Rút gọn P b) Tìm x nguyên để P nguyên
xy
y x x xy
y y
xy
x x
y x
xy y Q
a) Rút gọn Q b)Tính giá trị của Q với x y3 ; 4 2 3
R
a) Rút gọn R b) So sánh R với
R
1
x
x x
x x
1
1 1
1 2
1
;
0
x
a Rút gọn A
b Tìm các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên
A
6
1
1 1
1 1
1
x
x x
x
Trang 8a Rút gọn biểu thức A b Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
15 Cho biểu thức
1
) 1 2 ( 2 : 1 1
x
x x x
x
x x x x
x x A
a Rút gọn A b Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
1
1 1
a a
A
a Rút gọn A b Tìm a để A =
2 1
17 Cho biểu thức:
2
2 : 1 1
a
a a a
a a a a
a a A
a Rút gọn biểu thức A
b Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên
18 Cho biểu thức:
a
a a
a a
a
a a P
1
2 2
1 2
3 9 3
a Rút gọn biểu thức P
b Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức P nhận giá trị nguyên
19 Cho biểu thức:
x
x x
x x
x
x
1
2 1
2
a Rút gọn biểu thức A
b Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
1
1 1
1
2
1 2
2
a
a a
a a
a P
a Rút gọn biểu thức P
b Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức P > 0
21 Cho biểu thức Q =
a a
a a
a
4
16 2
2 2
2
a Rút gọn Q b Tìm a để Q > 0
1
2 1
1
1 : 1
1 1
1
x x
x x
x
x x
x
a Rút gọn A b Tìm x để A nhận giá trị âm
CHUYấN ĐỀ 2:
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Định nghĩa:
- Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b trong đó a;b là các số cho trước và a 0
2 Tính chất:
Hàm số y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R
Trang 9+ Đồng biến khi a > 0,
+ Nghịch biến khi a < 0
3 Đồ thị hàm số:
- Đồ thị hàm số y = ax là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ O(0;0) và điểm A(1; a)
- Đồ thị hàm số y= ax + b là một đường thẳng song song với đường thẳng y = ax và cắt trục tung(Oy) tai điểm B(0;b), và cắt trục hoành(Ox) tại C( b;0)
a
- Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(x1;y1) thì phải thoả mãn y1 = ax1 + b
4 Hệ số góc:
- a được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox thì:
0 0
0 0 90
0 90 180
a
a
5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Với hai đường thẳng y = ax + b (d) và y = a’x + b’(d’) với a và a’ khác 0
- (d) và(d’) cắt nhau a a';
+ Giao điểm A(x;y) có toạ độ là nghiệm của hệ phương trình:
' 'x b a y
b ax y
+ (d) và(d’) vuông góc thì: a a ' 1
- (d) và(d’) song song nhau a a ' ; b b '
- (d) và (d’) trùng nhau a a ' ; b b '
II MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tỡm điều kiện của tham số để một hàm số là hàm số bậc nhất
Vớ dụ 1: Tỡm giỏ trị của m để hàm số sau: y = (m – 3)x + 6 là hàm số bậc nhất
Hướng dẫn:
Hàm số: y = (m – 3)x + 6 làm hàm số bậc nhất m 3 0 m 3
Với m 3thỡ hàm số y = (m – 3)x + 6 là hàm số bậc nhất
Bài tập vận dụng
Tỡm giỏ trị của m để hàm số sau là hàm số bậc nhất:
y y
Trang 101 ) (1 2 ) b) 2 3
2
2 c) 7 ( 1) d) 1
2
m
m
Dạng 2: Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất
) 2, 5 ; ) 2 3;
) 3 5 ; ) 2 1
) 2 1 2; ) 2 5 ;
1 ) 2 3( 2); ) ( 1)
2
Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số: y = ax + b ( a 0 )
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Hướng dẫn:
- Xác định giao điểm A của đồ thị với trục tung bằng cách cho x = 0 => A (0;b)
- Xác định giao điểm B của đồ thị với trục hoành bằng cách cho y = 0 => B ( ;0)b
a
- Đường thẳng AB là đồ thị của hàm số y = ax + b
Bài tập vận dụng:
Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = 2x – 3
d) y = x – 4
b) y = 5x – 1 e) y = 3 – 4x
c) y = 3x + 4 f) y = 2 – 5x
Dạng 4: Xác định hàm số: y = ax + b biết đồ thị của nó thoả mãn điều kiện cho trước.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m – 2)x – 3 có đồ thị là đường thẳng (d) Xác định m trong
mỗi trường hợp sau:
a) Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 5
b) Đường thẳng (d) đi qua điểm A( 2; 3)
c) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = - 3x + 5
d) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = 3 – 2x tại điểm có hoành độ bằng 3
e) Đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y = - 3x + 5
f) Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 6
g) Đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng y = x và y = 2x – 1
Hướng dẫn:
a) Vì đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 5 nên m – 2 = 5 => m = 7
b) Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A( 2; 3) nên: 3 = ( m – 2).2 – 3 => m = 5
c) Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = - 3x + 5 n ên: m – 2 = - 3 =>
m = - 1
d) Vì đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = 3 – 2x tại điểm có hoành độ bằng 3 nên đường thẳng (d) đi qua điểm B(3; 3 – 3.2) ta có: - 3 = ( m – 2).3 – 3 => m = 2
Trang 11e) Vì đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y = - 3x + 5 nên:
(m – 2).( -3) = 1 3 7 7
3
f) Vì đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 6 nên đường thẳng (d) đi qua điểm C( - 6; 0) ta có: 0 = ( m – 2)( - 6) – 3 3
2
m
g) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng y = x và y = 2x – 1 l à nghiệm của hệ
Vì đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng y = x và y = 2x – 1 nên đường thẳng (d) đi qua điểm D( 1; 1) ta có: 1 = ( m – 2).1– 3 m 6
Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d) : y = ( 3 – m)x + 3m – 2 và đường thẳng (d’): y = 2x – 4
a) Tìm m để hai đường thẳng song song
b) Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành
c) Tìm m để 2 đường thẳng cắt nhau trên trục tung
d) Tìm m để 2 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm trên đường thẳng y = x + 1
Hướng dẫn:
a) Để hai đường thẳng song song thì: 3 2 1
1
3 2 4 2
m
b) Vì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành nên giao điểm là
nghiệm của hệ phương trình: 23 4 3 2 20
Vậy khi m = -4 thì (d) cắt (d’) tại điểm (2; 0) trên trục hoành
c) Vì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên giao điểm là nghiệm
của hệ phương trình: 23 4 3 2 04
3
x
m
Vậy khi 2 thì (d) cắt (d’) tại điểm (0; - 4) trên trục tung
3
m
d) Vì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên đường thẳng y = x + 1 nên giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
2
m
Vậy khi 7 thì (d) cắt (d’) tại điểm trên đường thẳng y = x + 1
2
m
Ví dụ 3: Xác định a,b của hàm số y = ax + b biết rằng:
a) Đồ thị của nó đi qua 2 điểm A(1; 3) và B( -2; 6)
Trang 12b) Đồ thị của nú đi qua điểm M(2; 4) và song song với đường thẳng y = x
c) Đồ thị của nú vuụng gúc với đường thẳng y = 3 – 2x và cắt trục hoành tại điểm
cú hoành độ bằng 3
Hướng dẫn:
a) Vỡ đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1; 3) và B( -2; 6) nờn ta cú:
Vậy a = -1 và b = 4 khi đú hàm số cú dạng: y = -x + 4
b) Vỡ đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = x nờn hệ số gúc
a = 1 Lại cú đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm M(2; 4) nờn:
4 = 1.2 + b => b = 2 Vậy a = 1 và b = 2, hàm số cú dạng y = x + 2
c) Vỡ đồ thị của hàm số y = ax + b vuụng gúc với đường thẳng y = 3 – 2x nờn ta cú: d) ( 2) 1 1 Lại cú đồ thị của hàm số y = ax + b cắt trục hoành tại điểm
2
a a
cú hoành độ bằng 3 nờn: 0 1.3 3
Vậy 1 và , khi đú hàm số cú dạng:
2
2
y x
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Với giỏ trị nào của a thỡ đường thẳng y = ax – 1
a) Song song với đường thẳng y = 2x
b) Đi qua điểm A(1; 0)
c) Đi qua giao điểm của đường thẳng x = 1 và y = 2x – 1
Bài 2: Xỏc định hệ số a , b của hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 3) và B( -1; -3) Vẽ đồ thị hàm số vừa tỡm được
Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1): ya x bvà (d2):
2
3
2
3
a x b y
1 Xác định a và b để hai đường thẳng trùng nhau
2 Xác định a và b để hai đường thẳng cắt nhau
3 Xác định a và b để hai đường thẳng song song với nhau
Bài 4: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị của chúng đi qua hai điểm A; B và vẽ đồ thị các hàm số tìm được trong các trường hợp sau:
a)A(1;0); B(0;1) b)A(-2;4); B(1;1) c)A(3;-4); B(1;2)
Bài 5: Xác định hàm số và vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b biết:
a)Song song với đường thẳng y = 2x và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 b) Đi qua điểm A(1;1) và B(2;3)
Bài 6: Đường thẳng y = ax + b cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng -3 và cắt trục tung tại điểm B có tung độ - 4
a) Xác định các hệ số a;b
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được
c) Tính chu vi, diện tích tan giác OAB và khoảng cách từ O tới AB
Bài 7: