a Phân tích B thành nhân tử b Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác thì B... Chứng minh rằng AK + CE = BETrên hình vẽ ta lấy điểm M trên tia đối của tia C
Trang 1KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC: 2015-2016
Đề thi môn: Toán 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: ( 5 điểm)
Cho a là một số nguyên Chứng minh rằng biểu thức:
M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a +4) + 1 là bình phương của một số nguyên
Câu 2: ( 5 điểm)
Cho đa thức: B = ( a2 + b2 – c2 ) – 4a2b2
a) Phân tích B thành nhân tử
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác thì B <0
Câu 3: ( 5 điểm)
Cho phân thức:
P =
8 2 2
6 3 2 4 3 2 4
2
5
x x
x x x x
x
a) Rút gọn phân thức
b) Tìm giá trị của x để giá trị phân thức bằng 0
Câu 4: ( 5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở
K Chứng minh rằng AK + CE = BE
HẾT
Trang 2KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC: 2015-2016
Đề thi môn: Toán 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu 1: ( 5 điểm)
Ta có: M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a +4) + 1
= (a2 + 5a + 4)(a2 + 5a + 6) + 1 (1đ)
Đặt a2 + 5a + 5 = t (1đ)
Do đó M = ( t – 1)( t + 1) +1 = t2 – 1 + 1 = t2 = (a2 + 5a + 5)2(1đ)
Vì a Z nên a 2 + 5a + 5 Z (1đ)
Vậy M là bình phương của một số nguyên (1đ)
Câu 2: ( 5 điểm)
a) Phân tích B thành nhân tử
Ta có: B = ( a2 + b2 – c2 )2 – 4a2b2 =
= ( a2 + b2 – c2 )2 – (2ab)2 = (1đ)
= (a2 + b2 – c2 + 2ab)( a2 + b2 – c2 - 2ab) = (1đ)
= ( a + b + c)(a + b – c)(a – b + c)(a – b – c) (1đ)
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác thì B <0
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a + b + c > 0 ; a + b – c > 0; a – b + c > 0
và a – b – c < 0 (1đ)
Do đó : B < 0 (1đ)
Câu 3: ( 5 điểm)
a) Rút gọn phân thức
ĐK: x -4 và x 2 (1đ)
Ta có:
P =
8 2 2
6 3 2 4 3 2 4
2
5
x x
x x x x
x
) 2 )(
4 (
) 2 ( 3 2 2 2 )
2
(
4
x x
x x
x x
x
) 2 )(
4
(
) 3 2 2
4
)(
2
(
x
x
x x
x
) 2 )(
4 (
) 1 2 )(
3 2 )(
2 (
x x
x x
x
) 4 (
) 1 2 )(
3 2 (
x
x x
b)Tìm giá trị của x để giá trị phân thức bằng 0
P = 0 khi = 0 (0.5đ)
) 4 (
) 1 2 )(
3 2 (
x
x x
Vì x + 4 0 nên (x 2 + 3)(x2 – 1) = 0 mà x2 + 3 > 0 x (1đ)
Do đó để P = 0 thì x2 – 1 = 0 x =1 hoặc x = -1 ( TMĐK) (0.5đ)
Câu 4: ( 5 điểm) ( Vẽ hình đúng được 0.5đ)
Trang 3Chứng minh rằng AK + CE = BE
Trên hình vẽ ta lấy điểm M trên tia đối của tia CD sao cho CM = AK (0.5đ)
Ta có: AK + CE = CM + CE = EM (0.5đ)
Vì BAK = BCM ( c-g-c) (0.5đ)
K1 = M, B1 = B4 (0.5đ)
Ta lại có B1 = B2 nên B2 = B4 (0.5đ)
EBM = B3 + B4 = B3 + B2 = KBC = K1 = M (1đ)
EBM cân BE = ME (0.5đ)
Do đó BE = MC + CE = AK + CE (0.5đ)