Vẽ đường tròn tâm I bán kính IA, đường tròn này cắt tia AD và tia AC lần lượt tại M và N khác điểm A.. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng xy kẻ tiếp tuyến MP và MQ với O với P, Q là
Trang 1Bài 1: (2,0 đ) Cho 3 số , , nguyên Chứng minh rằng nếu a b c abc chia hết cho 4 thì :
chia hết cho 4
a bb cc a abc
Bài 2: (4,0 đ) Cho biểu thức :
với ;
: 4 4
1
1 2 4
2 1
2
x
x x
x x x
x
x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P tại x 10 60 24 40 8 2 15
c) Tìm giá trị của để x P P
Bài 3: (3,0 đ) Cho hàm số: y 2xa 1 (d) Tìm sao cho: a
a) Đường thẳng (d) đi qua điểm M 1 ; 2 Tính khoảng cách từ gố tọa độ đến đường thẳng (d)
b) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng y 2x 1 tại điểm có hoành độ là 3
Bài 4: (3,5 đ)
a) Giải phương trình: 72
1 8
9
x x
b) Cho , là 2 a b số dương Chứng minh rằng:
16 2
2
ab
b a b a
Bài 5: (7,0 đ)
Câu 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R không đổi, 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau Lấy điểm I thuộc đoạn OC ( I khác O và C ) Vẽ đường tròn tâm I bán kính
IA, đường tròn này cắt tia AD và tia AC lần lượt tại M và N ( khác điểm A)
a) Xác định vị trí của 2 đường tròn tâm O và tâm I
b) Chứng minh 3 điểm I, M, N thẳng hàng
c) Từ M kẻ MK song song với AC ( K thuộc CD) Chứng minh:
và
DO DK DA
d) Chứng minh tổng AM AN có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm I
Câu 2: Cho tan Tính giá trị của biểu thức:
3
2
2 3
3 2
5 5
cos sin 2 cos sin 3
cos sin
A
Trang 2Bài 1: (2,0 đ) Tìm số bị chia nhỏ nhất khi chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 dư
3, chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11
Bài 2: (3,5 đ) Cho biểu thức :
với ;
2
5 1
2 :
2
1
x x
x x
x
x x x
x
a) Rút gọn Q
b) Chứng minh rằng Q 2
c) Tìm giá trị của thỏa mãn: x x xQ 2x x x 4 3 x3 4x
Bài 3: (5,0 đ)
a) Tìm , thỏa mãn: x y x 12 2xy 2y y2 4x 7y 7 0
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : x2 x 2x 2 3
c) Cho x yz 3 Chứng minh bất đẳng thức: x2 y2 z2 xyyzzx 6
Bài 4: (2,5 đ) Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm A 1 ; 5 , B 2 ; 0, C 6 ; 2
a) Xác định dạng của ABC.
b) Viết phương trình trục đối xứng của ABC.
Bài 5: (7,0 đ)
Câu 1: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng xy kẻ tiếp tuyến MP và MQ với (O) ( với P, Q là các tiếp điểm) Dây cung PQ cắt OM tại K
a) Chứng minh 4 điểm M, P, O, Q cùng thuộc một đường tròn
b) C/minh tích OK.OM không phụ thuộc vị trí của điểm M trên đường thẳng xy c) Chứng minh đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên xy d) Tìm vị trí của điểm M sao cho diện tích MPOQ nhỏ nhất.
e) Đường thẳng MO cắt (O) tại E, F (ME MF) Kẻ cát tuyến MIJ với (O) ( I nằm giữa M và J), kẻ EA và FB vuông góc với MIJ (A, B nằm trên MIJ)
Chứng minh: BF2 AB2 AE2 EF2 2 AE.BF
Câu 2: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Qua H dựng đường thẳng a cắt cạnh
AB và đường thẳng AC lần lượt tại E và G Vẽ đường thẳng b vuông góc với đường thẳng
a tại H, b cắt cạnh AC và đường thẳng AB lần lượt tại F và D
a) Chứng minh EF vuông góc với DG
b) Tìm điều kiện của hai đường thẳng a và b thỏa mãn đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b tại H để EF ngắn nhất
Trang 3Bài 1: (2,0 đ)
Cho biểu thức : An6 10n4 n3 98n 6n5 26 và B 1 nn3
a) CMR: với mọi giá trị nguyên n thì thương của phép chia A cho B là bội của 6
b) Tìm giá trị n nguyên để A chia hết cho B
Bài 2: (4,0 đ)
Cho biểu thức : y ( với , là số dương )
xy y
x
y xy x
2 3
9 2
a) Rút gọn biểu thức A và chứng minh A không âm
b) Tính giá trị của A khi x 5 2 6 và y 5 2 6
Bài 3: (4,0 đ)
a) Giải phương trình:
10 4
21 6
2
x x x
x
b) Tìm các giá trị nguyên dương , sao cho: x y x3 y3 3xy 1
Bài 4: (3,0 đ)
1 Cho 2 điểm A 1 ; 3 và điểm B 3 ; 1 trên mặt phẳng tọa độ Oxy
a) OAB là tam giác gì? Vì sao?
b) Tính khoảng cách từ gốc O tới AB
2 Cho x2 y2 z2 t2 1 Tìm GTLN của biểu thức N xz yt
Bài 5: (7,0 đ)
Câu 1: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E là điểm đối xứng của B qua C Kẻ BH vuông góc với AE tại điểm H, gọi I là trung điểm của HE
a) Chứng minh DE AC
b) Gọi K là trực tâm của ABI Chứng minh K là trung điểm của BH.
c) Chứng minh KC đi qua trung điểm của BI
d) Chứng minh đường thẳng AC, BD và đường trung trực của IC đồng quy
Câu 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R, dây CD có trung điểm H Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn Đường thẳng AB cắt
SO, OH lần lượt tại E, F Chứng minh:
a) Tích OEOS không đổi
b) Bốn điểm S, E, H, F nằm trên một đường tròn
c) Khi S chuyển động trên tia đối của tia DC thì đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định