Các mã xyclic xây dựng trên các nhóm nhân xyclic theo MUDULO

Tuy nhiên bằng cách lựa chọn các nhóm nhân xyclic hoặc các cấp số nhân xyclic trong phân họach của vành đa thức theo các nhóm nhân xyclic ta cũng có thể xay dựng được các mã xyclic khá

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG VIỆT NAM

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

-

TÊN HỌC VIÊN: TRẦN ĐỨC QUYỀN

TÊN LUẬN VĂN: CÁC MÃ XYXLIC XÂY DỰNG TRÊN CÁC NHÓM NHÂN XYCLIC

THEO MODULO

CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ

MÃ SỐ: 60.52.70

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bình

ĐÀ LẠT - Năm 2009

2 Luận văn được hoàn thành tại:

Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông Tập đoàn Bưu chính Viễn thông Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bình

Phản biện 1: ………

………

Phản biện 2: ………

………

Phản biện 3: ………

………

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông

Vào lúc: giờ ngày tháng năm 2009

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

Thư viện Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông

1

LỜI NÓI ĐẦU

Theo nghĩa khái quát mã hóa là một ánh xạ 1-1 từ tập tin rời rạc lên tập các từ mã thuộc một tập hợp nào đó, tập hợp này không nhất thiết là một tập các phần tử có cấu trúc Tuy nhiên để thuận tiện cho việc mã hóa và đặc biệt là việc giải mã người ta thường chọn tập hợp này là một cấu trúc đại số nào đó ( nhóm, vành, trường, không gian tuyến tính… ) Thành tựu lớn nhất trong lý thuyết mã hóa là việc xây dựng các mã xyclic truyền thống là các ideal trong vành đa thức Về bản chất mã xyclic chính là phần tử đơn vị của phép cộng ( phần tử zero ) trên vành đồng dư được xây dựng trên vành đa thức

Tuy nhiên bằng cách lựa chọn các nhóm nhân xyclic ( hoặc các cấp số nhân xyclic trong phân họach của vành đa thức theo các nhóm nhân xyclic ) ta cũng có thể xay dựng được các mã xyclic khác với các mã truyền thống chỉ là một trường hợp lựa chọn đặc biệt khi chọn các nhóm nhân xyclic đơn vị theo modulo

Hiển nhiên là cách mã hóa này cho ta khả năng lựa chọn phong phú khi xây dựng các mã trên vành đa thức cụ thể Cho dù khả năng lựa chọn này còn kém xa so với khả năng lựa chọn theo quan điểm mã hóa tuyến tính ngẫu nhiên của Shanmon nhưng bù lại nó lại có được đặc tính xyclic rất thuận lới cho việc mã hóa và

2 giải mã Đây là đặc tíh ứng dụng đơn giản nổi trội của các mã xyclic truyền thống

Trên cơ sở các nghiêm cứu gần đây về các mã xyclic cục

bộ xây dựng trên cán phân họach mã vành, theo quan điểm mới này luận văn mới chỉ chú trọng tới việc xây dựng mã từ các nhóm nhân xyclic có so sánh với các mã xyclic truyền thống Bảng luận văn được chia làm 3 chương với các nội dung chủ yếu sau:

- Chương I: Vành đa thức và các nhóm nhân xyclic Chương này trình bày tổng quan lý thuyết nhóm nhân xyclic trên vành đa thức

- Chương II: Phân họach vành đa thức

Chương này trình bày các phương pháp phân họach vành

đa thức theo các nhóm nhân xyclic khác nhau Đây là cơ

mã ngưỡng Mối quan hệ giải mã xyclic truyền thống xây dựng trên các ideal và các mã xyclic xây dựng trên các nhóm nhân xyclic theo modulo cũng được xem xét

3 Được sự giúp đỡ tận tình của thầy GS.TS Nguyễn Bình

và sự nổ lực của bản thân luận văn đã được hòan thành Tuy nhiên do thời gian hạn hẹp và trình độ hạn chế việc hiểu và trình bày các vấn đề được nêu không thể tránh khỏi còn nhiều thiếu sót Rất mong được sự góp ý của các thầy và các bạn có quan tâm

CHƯƠNG I CÁC NHÓM NHÂN XYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC

1.1 Mã cyclic truyền thống và mã tuyến tính ngẫu nhiên của Shannon

Mã cyclic gồm các từ mã là bội của đa thức sinh g(x) với g(x) là một ước nào đó của xn 1

Từ mã hay đa thức mã a(x) của mã cyclic là một phần tử của ideal g x( ) thoả mãn điều kiện a x( ) : ( )g x [5, 6]

Một tính chất quan trọng rất thuận lợi cho việc mã hoá và giải mã cho các mã cyclic là dịch vòng của một đa thức mã cũng

là một đa thức mã Ký hiệu V _( , )n k là mã cyclic (tuyến tính) có

1.2 Các mã cyclic cục bộ (LCC: Local cyclic codes)

Để khắc phục những hạn chế trên của mã cyclic vào năm

1987, GS Nguyễn Bình và giáo sư Nguyễn Xuân Quỳnh đã cùng nhau thảo luận đưa ra một quan điểm mã hoá mới dựa trên việc phân hoạch vành số Z2k1 thành các lớp kề của nhóm nhân cyclic đơn vị

Mã được xây dựng trên phân hoạch (1-1) được gọi là mã cyclic cục bộ và được định nghĩa như sau :

5

Định nghĩa 1.1: Mã cyclic cục bộ hệ thống (n, k) là mã hệ

thống tuyến tính trong đó:

- k dấu thông tin là k phần tử của nhóm nhân cyclic đơn vị

- n-k = r dấu kiểm tra là một tập con không trống tuỳ ý nào

đó các lớp kề của nhóm nhân này

+ Mã cyclic truyền thống được xem là một lớp kề đặc biệt trong phân hoạch

+ Mã tuyến tính ngẫu nhiên của Shannon được xem là mã LCC xây dựng trên phân hoạch của vành đa thức có hạt nhân phân hoạch là phần tử đơn vị e x  ( ) 1

Để xây dựng được mã tốt vấn đề quan trọng là phải có các tiêu chí để lựa chọn các lớp kề tạo mã

Các nghiên cứu tiếp theo là tìm các tiêu chí lựa chọn các lớp

kề khác nhau để tạo mã Quan hệ giữa các mã LCC với các mã cyclic truyền thống và các mã tuyến tính ngẫu nhiên được mô tả ở hình 1.1

6

Với các vành chẵn, tác giả cũng đưa ra một phương pháp phân hoạch mới để tạo mã Trong trường hợp này vành sẽ được phân hoạch thành các lớp chứa các phần tử liên hợp là các căn bậc

2 của các thặng dư bậc hai trong vành [8]

x

Phần tử sinh n

x  1

Phân hoạch của vành đa thức theo nhóm nhân xyclic

Phân hoạch không suy biến

Phân hoạch suy biến

Phân hoạch cực tiểu

Phân hoạch cực đại

Phân hoạch chuẩn

7

Ta có thể xây dựng được các mã LCC trên các lớp đặc biệt là các căn bậc 2 của lũy đẳng nuốt và các căn bậc 2 của Zero.(Hình 1.2)

Các mã xyclic

Các mã cyclic cục bộ

Hình 1.2: Các dạng phân hoạch khác nhau của vành đa thức

8

1.3 Các nhóm nhân cyclic trong vành đa thức

1.3.1 Nhóm nhân của vành đa thức theo modulo x n + 1

Theo lý thuyết mã cổ điển, mỗi Ideal tương ứng của một

vành đa thức sẽ xây dựng được một bộ mã xyclic Trong một vành

đa thức, Ideal I gồm các đa thức là bội của một đa thức g(x), trong

đó g(x) là ước của đa thức x n + 1: (g(x)) | x n+1 hay x n1:g x 

Hình 1.3: Phân hoạch vành theo Ideal

Theo phương pháp cổ điển này thì rõ ràng là số bộ mã bị hạn chế (do số đa thức sinh ít) Theo quan điểm xây dựng các mã

cyclic mới là đi nghiên cứu các nhóm nhân trên vành đa thức Dựa

trên các nhóm nhân để đi xây dựng các bộ mã có đặc tính khác nhau

Vành Z2[x]/ x n + 1

Ideal g(x)

Đa thức sinh

Trọng số của đa thức:

Trọng số của đa thức a(x) được ký hiệu là W(a(x)) là tổng

các hệ số khác không trong biểu diễn đa thức đó:

a

Với a(x) = 1 + x ta có thể viết a(x) = 1.x0 + 1.x1  W(a(x)) = 2

1.3.2 Nhóm nhân cyclic trong vành đa thức Z 2[x] /x n +1

Vành Z2[x]/ xn + 1

10

1.3.2.1 Nhóm nhân cyclic (CMG – Cyclic Multiplicative Groups)

Nhóm nhân cyclic trong vành đa thức là tập hợp các phần tử

đều bằng lũy thừa của một phần tử gọi là phần tử sinh Trong vành đa thức có nhiều nhóm nhân xyclic, số nhóm nhân bằng số các lũy đẳng có thể có trong vành

Trong đó: A là nhóm nhân xyclic

 là phần tử sinh (đa thức sinh), cấp của phần tử

sinh là cấp của nhóm (cấp của nhóm là tổng số các phần tử của nhóm)

Phần tử đơn vị của nhóm chính là một lũy đẳng

e(x)

Định nghĩa 1.3: Cấp của một đa thức

Cấp của một đa thức, ký hiệu ord a(x), là số nguyên dương (m) nhỏ nhất sao cho:

a m (x) = e(x) mod (x n +1) (1-3)

Trong đó e(x) là một lũy đẳng nào đó

trong đó fi(x) là các đa thức bất khả quy

Khi đó max ord(a(x)) = 2 m – 1 Trong đó m = max deg fi(x) + Nếu n chẵn n = 2 s (2k + 1); và x 2k+1 +1 =  fi(x);

trong đó fi(x) là các đa thức bất khả quy

Khi đó max ord(a(x)) = 2 s(2m +1) Trong đó m = max deg fi(x)

12

Định nghĩa 1.6: Lũy đẳng “nuốt”

Trong mỗi vành đa thức Z2[x]/ x n + 1 đều tồn tại một lũy đẳng e0(x) = 

Trong một vành bất kỳ, với n lẻ luôn tồn tại một lớp kề chỉ

chứa một lũy đẳng “nuốt” e0(x)

1.3.2.4 Nhóm nhân cyclic với phần tử sinh a(x)

Định nghĩa 1.8:

Nhóm nhân cyclic với phần tử sinh là đa thức a(x) bao

gồm các phần tử là lũy thừa của phần tử sinh và có thể viết dưới dạng:

A = {a(x), (a(x))2, (a(x))3, } (1-8) Tương tự như với nhóm nhân cyclic đơn vị, ta thấy nhóm

cyclic với phần tử sinh là đa thức a(x) cũng xây dựng dựa trên cấp

số nhân có số hạng đầu là 1 và công bội là a(x)

1.3.2.5 Đa thức đối xứng và các nhóm nhân cyclic đối xứng Định nghĩa 1.9: Đa thức đối xứng

Bổ đề 1.2:

Nếu a(x) là một phần tử cấp k thì cấp của a x cũng bằng k ( )

Tức là, nếu A là một nhóm nhân cyclic cấp k có phần tử sinh là a(x) thì A cũng là nhóm nhân cyclic cấp k với phần tử sinh là

( )

a x Khi đó ta có:

A = {a(x), a2(x), a3(x), , ak-1(x)}

A = { ( )a x , ( ( ) a x )2, (a x )( ) 3, , (a x )( ) k-1}

Như vậy, với mỗi phần tử a(x) của nhóm nhân cyclic A ta có

tương ứng một phần tử ( )a x của nhóm nhân cyclic A Từ nhóm

nhân cyclic A ta dễ dàng thiết lập được nhóm nhân cyclic A Hai nhóm nhân A và A được gọi là hai nhóm nhân cyclic đối xứng trong vành đa thức

14

2.1.2 Cấp số nhân cyclic trên vành đa thức

Xét vành đa thức Z2[x]/ x n + 1 với n lẻ, giả sử a(x) là số hạng đầu tiên của cấp số nhân cyclic và q(x) là công bội của cấp số

nhân

Định nghĩa 2.1:

Cấp số nhân cyclic (CGP - Cyclic Geometic Progressions)

Cấp số nhân cyclic trên vành đa thức là một tập hợp con có dạng sau:

A(a,q) = {a(x), a(x).q(x), a(x).q2(x), , a(x).q m -1 (x)}

(2-1) Trong đó: m là số các số hạng của cấp số nhân

a(x) là số hạng đầu của cấp số nhân

q(x) là công bội

a(x).qm(x)  a(x) mod x n + 1

Giá trị của m được xác định bởi cấp của nhóm nhân xyclic

15

2.2.2 Phân hoạch cực đại

Định nghĩa 2.3:

Phân hoạch được gọi là cực đại nếu nhóm nhân cyclic

sinh có phần tử sinh với cấp lớn nhất, ord(a(x)) = max ord(b(x)), b(x)  Zn

2.2.3 Phân hoạch cực tiểu

2.2.4 Phân hoạch vành thành các cấp số nhân có cùng trọng số

2.2.5 Phân hoạch vành đa thức thành các cấp số nhân với các phần tử có cùng tính chẵn lẻ của trọng số

2.2.6 Phân hoạch vành đa thức thành các cấp số nhân theo modulo h(x)

Vành đa thức Z2[x]/ x n + 1 có thể được phân hoạch thành các

cấp số nhân theo modulo h(x) với h(x) | x n + 1

Từ phân tích nhị thức x n + 1 = ( ) 1( ) 2( ) ( )

1

x f x f x f x

Như vậy, h(x) là tổ hợp của các fi(x) sao cho deg h(x) = k <

n, trong vành đa thức Z2[x]/ x n +1 Tuỳ theo giá trị n mà có số đa

16

thức bất khả quy khác nhau, nên sẽ có số h(x) khác nhau Khi đó, trên vành sẽ có nhiều phân hoạch ứng với các h(x) khác

nhau

2.3 Các vành đa thức có hai lớp kề xyclic

2.3.1 Vành đa thức có hai lớp kề xyclic

Định nghĩa 2.4:

Vành đa thức theo modulo xn+1 được gọi là vành đa thức có hai lớp kề cyclic nếu phân tích của xn+1 thành tích của các đa thức bất khả quy trên trường GF(2) có dạng sau:

xn + 1 = (x + 1) 



 1



 1

17

CHƯƠNG III CÁC MÃ XYCLIC XÂY DỰNG TRÊN NHÓM NHÂN

XYCLIC

3.1 Hai thủ tục giải mã:

3.1.1 Hai thủ tuc giải mã:

Mọi phương pháp giải mã đều có thể tiến hành theo một trong hai thủ tục giải mã sau:

- Phương pháp ( thủ tục) 1:

Dẫn ra bản tin từ dấu nhận được

- Thủ tục 2:

Dẫn ra vec tơ sai dãy dấu nhận được

3.1.2 Hệ tổng kiểm tra trực giao và có khả năng trực giao:

Định nghĩa 3.1: Hệ J tổng kiểm tra được gọi là trực giao

với ui nếu:

- Mỗi tổng kiểm tra trong hệ đều chứa uj

- Dấu mã uj (j≠ i) chỉ nằm tối đa trong một tổng kiểm tra

Định nghĩa 3.2: Hệ tổng kiểm tra được gọi là có khả năng trực

giao nếu nó là hệ tổng kiểm tra trực giao với một tổ hợp tuyến tính nào đó các dấu mã

max ord a(x) = 2m - 1

Xét a (x) là đa thức đối xứng của a(x)

A = {(13), (12), (0234), (24), (23), (0134), (03), (34), (0124), (14), (04), (0123), (02), (01), (1234)}

19 Khi đó:

20

Hình 3.5: Thiết bị giải mã 2 cấp ngưỡng cho A

3.3 Xây dựng mã cylic trên vành mở rộng của vành đa thức

có 2 lớp kề cyclic

3.3.1 Vành mở rộng của vành đa thức có 2 lớp kề cyclic

21

2 [ ]/ n 1

Z x x  là vành mở rộng của vành đa thức 2[ ] / n 1

Z x x  , trong đó n là số nguyên tố và n thỏa mãn:

Chúng ta đã biết rằng Z2[x]/(x2)n +1 đẳng cấu với

Z2[x]/xn+1 Tât cả các phần tử của vành đều là các thặng dư bậc 2 của Z2[x]/x2n+1 Trong trường hợp này Z2[x]/x2n+1được phân hoạch thành lớp các phần tử liên hợp của các thặng dư bậc 2 Nếu f(x) là thặng dư bậc 2 Tập 2n phần tử các căn bậc 2 sẽ có dạng như sau:

Ta đã chứng minh rằng các phần tử liên hợp của e0(x2) là các nhóm nhân và chúng ta có thể xây dựng các mã XCB và mã xyclic dựa trên các phần tử này

3.4 Các mã xyclic xây dựng trên nhóm nhân xyclic theo

23 Nhóm nhân xyclic đơn vị theo modulo h(x) với h(x) /xn+1 là 1 mã xyclic truyền thống có đa thức sinh g(x) thỏa

- Tóm lược về nhóm nhân xyclic trên vành đa thức

- Tổng hợp các kết quả về các phương pháp phân họach khác nhau của vành đa thức Đây là cơ sở quan trọng để xây dựng các mã xyclic cục bộ mà các mã xyclic là một trường hợp riêng

- Trình bày một số kết quả xây dựng mã xyclic trên các nhóm nhân xyclic và các nhóm nhân xyclic theo modulo

- Mô tả phương pháp giải mã cho các mã này

- So sánh các mã này với các mã xyclic truyền thống

Do thời gian có hạn và mục tiêu hạn hẹp của một luận văn thạc sĩ, các vấn đề được lựa chọn trình bày trong luận văn chưa thực sự đầy đủ, logic và sâu sắc Còn nhiều vấn đề mà tác giả phải tiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu sâu sắc thêm trong thời gian tới

25