Toán 9 Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng39370

Chuyên đ :

Nguy n Phúc T ng – 9A10 Tr ng THCS Kim ng ( ng Tháp)

I ) Khái ni m b t đ ng th c c b n :

1.1 S th c d ng, s th c âm

 N u a là s th c d ng, ta ký hi u a 0

 N u a là s th c âm, ta ký hi u a 0

 N u a là s th c d ng ho c a 0, ta nói a là s th c không âm, ký

hi u a 0

 N u a là s th c âm ho c a 0, ta nói a là s th c không d ng, ký

hi u a 0 Chú ý:

 V i hai s th c a b, ch có m t trong ba kh n ng sau x y ra:

ab ho c ab ho c ab

 Ph đ nh c a m nh đ "a > 0" là m nh đ "a  0"

 Ph đ nh c a m nh đ "a < 0" là m nh đ "a  0"

Tính ch t quan tr ng

i) 2

  x R x  (đ ng th c x y ra khi x 0) ii) 2

0, ,

k

x k N x R (đ ng th c x y ra khi x 0) iii) 2 2 2

1 k  2 k   k  0,  , 

x x x k N x R (đ ng th c x y ra khi

1 2 n 0

x x  x  )

1.2 nh ngh a 1

S th c a g i là l n h n s th c b, ký hi u a > b n u ab là m t s

d ng, t c là a b 0

Khi đó ta c ng ký hi u b < a

Ta có: a   b a b 0

 N u ab ho c ab, ta vi t a  b Ta có:

a   b a b 0

1.3 nh ngh a 2

Gi s A, B là hai bi u th c (b ng s ho c ch a bi n)

M nh đ : " A l n h n B ", ký hi u AB " A nh h n B ", ký hi u AB

" A l n h n hay b ng B " ký hi u AB

" A nh h n hay b ng B " ký hi u AB

đ c g i là m t b t đ ng th c

Quy c :

 Khi nói v m t b t đ ng th c mà không ch rõ gì h n thì ta hi u

r ng đó là m t b t đ ng th c đúng

 Ch ng minh m t b t đ ng th c là ch ng minh b t đ ng th c đó đúng

1.4 Các tính ch t c b n c a b t đ ng th c

1.4.1 Tính ch t 1 a b a c

b c





 

 

 (B c c u) 1.4.2 Tính ch t 2 a    b a c b c (C ng hai v v i cùng m t s )

H qu 1 a    b a c b c (Tr hai v v i cùng

m t s )

H qu 2 a c    b a b c (Chuy n v ) 1.4.3 Tính ch t 3 a b a c b d

c d





   

 

 (C ng hai v hai

bđt cùng chi u)

1.4.4 Tính ch t 4 khi c > 0

khi c < 0

ac bc

a b

ac bc





   

 (Nhân hai v v i cùng m t s )

H qu 3 a    b a b ( i d u hai v )

H qu 4

khi c > 0 khi c < 0

 



  

 



(Chia hai v v i cùng

m t s )

1.4.5 Tính ch t 5 0

0

a b

ac bd

c d

 



  

 (Nhân hai v hai

bđt cùng chi u)

1.4.6 Tính ch t 6 a b 0 0 1 1

a b

     (Ngh ch đ o hai v )

1.4.7 Tính ch t 7 n n

b a N n b

a    *  

,

b c n)

1.4.8 Tính ch t 8 a  b  n  N *  n a  n b

,

n)

H qu 5 N u a và b là hai s d ng thì :

b a b

a    (Bình ph ng hai

v )

N u a và b là hai s không âm thì :

b a b

a    (Bình ph ng hai v )

2 B t đ ng th c liên quan đ n giá tr tuy t đ i

Tính ch t 2 2

0 , x , x x , -x x

V i m i a , b  R ta có :

 a  b a b

 a  b a b

 a   b a b a b  0

 a   b a b a b  0

3 B t đ ng th c trong tam giác

N u a, b, c là ba c nh c a m t tam giác thì :

 a > 0, b > 0, c > 0

 b c   a b c

 c   a b c a

 a   b c a b

 a    b c A B C

II ) M t s B t ng Th c Ph c b n :

TT i u ki n B t đ ng th c i m r i

1 a b ,  R

2 2

2

a b

2 a b ,  R

2

2

a b

ab   

  

a = b

3 a b ,  0

2

2

a  b  c  ab  bc  ca

a    b c abc a   b c

a b c

3 a  b c   a b c a b c

3

8 a b ,  R và

1

1 a + 1 b ³ 1 ab

ab ho c

1

ab

9

, 0

a b

4

a b

a b

   

a   b a b



ab

10

, , 0

a b c

9

a b c

a b c

     

a    b c a b c

 

a b c

11

, 0

a b

 2

2 2

8

a b

( )2

a + b ³ a b

+

ab

12 a b c , ,  R

,

 2  2 2 2 2 2 2

ax by cz    a   b c x  y  z (H qu b t đ ng th c Cauchy-Schwarz )

a b c

x   y z

13 a b c , ,  R,

x y z R

x y z

 

 

(H qu b t đ ng th c Cauchy - Schwarz d ng phân th c)

a b c

x   y z

14 a, b, c, x, y, z,

m, n, p > 0  3 3 3 3 3 3 3 3 3  3

a   b c x  y  z m   n p  axm byn czp  

(H qu b t đ ng th c Holder)

Các dãy t ng

ng t l

* Các b t đ ng th c quan tr ng và m r ng :

B t đ ng th c AM - GM _

N u a a1, 2, ,an là các s th c không âm thì

1 2

n

a a a n



ng th c x y ra khi và ch khi a1  a2   an

 B t đ ng th c AM - GM suy r ng

Cho các s d ng w w1, 2, ,wn tho mãn w1w2   wn 1

N u a a1, 2, ,an là các s th c không âm thì

1 2

1 1 2 2 1 w 2 w w n

w a  w a   w a  a a a

ng th c x y ra khi và ch khi a1 a2   an

 B t đ ng th c Cauchy - Schwarz

Cho hai dãy s th c a a1, 2, ,an và b b1, 2, ,bn Ta có:

ng th c x y ra khi và ch khi 1 2

1 2

n

a

 B t đ ng th c Cauchy - Schwarz d ng phân th c

Cho hai dãy s th c a a1, 2, , an và b b1, , ,2 bn Ta có:

2

2 2

1 2

1 2

n n

a

  

   

  

ng th c x y ra khi và ch khi 1 2

1 2

n

a

 B t đ ng th c Holder

V i m dãy s d ng a 1,1 , a 1,2 , a 1,n , a 2,1 , a 2,2 , , a 2,n  am,1 , am,2 , , am n,  ta có:

m

m

ng th c x y ra khi m dãy t ng ng đó t l

+B t đ ng th c Cauchy - Chwarz là m t h qu c a b t đ ng th c Holder khi m = 2

 B t đ ng th c Minkowski

Cho hai dãy s th c a a1, 2, ,an và b b1, 2, ,bn Ta có:

a  b  a  b   a  b  a    a a  b    b b

 B t đ ng th c Minkowski d ng m r ng

Cho hai dãy s th c a a1, 2, ,an và b b1, 2, ,bn Ta có:

    

D u ‘‘=’’ c a b t đ ng th c Minkowski gi ng v i Cauchy - Schwarz

 B t đ ng th c Vonicur Schur _ Cho các s th c không âm a, b, c N u r  0, thì

         0

a a b a c    b b c b a    c c a  c b  

ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c, ho c a = 0, b = c và các hoán v

V i b t đ ng th c này ta có các h qu sau:

 Trong tr ng h p r = 1, ta có các d ng t ng đ ng sau:

a a3 b3 c3 3abc ab a(  b) bc b(  c) ca c( a)

b 4(a3 b3 c3) 15abc (a  b c)3

c a2 b2 c2 9abc 2( ab bc ca )

 

Trong tr ng h p r = 2, ta có các d ng t ng đ ng:

a a4 abc a(   b c) ab a( 2 b2)

b 6abc a(  b c) (2ab a2)( a2 ab)

 B t đ ng th c Bernolli _

V i m i s nguyên r  0 và x > -1

1xr   1 rx

III ) M t s k thu t c b n trong b t đ ng th c :

1)K thu t ch n đi m r i:

Ví D 1:Cho x  Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : 3

1

x

 

H ng d n: S d ng b t đ ng th AM-GM d ng a   b 2 abta có:

Ta th y l i gi i trên sai vì trong đánh giá trên , d u b ng x y ra khi x 1

x

 , vì v y x=1, tuy nhiên x=1 l i không n m trong kho ng giá tr x 3mà bài toán đã quy

đ nh Vì v y v i l i gi i trên thì ta đã tìm sai đi m r i cho bài toán

Gi i: đ m b o đc d u “=” x y ra thì ta có l i gi i nh sau:

8 1 8.3 1 24 2 10

A

Ra thêm:

Ví D 2:Cho x  Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 1

1 3 2

x

 

Ví D 3:Cho x>2 Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

1

4

x

  



Ví D 4:Cho a,b >0 và a+2b = 3 Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

2

D ab

Ví D 5:Cho a,b,c >0 th a mãn a+b+c=1 Ch ng minh r ng:

6

a   b b   c c   a

2) K thu t đ i bi n :

Ví D 1: Cho x,y,z > 0 , xyz=1 Ch ng minh r ng :

(Lê Vi t H ng)

L i gi i : T xyz=1 ta có th đ t : ; ;



2

(B t đ ng th c Nesbit)

T đây b t đ ng th c đã đ c ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi: x=y=z=1

Ví D 2:Cho a,b,c là các s th c Ch ng minh r ng:

1

(NguyenDungTN)

L i gi i :T đây ta đ t: ; ;

T đó ta c n ch ng minh: 3 3

xy  yz  zx  x   y z

<=>    2

3 xy  yz  zx  x   y z

( ây là 1 d ng b t đ ng th c ph quen thu c)

T đây b t đ ng th c đã đ c ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c=1

Ví D 3: Cho x,y,z > 0 , abc=1 Ch ng minh r ng :

    1 1 1 1 1 1 32

a b  b c  c a 

(S u t m)

L i gi i : T abc=1 ta có th đ t ; ;

, khi đó :

VT

2

(Nesbit)

T đây b t đ ng th c đã đ c ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi : a=b=c=1

Ví D 4: Cho a,b,c>0 , abc = 1.Ch ng minh r ng:

(IMO 2000)

L i gi i :T abc=1 ta có th đ t ; ;

Ta có:

1

VT

xyz

 (x  y z y)(  z x z)(  x y)  xyz(M t d ng B t ng Th c quen thu c)

T đây b t đ ng th c đã đ c ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c=1

Ví D 5: Cho a,c>0 và b  0.Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

T

a



(Nguy n Phúc T ng)

L i gi i :

1

T



t : x c; y b

2

xy T



T đây ta có th s d ng b t đ ng th c ph : 2 2

1

1 x  1 y  xy



T

xy



V y giá tr nh nh t c a T là 2 t i x=y=1

Ví D 6:Cho a,b,c là các s th c d ng th a mãn: abc=1 Ch ng minh r ng:

2

1

1

 



a  x b  y c  z , ta đ c:

3 6

1

1

 



S d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta có:

2

1

1

y



V y ta ch c n ch ng minh:

2

0

x y y z z x xyz x y z

ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c=1

Ví D 7:Cho a,b,c là các s th c d ng th a mãn abc=1 Ch ng minh r ng:

1

(Võ Qu c Bá C n – Vasile Cirtoage)

L i gi i: Vì a,b,c nên ta có th đ t: a xy2 ; b yz2 ; z zx2

Khi đó b t đ ng th c đã cho tr thành:

4 4 4

y z x yz x  z x xy z y  x y xyz z 

S d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz ta có:

2

V y ta ch c n ch ng minh:

2

2 2 2 2 2 2

0

T đây b t đ ng th c đã đ c ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c=1

Ví D 8: Cho a,b,c >0 th a mãn abc=1 Ch ng minh r ng:

1

(Lê Vi t H ng)

L i gi i: Vì abc=1 nên ta có th đ t: a x ; b y; c z

B t đ ng th c đ c vi t l i thành:

1

1

x x z x yz y x y xy z z y z xyz

Ch ng minh b t đ ng th c trên t ng t nh ví d 7

ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c=1

3) S d ng Cauchy- Schwarz đ ch ng minh b t đ ng th c :

Ví D 1: Cho a, b, c > 0 Ch ng minh r ng :

3.

2

a    b c a b





( TTS l p 10 chuyên Ngo i ng , HNN Hà N i 2007-2008)

L i gi i : 1 1 1 9 ;1 1 1 9 ;1 1 1 9

a    b b a b b    c c b c c    a a c a

 1 1 1 3 1 1 1

T đây b t đ ng th c đã đ c ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi : a=b=c

Ví D 2: Cho a,b,c > 0 thõa mãn 1 1 1 1

      .Ch ng minh r ng :

a   b c ab bc ca

( Romania IBMO Team Selection Test 2007 )

L i gi i : Ta có: 1 1



 

   

 2

1





 



T đây s d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta đ c:

2

1

VP

      



  



2

 



T đây ta suy ra đ c: a    b c ab bc   ca

Ví D 3: Cho a,b,c >0 th a mãn a+b+c=3 Ch ng minh r ng:

4

(Iranian IMO Team Selection Test 2009)

2



 

Vi t l i thành:

3 2 2



S d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta có:

VT

Ta l i có:

2

2





 

2

VT

T đây b t đ ng th c đã đ c ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c=1

Ví D 4: Cho a,b,c > 0 thõa mãn a 2  b 2  c 2  3.Ch ng minh r ng:

 

L i gi i: S d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz ta có:

:

2 2 2

D u đ ng th c x y ra khi: a=b=c=1

Ví D 5:Cho a b c , , > 0 thõa mãn a  b  c  3 Ch ng minh r ng:

1 1

1 1

2 2















 b c b c a c a b a

L i gi i :

S d ng B T Bunhia-copsxki cho 3 c p s ta đ c :

1 9 1

a b c

  

B t đ ng th c đã đ c đã đ c ch ng minh

D u đ ng th c x y ra khi : a=b=c=1

Ví D 6: Cho a,b,c là các s th c d ng Ch ng minh r ng:

1

(Belarusian MO 1998)

L i gi i: Có th vi t l i b t đ ng th c trên thành:

2

1 2

a b

b b c c b c a a b





S d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta có:

             

2

. b c a b c



B t đ ng th c trên t ng đ ng v i:

2

2

0

ca







T đây , b t đ ng th c đ c ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c

Ví D 7:Cho x,y,z là các s th c d ng Ch ng minh r ng:

3

(Chinese Western MO 2004)

L i gi i:S d ng B t đ ng th c Cauchy – Schwarz ta có:

2

8

Ta c n ch ng minh:

8 a   b c ab  bc  ca  9 a  b b  c c  a

ây là 1 d ng b t đ ng th c quen thu c

ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c

Ví D 8: Cho a,b,c >0 th a mãn 2 2 2

2

a  b  c  Ch ng minh r ng:

2

2

1 6 a

 





(Nguy n Phúc T ng)

L i gi i: Ta có: 1a2 b2 c2 abbc ca

S d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz ta có:

2

a





       

6



ng th c x y ra khi và ch khi :

1 3

a   b c

4 ) S d ng AM-GM đ ch ng minh b t đ ng th c :

Ví D 1: Cho x,y > 0 và x + y = 2 Ch ng minh r ng :

2

(S u t m)

2

Quy v bài toán ch ng minh: 3 3 2 2

1

x y x xyy 

S d ng b t đ ng th c AM-GM cho 4 s ta có:

4 2 4

1

x y

xy xy xy x xy y

T đây b t đ ng th c đã đ c ch ng minh

ng th c x y khi và ch khi: x=y=1

Ví D 2: Cho a,b,c >0 Ch ng minh r ng:

3 4 2

a

 (Nguy n Phúc T ng)

L i gi i:S d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:

2

2

2

2

a a

   





ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c=1

Ví D 3: Cho a,b,c>0 tho mãn: a+b+c=3 Ch ng minh r ng:

a  b  c abbc ca (Russian MO 2002)

L i gi i : S d ng b t đ ng th c Holder:

 2   3

2 2 2

27

Theo AM-GM, Ta có:

2

27 3

B t đ ng th c đã đ c ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c=1

Ví D 4: Cho a,b,c > 0 Ch ng minh r ng :

a  b  ab  b  c  bc  c  a  ca  a   b c

( Tr n H u Thiên )

L i gi i:

Ta c n ch ng minh b t đ ng th c sau: 2 2 5

2

a  b  ab  a  b (*)

Ta có:

2

  

b  c  bc  b  c c  a  ca  c  a

C ng 3 b t đ ng th c trên theo v ta s đ c đpcm

ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c

Ví D 5:Cho x,y,z là các s th c d ng th a mãn x+y+z=xyz

Ch ng minh r ng:

2

(Korea MO 1998)

L i gi i:

 

Vì v y ta c n ch ng minh:    32

yz



S d ng b t đ ng th c Cauchy - Schwarz ta có:

T đây ta có th s d ng 1 d ng b t đ ng th c quen thu c:

      

T đây , b t đ ng th c đã đ c ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi: x   y z 3

Ví D 6: Cho a,b,c là các s th c d ng Ch ng minh r ng:

3

L i gi i:S d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:

.

ng th c x y ra khi và ch khi:a=4b=16c

Ví D 7: Cho x,y,z >0 và x2  y2  z2  xyz Ch ng minh r ng:

2

1 2

cyc

x





(Di n đàn toán h c VMF)

L i gi i:Ta th y:

S d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:

2

2

x

x x

ng th c x y ra khi và ch khi: x=y=z=3

Ví D 8:Cho a,b,c là các s th c d ng th a mãn abc=1 Ch ng minh r ng:

1

a b c

 

(Di n đàn toán h c VMF)

L i gi i: Ta th y r ng:

S d ng B T Cauchy – Schwarz ta có:

     

2 2

2

2

1 1

1

1

      

 

 

 

 

ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c=1

5) K thu t thêm b t :

Ví D 1: Cho a,b,c > 0 Ch ng minh r ng:

(Junior Banlkan 2000)

L i gi i:

2

2

ab a b

b

b b

b b





ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c

Ví D 2: Cho a,b,c,d là 4 c nh c a t giác Ch ng minh r ng:

2

(Lê Vi t H ng)

L i gi i:

1

2

1

16

  

  

T đây b t đ ng th c đã đ c ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c=d

Ví D 3:Cho a,b,c >0 Ch ng minh r ng:

L i gi i: u tiên, ta có th chuy n v trái qua v ph i và vi t l i thành: