Trên đoạn EB lấy điểm F sao cho EF = EA.. Chứng minh rằng: a AF vuông góc với EK.. Cho hình thoi ABCD, 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.. Đường trung trực của AB cắt BD, AC lần lượt
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU
ĐỀ THI VÒNG I, CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016 Môn Toán – ( Thời gian làm bài 150 phút)
-Câu 1 (4 điểm)
a Rút gọn biểu thức sau: M =
2 1
2 3
a a
a a
2 2
3 4
Câu 2 (4 điểm)
a Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 3 3 3
x y z x y z
b Chứng minh 3 3 3 3 chia hết cho 24,
a b c a b c b c a c a b
với a, b, c Z.
Câu 3 (4 điểm)
a Với x 0,y 0 Chứng minh bất đẳng thức: 2
2 2
x y xy xy
b Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2
Câu 4 (2 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3xy + 3yz + 3zx – xyz trong đó x, y,
z là ba số dương thỏa mãn 3 3 3
3
x y z
Câu 5 (6 điểm)
1 Cho tam giác ABC có CBA = 20 và 0 ACB = 110 và đường phân giác BE 0
Từ C kẻ CK vuông góc với EB cắt AB tại K và cắt BE tại M Trên đoạn EB lấy điểm F sao cho EF = EA Chứng minh rằng:
a) AF vuông góc với EK
b) CF = AK và CF là tia phân giác của góc KCB
c)
AF
BA
2 Cho hình thoi ABCD, 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Đường trung trực của AB cắt BD, AC lần lượt tại M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tích hình thoi theo a, b
- Hết
Trang 2-HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN VÒNG I – NĂM HỌC 2015-2016
a) Rút gọn biểu thức M: =
2 1
2 3
a a
2 2
Ta có M =
.
n
=
.
n
= =
.
n
2
n
a
a
0,75
4 2 3
3 2 3 1
3 1
Tương tự: 1 + 2x = 1 2
3 1
Từ đó: A = 2 2 =
2 3 3 2 3 3
1
2 3 3 1 2 3 3 1
1
0,5
x y z x y z x y z y zx z xy xyz 0,5
Do đó 3 3 3 3=
Ta có: x + y + z = a + b – c + b + c – a + c + a – b = a + b + c 0,25
a b c a b c b c a c a b 0,25
2
a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi với hai số không âm a b 2 ab với
a b
Bằng cách triển khai 2
2
3
Trang 3Vậy 2
2 2
b) Vì x = 1 không thỏa mãn phương trình nên x 1, suy ra: 0,25
2
hay
2
1
y
x
2 4 1
y x
x
Với x – 1 = - 2 => x y; 1; 4
Với x – 1 = - 1 => x y; 0; 2
Với x – 1 = 1 => x y; 2; 4
Với x – 1 = 2 => x y; 3; 2
Vậy các cặp số nguyên x y; thỏa mãn phương trình là:
1; 4 , 0; 2 , 2; 4 , 3; 2
0,5
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có: 3
1 1 3
3
1 1 3
3
1 1 3
0,5
3
3
x y z x y z xyyzzx 0,25
Chú ý vế phải của (2) không âm, từ (1) và (2) suy ra
(3)
2 2 2
Từ (3) và (1) dẫn đến
2 2 2
Px y z xy yz zx 2 2
P = 8 x y z 1
4
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 8 đạt được khi x = y = z = 1 0,25
M
K
F E
C
B A
1 a) Từ giả thiết ta dễ thấy
10
ABECBE
BE là đường trung trực của CK
(1). Từ đó tính được 0,
80
MCB
30
120
CEK
0,5 0,5
60
60
Ta thấy EK là phân giác ứng với đáy của tam giác cân AEF nên EK vuông góc
b) Từ (1) và (2) có 0
30
Từ (1) và (3) ta có CEF = KEA (c.g.c), suy ra CF = AK và 0
70
ECF EKA
30
40
40
c) CEK FEA (g.g), nên CK EC Mặt khác do BE là đường phân giác
của tam giác ABC nên EC BC, suy ra
5
2
Trang 4N H
M
O
D
C B
A
Gọi H là trung điểm của AB Dễ thấy:
* AHN MHB => AN HN b =>
MB HB a
HN = b HB b HA
a a
* AHN AOB => AH HN
AO OB
=> OB HN HN b => OB =
a
0,25
0,25
* AHN vuông => HN + HA = AN 2 2 2
=> HA2 do đó HA => AB = 4HA =
2 2 2
a
2 2 2
2 2
a b
a b
2 2
2 2
4a b
* AOB vuông => OA + OB = AB => OA + 2 2 2 2
2
4
OA
Do đó OA = 2 => OA = và OB =
4 2 2
2 2
4a b
a b
2
2 2
2a b
a b
2
2 2
2ab
a b
0,25
Mà diện tích hình thoi ABCD = S = 2OA.OB Vậy S =
3 3 2
2 2
8a b
a b
0,25
Lưu ý: - Hướng dẫn chấm gồm 03 trang;
- Thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa;
- Bài hình, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm bài hình.