Đề khảo sát học sinh giỏi năm 2016 2017 môn: Toán lớp 839104

Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến lượt là trung điểm vủa GA và GD.. Chứng minh rằng: Câu 5: 2 điểm đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K..

PHÒNG GD – ĐT TƯ NGHĨA

Ngày 8 tháng 9 năm 2016

Trương Quang An

Nghĩa Thắng ,tư nghĩa ,quảng

ngãi

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 - 2017

Môn: Toán - Lớp 8

(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1 (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) 5 x3 + 15x2 +10x 3) 4x4 21x y2 2 y4

2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: 2 2 Tìm giá trị bé nhất của biểu thức

x  y  1

P  x  y

(x  4x 1)   (x   x 1)  (3x  2)

4  a b

Câu 3 (4 điểm)

1 x  1 y   4xy  2 x  y 1 xy 

2) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức f (x)  (x  a)(x   4) 7 phân tích thành thừa số được f (x)  (x  b)(x  c)

Câu 4 (4,0 điểm)

điểm của BE, A là trung điểm của CF Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến

lượt là trung điểm vủa GA và GD Chứng minh rằng:

Câu 5: (2 điểm)

đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K

- Hết

1) 5 x  15x  10x  5x(x  3x  2)  5x(x 1)(x   2) 1đ

2)

(4x 8)(2x 22) 8(x 2)(x 11)

1đ

4x 21x y y 4x y 4x y 25x y

(2x y ) (5x y ) (2x y 5x y )(2x y 5x y )

1đ

Câu

1

(4,0)

4) 4 x 5 x 6 x 10 x 12 3x

4(x 17x 60)(x 16x 60) 3x A

Đặt 2 thì

x  16x  60  t

2

(2t x) 4x (2t 3x)(2t x) (2x 35x 120)(2x 31x 120)

(2x 35x 120)(2x 15)(x 8)

1đ

Câu

2

(6,0)

+) Số hạng tổng quát: kk k 1k 1 k k2 với mọi k nguyên dương.

+) Áp dụng cho k từ 1đến 2016 ta được:

k=1 thì 1 2 31

2   1 2 k=2 thì 22 31 43

2  2  2 k=3 thì 33 42 53

2  2  2 k=4 thì 44 53 64

2  2  2

……….

K=2016 thì 20162016 20172015 20182016

2  2  2 Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta có

1,5đ

2 3 2016 2016 2015

x  y  1

P  x  y

2

P x y (x y )(x x y y ) 1.(x x y y )

(x y ) 3x y 1 3x y 1 3x (1 x )

3x 3x 1 3 x

2 12

        

Dấu = xảy ra x2 1 x 1 và

2

 

KL: P min 1 (x; y) ( 1; 1); ( 1; 1); ( 1; 1); ( 1; 1)

1,5đ

(x  4x 1)   (x   x 1)  (3x  2) Đặt x22 4x 1 a 3x 2 b a ta được:

x x 1 b

   

   



  



2

2

a b (b a) a b b 3a b 3ab a

3a b 3ab 0 3ab(a b) 0

2

2 x 3



 









        





 Kl…

1,5đ

4   a b 6.

4    a b (4      2) (a 1) (b 2019) 2022 

+) a chia hết cho 2

(4  2)

+) a a a 1 a 2 nên chia hết cho 3.

4   2 (4    1) 3 (4 1)(4    4    1) 3

1,5đ

Vậy a chia hết cho 6

4   a b

1)

2

1 x 1 y 4xy 2 x y 1 xy

1 x x y y 4xy 2 x y 1 xy (x y 2xy) (1 x y 2xy) 2 x y 1 xy

x y 1 xy 2 x y 1 xy

x y 1 xy

   

Là số chính phương với mọi x và y nguyên

2đ

Câu

3 (4

điểm

)

2)Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức f (x)  (x  a)(x   4) 7

phân tích thành thừa số được f (x)  (x  b)(x  c)

Ta phải tìm a,b,c nguyên sao cho:

(x a)(x 4) 7 (x b)(x c) x

x (a 4)x 4a 7 x (b c)x bc x

a 4 b c a 4 b c

4a 7 bc 4a 7 bc

a b c 4 (b 4)(c 4) 39

  





…

KL: (a; b;c) = (-42;-43;-3); (-42;-3;-43); (34;35;-5); (34;-5;35);

(6;-7;9) ;(6;9;-7); );(-14;-1;-17) (-14;-17;-1)

2đ

Câu

4

(4,0

điểm

Câu 4 Cho tam giác ABC Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung

điểm của AD, C là trung điểm của BE, A là trung điểm của

giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF I và

K lần lượt là trung điểm vủa GA và GD Chứng minh rằng:

I

G

N

M

E

D

C B

A

1)Tứ giác MNIK là hình bình hành

 MN // = AB

+) Giải thích IK//= AB

2 đ

2)Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau

 AI= IG= GM

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC

Chứng minh tương tự G là trọng tâm của tam giác DEF

2 đ

Câu

5: (2

điểm

)

Câu 5: (2 điểm)

là giao điểm của BE và CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K Chứng minh rằng AB = CK

1

2 2

2 1 1

1 1

M

K

O

E D

C B

+)Vẽ hình bình hành ABMC  AB = CM (1)

 góc B1 = góc B1

Tương tự CO là phân giác của tam giác MBC

 MO là phân giác của tam giác MBC

 MO là phân giác của góc BMC của hình bình hành ABMC

+) Chỉ ra MO // phân giác Ax của góc BAC

 M, O, K thẳng hàng

Từ (1) và (2) suy ra AB = CK

2 đ