Trắc nghiệm : Hãy chọn một phương án đúng nhất trong các câu sau: 1.. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.. a2 sin cos Câu 10: Trong một tam giác, có 3 điểm sau luôn nằm trên một
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 ( VÒNG 1)
Năm học 2007 - 2008 Thời gian 120 phút (De 1)
I Trắc nghiệm : Hãy chọn một phương án đúng nhất trong các câu sau:
1 Khi rút gọn biểu thức 8 60 ta có kết quả là:
a 3 + 5 b 15 + 1 c 5 - 3 d Một kết quả khác
2 Giá trị bé nhất của biểu thức:
A = x2 x2 1 + 4x2 x4 1 + 9x2 x6 1 là:
3 Tập nghiệm của phương trình:
19 x2 1 + 5 x 1 + 91 x2 x3 2 = 3 là
4 Để hàm số
Y = (m- 3m)x3 + ( m-3)x2 + 2x + 7 là hàm bậc nhất thì giá trị của m phải là:
a m = 0 b m = o và m = 3 c m = 3 d với mọi m thuộc R
5 Điểm cố định mà đường thẳng Y = mx - - 1 luôn luôn đi qua khi m thay đổi có
2
m
toạ độ là:
2
2 1
6 Cho ABC vuông tại A có AB = 2AC, AH là đường cao Tỷ số HB:HC là:
7 Tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 16; AB = 12 Các đường phân giác trong
và ngoài của góc B cắt AC ở D và E Độ dài DE là :
8 Cho góc thoả mãn 00 < < 90 0 ta có các kết luận sau:
a sin < cos b tg > cotg c sin <tg d Chưa thể kết luận được
9 Cho đường tròn có bán kính 12 Độ dài dây cung vuông góc với một bán kính tại trung điểm của bán kính ấy là:
10 Cho ABC cân t ại A; đường cao AH = 2; BC = 8 Độ dài đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
II Ph ần tự luận
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a A = 4 7 - 4 7 2
b B = x x2 4 x x2 4 ( với x 2)
Câu 2: Chứng minh rằng nếu a> b> 0 thì: 2a3 - 12ab + 12b2 + 1 0
Câu 3: Cho ABC vuông t ại A, đường cao AH Tia phân giác của góc HAC cắt HC tại D Gọi
K là hình chiếu của D trên AC
a Chứng minh ABD cân
b Biết BC = 25 cm; DK = 6cm Tính độ dài AB
Trang 2(De 2)ề thi hsg huyện 2007-2008 I.Trắc nghiệm (4điểm)
Câu 1: Điều kiện của x để biểu thức có nghĩa là:
4
1
2
x
a x>2 ; b x 2 ; c: x < - 2 ; d: x >2 hoặc x< -2
Câu 2: trong các số sau có bao nhiêu số vô tỉ:
2
1
64
1
Câu 3: Giá trị của biểu thức ( + ) : là:
5 8
8 5
5 8
5 8
) 27 ( :
9
338
13 16
Câu 4: Tam giác MNP có M (-1;0) , N(1;0), P (0;1) là:
a: cân tại M; b: cân tại N ; c: đều ; d: vuông cân
Câu 5: Giá trị lớn nhất của biểu thức: 2x2 5x là:
8
25
4
5
4
2 5
2 5
Câu 6: Có thể nói gì về số đường tròn đi qua 3 điểm A,B,C cho trước
a: Có thể không có đường tròn nào ; b: có ít nhất 1 đường tròn
c: Có thể có 2 đường tròn ; d: Có thể có 3 đường tròn
Câu 7: Trong các hình sau hình nào có vô số trục đối xứng
Câu 8: Cho ABC O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi D,E,F theo thứ tự là trung điểm của BC,
AC, AB Nếu góc A góc B góc C thì có thể nói gì về quan hệ giữa ba đoạn thẳng OD,OE,OF
Câu 9: Giá trị của biểu thức: tg + cotg = 3.Giá trị của A = Sin cos là:
3 1
Câu 10: Hàm số y = (t2 – 2)x + 3 đồng biến khi và chỉ khi
a: t > 2 ; b: > t 2 ; c: t < - 2 ; d: t = 2
II Tự luận (6đ)
Câu 1: Cho biểu thức A =
x x x
x x x x x x
x x x
4
4 4
4
2 2
2
2
Câu 2: 1 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác.Chứng minh
a(1+b 2 ) + b(1+c 2 ) + c(1+a 2 ) 2(ab + bc + ca)
2 Tìm số chính phương abcd biết ab – cd = 1
Câu 3: 1 Cho ABC vuông ở A Đường cao AH Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC, biết BH = 4cm, CH = 9 cm
a Tính độ dài đoạn DE
b Chứng minh AD.AB = AE.AC
2 Cho ABC vuông ở A có AB<AC và trung tuyến AM, ACB = , AMB =
Chứng minh (sin + cos ) 2 = 1 + sin
Trang 3(De 3)ề thi học sinh giỏi toán 9 – Vòng I
I Trắc nghiệm Hãy chọn phương án trả lời đúng ứng với lời dẫn của mỗi câu sau:
Câu 1: Giá trị của biểu thức M = 3 +
13 2
13 2
5
A Số hữu tỷ âm B Số hữu tỷ dương C Số vô tỷ âm D Số vô tỷ dương
Câu 2:Giá trị nhỏ nhất của biểu thức : y = x 3 5 x là:
Câu 3: Giải phương trình x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 ta có nghiệm là
A x = 1 B x= 10 C 1 x 10 D Một nghiệm khác
Câu 4: Biểu thức 2x 35 2x xác định khi :
A Không có giá trị của x B Mọi x thuộc R C -1,5 x 2 , 5 D.Một kết quả khác
2007
1
3
1 2
1 1
1
A P < 2007 B 2007 < P < 2 2007 C P > 2 2007 D.Một kết quả khác Câu 6: Đơn giản biểu thức
A = ( 1 + tg2 )( 1 – sin2 ) - ( 1 + cotg2 )( 1 – cos2 ) ta được:
A A = 0 B A = 1 C A = cos2 - sin2 D Một kết quả khác Câu 7: Các chiều cao của một tam giác bằng 3; 4; 5 Tam giác này là:
A Tam giác vuông B Không phải tam giac vuông C.Tam giác đều D.Tam giác cân
Câu 8: Cho x2 + = 7 ( x > 0 ) Giá trị của x5 + là :
x2
1
x5
1
D Một kết quả khác
Câu 9: Cho hình bình hành ABCD có BD BC ; AB = a ; A = Diện tích hình bình
hành ABCD là:
A sin cos B a2 sin2 C a2 cos2 D a2 sin cos
Câu 10: Trong một tam giác, có 3 điểm sau luôn nằm trên một đường thẳng:
A.Trực tâm, trọng tâm và giao điểm 3 đường phân giác B.Trực tâm, trọng tâm và giao điểm
3 đường trung trực
A Trực tâm, giao điểm 3 đường phân giác, giao điểm 3 đường trung trực
B Cả A, B, C đều đúng
Câu 1: Cho A =
3
1 9
3 3
4 3 2
2
x x x
x x
x
x x
x
a Rút gọn A b.Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên
Câu 2: Tìm x, y nguyên dương sao cho :
x2 = y2 + 13 + 2y
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA Chứng minh rằng :
a AH AE = 2AD AF
b.
AF AD
1 1
4
Trang 4De 4 Đề thi học sinh giỏi khối 9 (vòng 1) năm học 2007 – 2008
Hãy chọn phương án trả lời đúng?
Câu1: Với x > 2 thì giá trị của biểu thức: x 3 2 x 2 x 6 4 x 2 bằng:
a 3 b 2 c x 2 d Một đáp số khác
Câu2: Biểu thức: 2x2 x4 6 xác định khi:
a Với mọi x R b x 1 hoặc x 3 c 1 x 3 d Một đáp án khác Câu3: Giá trị của biểu thức: là:
3 2 3 2
2
a 2 b 2 c 1 d Một đáp án khác
Câu4: Luỹ thừa bậc 4 của 1 1 1 là:
a 2 3 b.3 c 1 2 3 d 3 2 2
Câu5: Cho hàm số:f(x) = ax 3 (a 0) ; g(x) = a2 x1 1 ta có:
a f(x) + g(x) đồng biến b f(x) - g(x) đồng biến c g(x) – f(x) nghịch biến Câu6: Đơn giản biểu thức: A = .Ta được
2 cos 2
sin cos
2 2
2
2 2
a A = b A = c A= d Cả a, b, c đều sai
2
1
2
1
Câu7: ABC có gócA = gócB + 2gócC và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp Độ dài ba cạnh của tam giác đó là:
a 4, 5, 6 b 5, 6, 7 c 2, 3, 4 d Cả a, b, c đều sai
Câu8: Ta có các phát biểu sau:
1) Một điểm O cho trước và một số phụ r cho trước xác định một đươnggf tròn tâm O bán kính r
2) Qua 2 điểm A, B cho trước xác định được một đường tròn đường kính AB
3) Qua 3 điểm chỉ xác định được một và chỉ một đường tròn
Các phát biểu đúng là:
a Chỉ 1) b Chỉ 2) c Chỉ 3) d Chỉ 1 và 2
II/ Phần tự luận:
Câu1:
Cho biểu thức: A = 3 2 6
2 2
2 4
2
x x
x
a) Rút gọ A
b) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu2:
Cho a, b, c thoả mãn a > c , b > c > 0 Chứng minh rằng:
ab c
b c c
a
c( ) ( )
Câu3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD
a) Chứng minh rằng: CH = DK
b) Chứng minh rằng: SAHKB = SACB + SADB
c) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm
Trang 5De 5 Đề thi thử HSG khối 9
Môn thi: Toán
(Thời gian 90 phút làm bài)
A:Phần trắc nghiệm (3 điểm)
Hãy chọn một phương án đúng nhất trong các câu sau
1 Tính 5 1 có kết quả
3 5
8 A:10 , B: 5, C:4 , D: 3
2 Rút gọn biểu thức 3 7 5 2 3 7 5 2 ta được kết quả là
3 Hàm số y = m2 x1 5 đồng biến khi
A: -1< m < 1 , B: m>-1 , C: m>1 , D: m >1 và m <-1
4 Cho hình vẽ ( cho cả 3 trường hợp )
1, SinB bằng
a: BC AC , b : AH BC , c : AH BC , d : AH AC
2,Trong các hệ thức sau hệ thức nào không đúng
a: AH =BH.HC, b: AH.BC=AB.AC2
c: AH =2 2 2 d: AC =AB.HC
2
2
AC AB
AC AB
3, Cho C^ =30 , M là trung điểm của BC khi đó trường hợp 0
nào sau đây không đúng
a: B = 60 , b: AMB đều , c: AM=AB , d: AC= 2AM0
B: Phần tự luận (7điểm)
Bài 1: a Tính A= (1 2).(1 2) (1 2) với n N, n 2
1 3
1 2
1
n
b Cho x, y, z > o thoả mãn xy+ yz+ xz = 1, tính tổng
2 2
2
2 2
2
2 2
1
) 1 ).(
1 ( 1
) 1 ).(
1 ( 1
) 1 ).(
1 (
z
y x
y
x z
x
z y
z
y
Bài 2: Chứng minh rằng : ab c a b c , với mọi a,b,c >0
b
ca a
Bài 3: *1 Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH, trung tuyến AM Gọi D và
E thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC
a Chứng minh AD.AB = AE.AC
b Gọi K là giao điểm của AM và DE chứng minh AK DE = AD AE
c Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để diện tích tứ giác AEHD bằng một
nửa diện tích tam giác ABC *2 Dựng hành thang cân ABCD (AB CD) biết AB = BC = 3cm
và AC AD
Trang 6De 6: Đề thi học sinh giỏi khối 9 (vòng 1) năm học 2007 – 2008
Câu1: Với x > 2 thì giá trị của biểu thức: x 3 2 x 2 x 6 4 x 2 bằng:
a 3 b 2 c x 2 d Một đáp số khác
Câu2: Biểu thức: 2x2 x4 6 xác định khi:
a Với mọi x R b x 1 hoặc x 3 c 1 x 3 d Một đáp án khác Câu3: Giá trị của biểu thức: là:
3 2 3 2
2
a 2 b 2 c 1 d Một đáp án khác
Câu4: Luỹ thừa bậc 4 của 1 1 1 là:
a 2 3 b.3 c 1 2 3 d 3 2 2
Câu5: Cho hàm số:f(x) = ax 3 (a 0) ; g(x) = a2 x1 1 ta có:
a f(x) + g(x) đồng biến b f(x) - g(x) đồng biến c g(x) – f(x) nghịch biến Câu6: Đơn giản biểu thức: A = .Ta được
2 cos 2
sin cos
2 2
2
2 2
a A = b A = c A= d Cả a, b, c đều sai
2
1
2
1
Câu7: ABC có gócA = gócB + 2gócC và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp Độ dài ba cạnh của tam giác đó là:
a 4, 5, 6 b 5, 6, 7 c 2, 3, 4 d Cả a, b, c đều sai
Câu8: Ta có các phát biểu sau:
4) Một điểm O cho trước và một số phụ r cho trước xác định một đươnggf tròn tâm O bán kính r
5) Qua 2 điểm A, B cho trước xác định được một đường tròn đường kính AB
6) Qua 3 điểm chỉ xác định được một và chỉ một đường tròn
Các phát biểu đúng là:
a Chỉ 1) b Chỉ 2) c Chỉ 3) d Chỉ 1 và 2
II/ Phần tự luận:
Câu1:
Cho biểu thức: A = 3 2 6
2 2
2 4
2
x x
x
c) Rút gọ A
d) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu2:
Cho a, b, c thoả mãn a > c , b > c > 0 Chứng minh rằng:
ab c
b c c
a
c( ) ( )
Câu3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD
d) Chứng minh rằng: CH = DK
e) Chứng minh rằng: SAHKB = SACB + SADB
f) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm
Trang 7ĐÁP ÁN de 1
I Tr ắc nghiệm ( Mỗi ý đúng cho 0,4 điểm)
II T ự luận
Câu 1: ( 2 điểm)
2
) 1 7 ( 7 4
2
2
) 1 7 ( 7 4
2
2
1 7 1
2
2
b B2 = x - x2 4 x x2 4 2 (x x2 4 )(x x2 4 ) ( 0,5điểm)
B2 = x + x + 2 x2 x2 4 (0,25 điểm)
B = 2 (x 2 ) ( 0,25 điểm)
Câu 2: ( 1,5) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
2a3 - 12b ( a-b) + 1 0 ( 0,25 điểm)
- Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: a2 4b( a- b) (2)
( a - 2b)2 0; (đúng) (2) đúng (0.25đ)
từ (2) 3a2 12b(a-b) (3) (0.25đ)
Muốn chứng minh (1) đúng ta chứng minh 2a3 - 3a2 + 1 0 (4) (0.25đ) 2a3 – 2a2 – a2 + 1 0
2a2(a - 1) – (a - 1)(a + 1) 0 (a - 1)(2a2 – a - 1) 0 (a - 1)(a2 – a + a2 - 1) 0
a 1 a(a 1 ) (a 1 )(a 1 ) 0 a 1 a 1( 2a 1 ) 0
(a - 1)2 (2a + 1) 0 đúng (vì a > 0) (4) đúng (0.25đ)
Vì 3a2 12b (a-b) theo (3)
2a3 – 12b (a-b) + 1 2a 3 – 3a2 + 1 0 (theo (4)) (0.25đ)
Câu 3: (2,5đ) Vẽ hình đúng (0.25đ)
a) (1đ)
+ Vì AHD = AKD (Cạnh huyền và gúc nhọn bằng nhau)
(0.25đ)
+ Suy ra Dˆ 1 Dˆ 2 (cặp góc tương ứng)
(0.25đ)
+ Dˆ1 B AˆD (so le trong)
(0.25đ)
+ Suy ra Dˆ1 B AˆD ABD cân tại B (0.25đ)
b) (1.25đ)
+ Gọi cạnh AB là y BD = y (theo (1)) (0.25đ)
+ Ta có: AB2 = y2 = BH.BC = 25 (y-6) (vì HD = DK) (0.25đ)
Hay: y2 = 25y – 150 (0.25đ)
y2 = 25y + 150 = 0 (y – 10) (y – 15) = 0 (0.25đ)
Trang 8Đáp án toán 9 (de 2)
I Trắc nghiệm (4đ)
II Tự luận (6đ)
Câu 1: (1,5đ)
ĐKXĐ: x2 – 4x 0 x(x-4) 0 x 4 hoặc x 0
x - x2 x4 0 x x2 4x x2 x 2 - 4x
x 4 hoặc x 0 x 4 hoặc x<0
x 0
a
) 4 (
) 4 4
)(
4 4
( ) 4 )(
4 (
) 4 (
) 4 (
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
A
x
x x x
4 4
2 4
b A< 5 x2 4x 5 x2 4x 5 0 (x 1 )(x 5 ) 0 1 x 5
Kết hợp với điều kiện ta có
x 4 hoặc x <0 -1<x<0
-1 < x <5 4 x 5
Vậy : Để A< 5 thì -1 <x<0 hoặc 4 x 5
Câu 2: 1 áp dụng bất đẳng thức CôSi ta có
1 +b2 2b a(1 + b2) 2ab
1 +c2 2c b(1 + c2) 2bc
1 +a2 2a c(1 + a2) 2ac
a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2ab +2bc +2ac
a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2 (ab +bc ca)
2 abcd = n2 (n N)
abcd = n2 100 ab + cd = n2
100(1 + cd ) + cd = n2
100 + 101 cd = n2
101 cd = n2 – 100 = (n-10)(n+10)
ta có n<100 và 101 là số nguyên tố nên suy ra
Thử lại abcd = 912= 8281
a Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
( Vì tứ giác ADHE có 3 góc vuông) D
b Xét AHC vuông tại H có HE AC
AH2 = AE.AC (1)
Trang 9AHB vuông tại H có DH AB AH2 = AD.AB (2) Từ (1) và (2) ta có:
AE.AC = AD.AB
2 (1đ) (sin cos)2 1 sin
cos sin
cos 2
(1)
sin sin
Chứng minh (1):
Ta có: 2
BM
AH BM
AH BC
AH BC
BC
AH BC BC
AB BC
AB
2
2 2
.
2
B 2.cos (Vì AM là đường trung tuyến ) H M C
AM
AH
BM AH
2 cos sin sin
Vậy: (sin cos)2 1 sin
Đáp án toán 9 De 3
I Trắc nghiệm ( 4 điểm ) – Mỗi câu đúng 0.4 điểm
II Tự luận ( 6 điểm )
Câu 1: 2 điểm ĐKXĐ: x > 3 0.25 điểm
3
2 x
b A là số nguyên khi x chia hết cho 3 x = 3k ( k N * ) x = 9k2 (k N * )
Vậy A nguyên khi x = 9k2 với k là số nguyên dương : 0.75 điểm
Câu 2: ( 2 điểm )
Từ x2 = y2 + 2y + 13 ta có : x2 = ( y + 1 ) 2 +12 ( x + y + 1 )(x – y – 1 ) = 12
Do ( x + y + 1 ) - (x – y – 1 ) = 2y + 2 và x, y N * nên x + y + 1 > x – y – 1 Vì vậy
x + y + 1 và x – y – 1 là hai số nguyên dương chẵn Mà 12 = 2 6 nên chỉ có một trường hợp : x + y + 1 = 6 và x – y – 1 = 2 Vậy x = 4 và y = 1
Câu 3: ( 2 điểm ) Mỗi ý 01 điểm
a) Do AH BC ( gt ) ; BAC = 900( gt ) nên AH BC = AB AC (1 )
Mà BC = 2AE ( Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông )
AB = 2AD ( gt ) ; AC = 2AF ( gt ) nên (1 ) trở thành 2AH AE = 4AD AF
Vậy AH AE = 2AD AF
b) Xét tam giác ABC có : A = 900 Đường cao AH (gt) nên :
( Hệ thức lượng trong tam giác vuông )
AC AB
1 1
1
AF AD
1 4
1 1
AF AD
1 1
4
Trang 10Dap an de 4
I/ Phần trắc nghiệm:(4đ)
II/ Phần tự luận ( 6 điểm)
2 2
3
2 2
6 2
3
2 2
2 2
2 2 2
2 4
2
x x
x
x x
x x
x
b (0,5đ) A = Dấu “ =” xảy ra x = 0 Vậy giá trị lớn nhất của
3
6 3
2 3
2
A = khi x = 0
3 6
Câu2: (1,5đ)
Với a>c>0 và b>c>0 (gt) thì a – c > 0 và b – c > 0.áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
(1)
ab
bc ab ca a
c a b
c ab
c
a
2
1 2
1
(2)
ab
ac ab cb b
c b a
c ab
c
b
2
1 2
1
Cộng vế theo vế (1) và (2) Ta có: +
ab
c a
ab
c b
c
1
(đpcm)
a c cb c ab
Câu3: (3đ)
a.(0,75đ)Gọi I là trung điểm của CD => IC = ID (1)
=>OI vuông góc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD)
Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK hay IH = IK (2)
Từ (1) và (2) => CH = DK
b (1,5đ) Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt AH và BK ở E và F Ta có:
=> SAHKB = SAEFB Kẻ II’, CC’, DD’ vuông góc với AB
g c g
KIF
HIE
2
' ' 2
'.
2
'.
II AB DD
CC AB AB DD AB
Từ (3) và (4) Ta có: SAHKB= SABC + SADB
c.(0,75đ) Trong tam giác vuông ICO co: OI2 = OC2 OI2 152 92 12 (cm)
SAHKB = AB II’ AB IO = 30 12 = 360(cm 2) (vì IO II’ )
Vậy SAHKB lớn nhất bằng 360cm2
C
O I’
H
E
I
F