Các nghiên cứu này đã đưa ra được một số kiêu phân hoạch vành đa thức, cũng như các cách xây dựng mã XCB trên các phân hoạch đó.. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Luận án thuộc phạm vi l
Trang 1-24-
thức mà bình thường khó có thể xây dựng được mã XCB tốt
(vi du cac vanh x° +1,x’ +1 )
Xây dựng được phương pháp giải mã cho các mã XCB trên
hai vành đa thức Phương pháp giải mã này cơ bản vẫn dựa
trên phương pháp giải mã ngưỡng những có một vài sửa đổi
Mạch điện giải mã đơn giản và có tốc độ giải mã nhanh
Tìm được một lớp mã XCB tôi ưu có khả năng trực giao xây
dựng trên hai vành đa thức với bộ tham sé
(n,k,d,)=(2”" +m,m41,2"7 +1)
Xây dựng 5 bộ mã XCB tối ưu mới và đánh giá hiệu quả sửa
sai của các mã XCB mới này trên kênh AWGN bằng chương
trình mô phỏng Các kết quả mô phỏng cho thay khả năng
sửa lỗi của các bộ mã mới là tốt
Tính toán phân bố trọng số các từ mã của 4 bộ mã XCB mới,
kết quả cho thấy các bộ mã mới đều có phân bố các bit “0”
và các bít “1” tương đối bằng nhau trong các từ mã
Kiến nghị hướng phái triển tiếp theo:
Nghiên cứu phương pháp phân hoạch hỗn hợp trên hai vành
chãn, hoặc theo các phần tử liên hợp của các vành chẵn
Đánh giá so sánh phương pháp giải mã cho mã XCB trên hai
vành đa thức với phương pháp giải mã các mã XCB hiện
hành
Xây dựng các mã XCB trên đa phân hoạch ứng dụng trên các
kênh có liên hệ ngược
Nghiên cứu các mạch điện mã hóa cho các mã XCB nói
chung và mã XCB trên các phân hoạch hỗn hợp nói riêng
-]-
MỞ ĐẦU
Tính cấp thiết của đề tài
Trong một hệ thống thông tin số để tăng độ chính xác trong truyền tin và khả năng chống nhiễu người ta dùng mã sửa sai Với sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật thông tin như hiện nay thì việc nâng cao hiệu quả của hệ thống truyền tin là một yêu cầu luôn chứa đựng tính cấp thiết Lý thuyết mã sửa sai đã phát triển từ những năm 40 của thế
kỷ trước và nồi bất nhất phải kề đến lớp mã xyclic Mã xyclic cục bộ
(XCBE) cũng là một lớp mã sửa sai được nghiên cứu từ năm 19§7, tuy mới hình thành và phát triển nhưng mã XCB có nhiều ưu điểm đáng quan tâm Ngoài các đặc điểm tốt như mã xyclic truyền thống, mã XCB còn có nhiều ưu điểm rất nổi trội: Số lượng mã XCPB tìm được rất nhiều, có thể xây dựng được các bộ mã trên nhiều vành đa thức khác nhau, kể cả một số vành chăn, hoặc vành đa thức có hai lớp kê xyclic Về mặt kỹ thuật thì các bộ mã hóa và giải mã XCB có thê thực hiện được tương tự các mã xyclic truyền thống
Các nghiên cứu về mã XCB cho đến nay đều dựa vào phân hoạch của một vành đa thức theo một nhóm nhân duy nhất Các nghiên cứu này đã đưa ra được một số kiêu phân hoạch vành đa thức, cũng như các cách xây dựng mã XCB trên các phân hoạch đó Tuy nhiên, các
lớp mã XCB xây dựng theo một phân hoạch nhất định cũng còn một
số hạn chế đó là ít vành đa thức có được mã XCB tối ưu, đặc biệt là các vành chăn
Việc tiếp tục phát triển thêm các phương pháp xây dựng mã XCB đặc biệt là tìm kiếm các mã tối ưu trên mọi vành đa thức, hoàn thiện thêm kết quả về mã XCB là một vấn đề cần thiết Thực hiện tốt các nghiên cứu này sẽ cho phép xây dựng nhiều bộ mã sửa sai tối ưu với
sự đa dạng về độ dài từ mã và khả năng chống nhiễu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Luận án thuộc phạm vi lý thuyết
cơ sở, tập trung nghiên cứu các kiêu phân hoạch hỗn hợp mới trên vành đa thức và phương pháp xây dựng các mã XCB trên các phân hoạch này
Mục tiêu nghiên cứu của luận án:
— Tìm các điêu kiện và phương pháp thực hiện các phân hoạch hôn hợp mới trên một vành đa thức và hai vành đa thức
Trang 2-2-
— Đưa ra phương pháp xây dựng các mã XCB trên các phân
hoạch hỗn hợp
— Tim các lớp mã XCB tối ưu mới trên mọi vành đa thức
— Mô phỏng đánh giá khả năng sửa sai và phân bố trọng số các
từ mã của một số mã XCB mới tìm được
Phương pháp nghiên cứu: của đề tài là nghiên cứu lý thuyết dựa
vào các công cụ toán học, đặc biệt là đại số đa thức, lý thuyết mã hóa,
kết hợp với tổng hợp và phân tích các kết quả nghiên cứu đã có của
các tác giả khác có liên quan đến đề tài, cùng với sự hỗ trợ tính toán
của máy tính và các chương trình phần mềm mô phỏng
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài: Những kết quả trong luận
án này là một đóng góp nhỏ bé vào việc phát triển lý thuyết mã XCB
nói riêng và lý thuyết mã sửa sai nói chung Các kết quả chính của
luận án bao gồm:
— Đưa ra được điều kiện và các bước xây dựng mã XCB trên
phân hoạch hỗn hợp của một vành đa thức
— Điều kiện, các bước xây dựng mã XCB trên phân hoạch hỗn
hợp của hai vành đa thức khác nhau và phương pháp giải mã
cho các mã này
— Xây dựng được một số bộ mã XCB tối ưu và một lớp mã XCB
tối ưu có khả năng trực giao trên các kiêu phân hoạch hỗn hợp
Nội dung luận án này bao gồm: lời mở đầu, 3 chương và phần
kết luận
Chương 1:Tác giả tập trung vào khái quát quá trình phát triển của
mã sửa sai, trong đó đề cập nhiều đến mã xyclic Quan điểm xây
dựng mã xyclic cục bộ trên vành đa thức, các kết quả nghiên cứu vê
mã xyclic cục bộ, các hướng phát triển và các vẫn đề mở
Chương 2: Đưa ra một quan điểm mới trong phương pháp phân
hoạch vành đa thức, đó là sử dụng hai hạt nhân phân hoạch khác
nhau trong cùng một vành đa thức hoặc trên hai vành đa thức khác
nhau
Chương 3: Khảo sát một số bộ mã XCB bộ tôi ưu xây dựng trên
các phân hoạch hỗn hợp Cùng với đó là các kết quả về phân bố trọng
số của mã và mô phỏng về khả năng sửa sai của các bộ mã mới
Phan cudi cùng bao gồm các kết luận về kết quả đạt được của luận
án và các kiên nghị hướng phát triên tiêp theo
-23-
3.4 KÉT LUẬN CHƯƠNG
Chương này đã khảo sát một số bộ mã XCB tối ưu xây dựng trên các phân hoạch hỗn hợp của một và hai vành đa thức Các kết quả về phân bố trọng số của các mã XCB mới này đều cho thấy tính cân bằng của từ mã
Từ lớp mã XCB có khả năng trực giao ta có thể xây dựng mã XCB trên cả các vành chăn (băng cách kết hợp với một vành lẻ) Độ dài từ mã ø có thể không băng bội số của & như theo cách xây dựng
ma XCB thong thuong, vi du ma XCB (11,4), ma XCB (37,6) hay
ma XCB (135,8)
Các kết quả mô phỏng của một số mã trên kênh AWGN cho thay khả năng sửa sai của các mã này khá tốt, và phương pháp giải mã ngưỡng theo đa số các tổng kiểm tra cho kết quả tốt hơn phương
pháp giải mã ngưỡng trên đa số một biểu quyết
KẾT LUẬN
Các kết quả nghiên cứu chính của luận án bao gồm các nội dung
sau đây:
¢ Dé xuat cdc điều kiện cần và các bước tiễn hành phân hoạch
hỗn hợp sử dụng hai hạt nhân trên một vành đa thức Đồng
thời đưa ra phương pháp xây dựng mã XCB trên phân hoạch hỗn hợp này Số lượng mã XCB tối ưu mới tìm được cũng khá nhiều, ví dụ trên vành x" +] ta có thể xây dựng được vài trăm bộ mã có cùng thông số (20,5)
- = Để xuất điều kiện phân hoạch, phương pháp phân hoạch và
cách xây dựng mã XCB trên hai vành đa thức khác nhau Ưu
điểm lớn nhất của kiểu phân hoạch này là ta có thể sử dụng các cấp khác nhau của các nhóm nhân trên vành đa thức lớn (mà vành nhỏ không có) để xây dựng được nhiều các mã XCB tối ưu mới với độ dài từ mã rất phong phú Với kiêu phân hoạch nay ta có thể tìm được các mã trên các vành đa
Trang 3-22-
— Khoảng cách Hamming: đ =2””+]
— Số sai phát hiện được: e = 2”; Số sai sửa được: £= 2”
3.3.2 Mã xyclic cục bộ (11, 4)
Xét trường hợp =3, theo bảng 3.10 ta c6 ma XCB (11,4), va
được xây dựng theo các bước sau:
Bước 1l: Chọn a(x)=xex” +1 làm đa thức sinh thứ nhất Chọn
b(x)= xe x” +1 làm đa thức sinh thứ hai
Bước 2: - Tính nhóm nhân xyclic A trong vanh x’ +1:
CMG 4 = {đ (x) mod j(x),¡ = 0,1, ,6}
- Tính cấp số nhân B trong vanh x* +1:
CGP B ={q(x)b/ (x), j =0,1,2,3 =ƒ(01),(12),(23),(03)}
Trong đó, g(x)=1+x là phần tử đầu của CGP B
Bước 3: Ghép CMG A voi CGP Bduogc ma XCB (11,4) nhu
hình 3.17
a, | œ | a3 | aa | as | a6 by | bs | bg
J
CGPB(4bit) Ì
>»
CGP A (7 bit)
Hình 3.17 Cầu trúc từ mã của mã XCB (II, 4)
Theo kết quả phân bố Bảng 3.12 Phân bố trọng số của mã XCB (11,4)
trọng số của mã XCB Ww 10.5 161771819 ])10 711
thay đa sô các từ mã có
trọng sé khoảng một nửa
chiều dài mã (khoảng
12/16 ttr mA)
* Mot vai nhdn xét
+ Khoang cach Hamming d, =5
+ Theo giới hạn Grlesmer mã
XŒB (I1,4) này là một mã
tối ưu
_ Slgnal-to-nlse ratle (đB}
Hình 3.20 Tỷ lệ lỗi bit của mã XCB (11,4) trên kênh AWGN
-3-
CHƯƠNG1_
CÁC MÃ XYCLIC CỤC BỘ TRÊN VÀNH ĐA THỨC
1.1 GIỚI THIỆU Nội dung phân này đề cập đến lịch sử phát triển của các mã sửa
sai, dựa trên nền móng là các nghiên cứu của Shannon Khởi dau 1a các mã Hamming, mã Golay và một lớp mã quan trọng đó là mã
xyclic trong đó bao gồm các mã như mã BCH, các mã Reed-
Solomon các mã hình học Euclid
Phần tiếp theo đề cập đến các hướng nghiên cứu về lý thuyết mã
trong những năm gần đây như các mã TCM, mã Turbo, mã LDPC,
mã STBC Các quan điểm xây dựng mã như: Dựa trên các câu trúc đại số, lý thuyết dàn, hình học — đại số, lý thuyết tổ hợp, và graph Các phương pháp giải mã chính bao gồm:
+ Phương pháp giải mã ngưỡng của Messey
Phương pháp giải mã liên tiếp của Zigalgirov
Phương pháp giải mã Viterbi
Phương pháp giải mã hợp lý tối đa
Phương pháp giải mã lặp và giải mã có liên hệ ngược + Phương pháp giải mã đại số
1.2, MA XYCLIC TRUYEN THONG Muc nay dé cap dén cac van dé:
+ Vành đa thức và các phép toán trên vành đa thức
+_ Định nghĩa Ideal của vành đa thức, khái niệm về đa thức bất khả quy
+ Các định nghĩa về mã xyclic
+ Các ma trận sinh và ma trận kiêm tra của mã xyclic
1.3 NHOM NHAN XYCLIC TREN VANH DA THUC Nội dung mục này bao gồm:
+ Khái niệm về nhóm nhân xyclic trên vành đa thức
+ Cac loại nhóm nhân xyclIc:
— Nhóm nhân xyclic đơn vị
— Nhóm nhân với phần tử sinh a(x)
— Đa thức đối xứng và nhóm nhân đối xứng.
Trang 4-4-
1.4 PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC
Nội dung mục này bao gồm
— Khái niệm về phân hoạch vành đa thức
— Định nghĩa cấp số nhân xyclic trên vành đa thức
— Các kiểu phân hoạch vành đa thức theo các nghiên cứu cho
đến nay bao gồm:
+ Phan hoạch chuẩn
Phân hoạch cực đại
Phân hoạch cực tiêu
Phân hoạch thành các cấp số nhân có cùng trọng số
Phân hoạch vành thành các cấp số nhân với các phần
tử có cùng tính chăn lẻ của trọng số
+ Phan hoạch vành thành các cấp số nhân theo modulo
cua h(x)
1.5 MA XYCLIC CUC BO TREN VANH DA THUC
Phần này trình bày các nội dung:
— Các định nghĩa về mã xyclic cục bộ (XCB)
— Các cách biêu diễn mã XCB
— Các phương pháp xây dựng mã XCB
— Các lớp mã XCB (mã XCPB tự trực giao và mã XCB có khả
năng trực giao)
1.6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MÃ NGƯỠNG
Phần này trình bày phương pháp giải mã ngưỡng dựa trên các
hệ tổng kiểm tra trực giao, tập trung vào giải mã ngưỡng theo đa sô
1.7 QUAN HỆ GIỮA MÃ XYCLIC CỤC BỘ VÀ MÃ XYCLIC
TRUYEN THONG
Một ưu điểm của mã XCB đó là có thể xây dựng được mã trên
mọi vành đa thức (n bất kỳ), với các vành chăn ta có thể xây dựng
mã XCB trên các lớp các phần tử liên hợp Có những vành không thể
xây dựng được mã xyclic tốt ví dụ với các vành có hai lớp kề xyclic,
trong khi đó ta có thê tìm được nhiều mã XCB trên các vành này
Việc xây dựng mã XCB trên phân hoạch vành đa thức sẽ cho nhiều
bộ mã hơn và trên cơ sở đó cũng có nhiều bộ mã tốt hơn với các độ
đài từ mã khác nhau
Hình 1.5 mô tả các dạng phân hoạch khác nhau của vành đa thức
và các cách xây dựng mã dựa trên các phân hoạch này
+
+
+
+
-21-
4A ={x' modj(x),¡ = 1,2, ,2” —1} (3.4)
* Bước 2: Tìm một lớp kề trong vành đa thức Z„[x]/x””'+1, dé thuận tiên khi giải mã ta nên chọn Ö có cấu trúc như sau:
B={(1+x)x’, 7 =0,1,2, ,m} (3.5)
* Bước 3: Ghép 44 và ?Ö, ta sẽ có được mã XCB có khả năng trực giao Cau trúc từ mã như sau:
Vậy ta có thông số của lớp mã XCB này như sau:
(n,k,d,)=(2" +m,m+1,2”"" +1) (3.8) Tốc độ mã của lớp mã này được tính như trong biểu thức (3.9):
n 2” 4m Khi m tăng thì tốc độ mã giảm rất nhanh, đây chính lả nhược điểm lớn nhật của lớp mã này
Bảng 3.10 trình bày một sô mã XŒB có khả năng trực giao xây dựng
trên hai vành đa thức với một vài giá trị + khác nhau
Bảng 3.10 Lớp mã XCB có khả năng trực giao
m | Các mã XCB (n,k,d,) | m Các mã XCB (n,k,d)) 3_ | dl, 4, 5) 8 | (264, 9, 129)
4 | 20,5, 9) 9 | (521, 10, 257) 5_| (37, 6, 17) 10 | (1034, 11, 513)
6 | (70, 7, 33) 11 | 2059, 12, 1025) 7_ | (135, 8, 65)
Miột vài nhận xéi:
— Lớp mã XCB có khả năng trực giao này là lớp mã tối ưu
— Khi lập mã không nhất thiết phải chọn cấp của các nhóm nhân sinh là # hoặc bội số của #, điều nảy cho phép ta có
thể tạo các bộ mã (n,k) voi chiéu dai n khac
— _ Khi m tăng thì tốc độ mã sẽ giảm rất nhanh, cho nên lớp mã nay chi tốt khi giá trị ø nhỏ.
Trang 5-20-
* Bước 2: Tính CGP 8 trong vảnh x”+l với phan tir sinh la
b(x)=x và phần tử đầu là g(x)= x+]
CGP 8={(I+x)x/,/ =0,1 5} = {(00,(12),(23),(4),(45),(05)}
* Bước 3: Ghép A
* Một vài đánh giá: _ CMG4 (1 bi) Ì CGPB(6bi0 -
+ 36 bít trong 37 bít Hình 3.12 Cấu trúc từ mã XCB (37,6)
của một từ mã được
sử dụng để giải mã cho các cặp dâu thông tin
Khoảng cách Hamming đ¿ =17, sửa được § lỗi
Mức ngưỡng giải mã là: ⁄ =9
Nhịp giải mã của các thanh ghi 44 và B băng nhau và băng 1
Theo giới hạn Griesmer mã này là một mã tối ưu
Theo phân bồ trọng số của mã XCB (37,6) cho thấy mã này cũng
có tính chất cân bằng của bít “0” và bít “l1” trong các từ mã
3.3 LỚP MÃ XYCLIC CỤC BỘ CÓ KHẢ NĂNG TRỰC GIAO XÂY
DUNG TREN HAI VANH DA THUC
3.3.1 Cau tric cia lép mã có khả năng trực giao
_Từ phương pháp phân hoạch hỗn hợp trên hai vành đa thức, ta có
thê xây dựng được một lớp mã XCB có khả năng trực g1ao
* Bước lI: Xét vành đa thức Z2[x]/x7 +] Trên vành đa thức
này ta tính một nhóm nhân 44 dựa trên đa thức sinh nên chọn là x,
trong đó ørđ(x)=2”—1, và W/(x) =1 là một số lẻ Tất cả các phần
tu trong A duoc tinh theo modulo cua A(x), dang cua A(x) nhu
trong biéu thức (3.3)
Trong đó, g(x)la mdét da thic nguyén thuy céddegg(x)=m va
ø(z) là ước của x? 1+1,
Theo biéu thirc (3.3) ta thay rang degh(x)=m+1, do do tat ca
m+1
các phân tử trong 4 đều là phần tử lẻ và thuộc vành Z„[x]/x””' +1
Câu trúc của 44 như trong (3.4)
Các phân hoạch của vành đa thức
mẻ | nihyý | nhắn
|
s
Vanh các lớp Vành các cấp số nhân xyelic Vanh các lớp các
Phân hoạch cực Phân hoạch Phân hoạch cực đại tiêu a(x) =1 chuan a(x) =x orda(x) = max
Hình I.5 Các phân hoạch của vành đa thức và các lớp mã tuyến tính
Có thê hình dung mã xyclic như một chuỗi hạt có tốc độ xử lý khác nhau như trong hình 1.6 Ma xyclic truyén thong có nhịp dịch của từ mã là
x (hình 1.6.a), mã xylic xây dựng từ mã XCB có nhịp dịch khác x (hình 1.6.b), còn mã XCB chứa các từ mã khác nhau, môi từ mã có thê có nhịp dịch khác nhau (hinh 1.6.c)
† Nhịp a(x) =x Ì Nhịp a(x)
bu
truyền thống từ mã xyclic cục bộ
Hình I.6 So sánh các mã xyclic và mã xyclic cục bộ
Trang 6-6-
Có thé thay rằng các mã xyclic truyền thông xây dựng trên các
Ideal là một trường hợp đặc biệt của mã XCB Có thê xem xét như
sau:
Xét nhóm nhân xyclic: 7 ={x' mod#(x),¡=0,1,2, }
vol A(x)|x" +1; degh(x)=k
Nhom nhan nay 1a mét ma xyclic (7,k) c6 da thite sinh g*(x):
g(x) = = = va g (x)= x88 (x) la da thire doi ngau
Xx
của 2(x)
Nhận xét:
+ Voi mã xyclic truyền thông, ma trận sinh Œ của mã được xây
dựng từ phương trình đông dư sau:
+ Voi ma xyclic xay dung tu ma XCB, ma tran sinh G cla ma
được xây dựng từ phương trình đông dư sau:
Chi y: (1.20) la phương trình tạo các hang cua G
(1.21) là phương trình tạo các cột của Ớ
1.8 MOT SO KET QUA DAT BUQC CUA MA XYCLIC CUC BO VA
HUONG NGHIEN CUU MO
1.8.1 Một số kết quả đạt được
- _ Xây dựng được các dạng phân hoạch khác nhau và các kiểu
phân hoạch khác nhau của vành đa thức làm cơ sở để xây
dựng các mã XŒB [20], [35]
- — Tìm tiêu chí lựa chọn các lớp kể trong phân hoạch vành đa
thức để xây dựng các mã XCB
- Chứng minh các mã xyclic truyền thống là một lớp con trong các
ma XCB [17]
- Xay dung mot sỐ lớp mã XCPB tự trực giao và mã XCB có khả
năng trực giao [13] [14]
- _ Xây dựng được một số mã XCB đối xứng và tự đối xứng trên
các lớp kê (các cấp số nhân) đối xứng và tự đối xứng [35]
-]9-
Để giải mã ta có thê sử dụng Thanh ghỉ 4 Thanh ghi B
phương pháp giải mã ngưỡng cho
nó là mã XCB trực giao, nên ta e
có thê sử dụng phương pháp giải a
mã ngưỡng thông thường để giải Non đấu thông tin
Hình 3.11 Sơ đồ giải mã ngưỡng
+ Khoảng cách
Hamming á, = 3, phát hiện được 2 sai và sửa được 1 sai
+ Cấp ngưỡng giải mã là: Ä# =2
+ Nhịp giải mã cho cả hai thanh ghi băng nhau và bằng 1 + Theo giới hạn Griesmer mã này cũng là một mã tối ưu
3.2.2 Trường hợp hai vành đa thức khác nhau
Xét hai vành đa thức xÌ' +1 và xz “+1 (p=31,k =6) Phân tích
của vành x°!+1 như sau:
#%(x)=l+x+x +x`+x;
Ta thấy trong vành này có 6 đa thức bất khả quy cấp 5 và một đa thức câp l1, do đó ta có thê có 6 đa thức A(x) cd degh(x)=6 bang cách lây tích của ƒ/(x)=1l+x với các đa thức còn lại
Trên cơ sở đó ta có thê xây dựng mã XCB (37,6) như sau:
* Bước 1: Chon a(x)=xvà h(x)=(I+x+x`+x°+x ++x”) để
thực hiện phân hoạch thứ nhất:
CMG 4= ƒx' mod#(x),¡ = 0,1,2, 301
Trang 7-18-
có cầu trúc từ mã như hình 3.5
Khi giải mã cho các cặp dấu thông tin, thanh ghi CMG A sé dich
5] nhịp (hoặc dịch 12 nhịp theo chiều ngược lại), còn thanh ghi chứa
dau CGP B sẽ dịch 1 nhịp Sau 6 bước ta sẽ giải mã được các cặp
dâu thông tin va được lưu vảo thanh ghi C'
Ở cấp ngưỡng thứ hai, ta thực hiện giải mã cho dấu (0), sau đó kết
hợp với các cặp dấu trong C để giải mã các dâu thông tin còn lại
Thanh ghi A Thanh ghi C [#lE [tsƑ |#sE |ae| [opla»[e»[s9[a5|ss]
Tốc độ dịch bằng 12 lần tốc
độ dịch của thanh ghi B Dịch một nhịp
Thanh ghi A Thanh ghi B 4
Ñ
4 _SSTRT _ | TKTs
+ 33TKT | TKT = 8 Thiết bị :®©
Các bít thông <— Í(ø [0 | @) | @ [e0 |6 [@
Hình 3.6 Sơ đồ giải mã
ngưỡng cầp Í mã XCB (70,7)
Khoảng cách Hamming của
mã XŒB này là đj =33, và mã
này cũng là tối ưu
Mô phỏng mã XCB (70,7)
trên kênh AWGN và sử dụng
điều chế BPSK, kết quả như
hình 3.8 Xét hai trường hợp
giải mã M⁄ =l7 M=18
3.2.1.2 Mã xyclic cục bộ (6,3)
$lgnal-te-nelse ratle (4B)
Xét trường hợp &=3 và Hình 3.8 Tỷ lệ lỗi bit của mã
` a, -k L5 , XCB (70,7) trén kénh AWGN
m=2 là một sô chăn, ta có
p=mk=6
Hoàn toàn tương tự ta cũng có thê xây dựng được mã XCB (6.3)
trên hai vành này, và mã này là một mã hệ thông
-7-
Xây dựng được một số mã XCB và mã xyclic trên các phần
tử liên hợp của luỹ đăng nuốt và trên các phần tử liên hợp
của zero [30],[34]
Xây dựng mã XCB trên phân hoạch vành chăn theo lớp các
phân tử liên hợp [36]
Xây dựng các mã XCB trên vành đa thức có hai lớp kề xyclie
I3], [23] [24], [39]
Xây dựng được hệ mật đa biêu và trường hợp riêng của nó là
hệ mật luân hoàn trên một số loại vành đặc biệt [28], [29] +_ Vành đa thức có =2”
+ Vành đa thức có 2 lớp kể xyclic
Ứng dụng các mã XCB trong viéc xay dung hé mat McEliece Ung dụng các mã XCB trong viéc tao M-day [1]
Ứng dụng các mã XCB trong việc tìm kiếm cell của hệ thống WCDMA [27]
Ung dung cac ma XCB trong viéc giam PAPR trong cac hé
thong OFDM
Ứng dụng công nghệ CPLD/FPGA xây dựng mã XCB trên
vành đa thức Z2; [2]
1.8.2 Một số hướng nghiên cứu mở Tạo tính đa dạng của việc xây dựng các mã XCB băng cách tìm các dạng phân hoạch khác ngoải các dạng đã biết
Xây dựng các mã XCB trên nhiều kiêu phân hoạch (các mã XCB hén hop)
Xây dựng các tiêu chí chọn các lớp kề dé tạo các mã tốt và
giảm thời gian tìm kiếm
Khảo sát kỹ cấu trúc các nhóm nhân xyclic vả các cấp số nhân xyclic trong vành Tìm tiêu chuẩn nhận biết cho các đa
thức có cấp cực đại trong vành
Nghiên cứu các mã ghép xây dựng từ các mã XCB
Nghiên cứu các mã turbo xây dựng từ các mã XCB
Xây dựng ma trận kiểm tra của các mã XCB
Nghiên cứu các mã XCB trên miễn tần số
Nghiên cứu phổ trọng số của các mã XCB
Nghiên cứu các mã XCPB trên trường mở rộng GF (2”) Nghiên cứu các mã đối ngẫu của các mã XCB.
Trang 8-8-
- Nghiên cứu các phương pháp giải mã: giải mã ngưỡng và các
phương pháp giải mã khác
- Nghiên cứu các mã XCB theo quan điểm lý thuyết hệ thống
1.9 KÉT LUẬN CHƯƠNG
Chương này để cập đến một số khái niệm cơ bản về mã sửa sa,
trong đó có lớp mã quan trọng là mã xyclic Các khái niệm về nhóm
nhân, cấp số nhân trên vành đa thức vả phương pháp xây dựng mã
XCB trén phân hoạch vành đa thức cũng được trình bày trong
chương này
Phân tiếp theo là các đánh giá về khả năng tạo mã vả một số so sánh
giữa mã XCB với mã xyclic truyền thống Cuối cùng là tổng hợp một số
kết quả nghiên cứu về mã XCB và các hướng nghiên cứu mở
c CHƯƠNG2
CAC PHAN HOACH HON HOP VÀNH ĐA THỨC
2.1 MOT VAI NHAN XET VE CAC KIEU PHAN HOACH HIEN TAI
— Khi phan hoach mot vanh da thire thi mỗi một hạt nhân phân
hoạch sẽ cho một kiểu phân hoạch khác nhau, tuy nhiên các
kiêu phân hoạch vành đa thức đều chia các phần tử của một
vành thành hai phần băng nhau là các phân tử có trọng số
chan va cac phan tử có trọng số lẻ
— _ Các kiểu phân hoạch vành đa thức cho đến nay đều sử dụng
một hạt nhân phân hoạch chính là một đa thức sinh a(x) nao
đó thuộc vành Các phần tử của vành sẽ được chia thành các
lớp kề có độ dai bang ordz(x)hoặc ước của ordz(x) Cho
nên thông số chính liên quan đến việc phân hoạch vành đa
thức đó chính là orda(x)
— _ Để có các mã XCB (ø,k) thuận tiện cho việc mã hóa và giải
mã, thì các đa thức sinh thông thường các cấp là & hoặc bội
số của k
Theo cách xây dựng mã XCB dựa trên các phân hoạch hiện nay
cũng có hạn chế như sau:
— _ Không phải vành đa thức cũng xây dựng được mã XCB tối
ưu, đặc biệt là các vành chăn Za|x]/x”+1 với n=2m
-|7-
* Kết quả mô phỏng
Thực hiện mô phỏng mã XCB
quyết (Ä⁄ =6), nhận thấy rang voi e ratio (a) truong hop M =5 thi b6 ma cho két Hình 3.3 Tỷ lệ lỗi bit của mã quả sửa sai tôt hơn XCB (20,5) trên kênh AWGN Phân bồ trọng số của mã XCB (20,5) như trong bảng 3.2
Bảng 3.2 Phân bố trọng số các từ mã của mã XCB (20, 5)
ý |0 |9 |10111112|15
i 1} 10} 10} 5 |] 5 1
¡ là tông số các từ mã có trọng số W7
3.2 MA XYCLIC CUC BO TREN HAI VANH DA THUC
3.2.1 Trường hợp có một vành con
Xét hai vành đa thức x” +1 và xÝ +1 với x” +1 là vành con của
xP +1 Ta sẽ khảo sát một số mã XCB xây dựng theo phương pháp phân hoạch này như đã trình bày trong mục 2.3.2
3.2.1.1 Mã xyclic cục bộ (70,7)
Xét trường hợp &=7 và m=3 là một sô lẻ, ta có ø= m&k =2] Chọn a(x)=l+x?+x” và h(x)=l+xÌ+x°+x`+x“+x” thuộc vành x?!+I để thực hiện phân hoạch thứ nhất
CMG A= {a’ (x)mod A(x), i= 1.63)
Chọn b(x) =x ex’ +1 lam hạt nhân phân hoạch thứ hai
CMG B = ta() b/(x),j=0, 0,6} = {(01), (12), (23), (34), (45), (56), (06)
Ghép Ava B ta sé duge ma XCB (70,7) `
a
TT đ | 1 by |b; | by | bs| Bg | br
a
Vv a CMG 4A (63 bit) CGP B (7 bit)
>
Hình 3.5 Cấu trúc mã XCB (70,7)
xây dựng từ hai vành đa thức
Trang 9-16-
CGP, = B= {b(x),b().q, (8), (0) G2 (2), G3 (a)
Trong đó: a(x)=1 ; g(x) =l+x° +x"; b(x)=1l4+x; q;(x)=x
+ Bước 3: Két hop hai CGP A va B ta có thể tạo được mã XCB
(20,5) có câu trúc từ mã như hình 3 ]
la 414] 4131412] 411] G10] 49 | Gg | 7 | a6 | a5 | đa | đa | đ2 aif bu by | b3 | ba} bs
Hình 3.1 Cấu trúc từ mã của mã XCB (20,5)
B bs] by] bs | be] by
tia 2| ân ag} ag} a7] ag | as | ag | a3 | ap | ay
C (01)| (12)| (23) 34) | 04 Hình 3.2 Sơ đồ giải mã ngưỡng cho mã XCB (20, 5, 9)
trên một vành đa thức
* Đánh giá
+ Tổng cộng có 19 dẫu mã trong 20 dau ma được ding dé
giải mã cho cặp dấu thông tin
Khoang cach Hamming d) =9
Mã này phát hiện được 8 bit sai va stra duoc 4 bit sat
Cấp ngưỡng giải mã là: Ä⁄ =5
Tốc độ nhịp của thanh ghi 4 sẽ nhanh gấp 3 lần tốc độ
nhịp của thanh ghi Ö
Theo giới hạn Griesmer mã này là mã tối ưu
-0-
— Độ dài từ mã chỉ có thể nhận một vài giá trị cụ thể (ø là bội
số của & )
Để tăng khả năng tạo mã và tìm thêm các mã tối ưu mới, tác giả
đã nghiên cứu một hướng mở đó là tìm các kiêu phân hoạch mới -
phân hoạch hỗn hợp Các kiêu phân hoạch hỗn hợp mới này được thực hiện theo nhiều nhóm nhân sinh trên một vành đa thức hoặc hai
vành đa thức
2.2 PHAN HOACH HON HOP TREN MOT VANH DA THUC Như đã biết các phân hoạch vành đa thức hiện nay đều sử dụng một đa thức sinh cho tất cả các phần tử của vành, và với các phân
hoạch không suy biến thì các phần tử của vành được chia làm hai phần băng nhau, các phần tứ có trọng số chăn và trọng số lẻ Từ nhận xét này ta thấy răng nếu ta sử dụng hai hạt nhân để phân hoạch, một hạt nhân dùng để phân hoạch các phân tử lẻ của vành và hạt nhân còn lại dùng để phân hoạch các phần tử chăn của vành và kết hợp hai phân hoạch này lại với nhau ta được một kiểu phân hoạch mới và là phân hoạch hỗn hợp Dựa vào phân hoạch mới này ta có thê xây dựng các mã XCB mới có độ dài khác với các mã XCB hiện đã tìm được
Xét vành đa thức Z;[x]/x”+l, giả sử / và D, 1a hai phân hoạch không suy biến của vành tương ứng với hai hạt nhân phân hoạch là g,(x) và ø;(x) Khi ta kết hợp toàn bộ các phần tử lẻ của
D, với toàn bộ các phân tử chăn của , (hoặc ngược lại) ta được kiểu phân hoạch hỗn hợp mới
C”mú ý: Để thuận lợi cho việc giải mã thì ord(g(x)) và ord(z;(x)) nên là bội của nhau Với vành Z;[x]/x” +1, ta chọn ord(g(x))=w (hoặc ord(g;(x)=”) lúc đó ord(z;(x)) (hoặc
ord(g,(x)) sé bdi cua ø
Có thể khái quát các bước thực hiện phân hoạch hỗn hợp theo hai nhóm nhân trên vành đa thức Z;[x]/x” +1 như sau:
= Buée 1: Xác định maxord(a(x)) của phần tử trong vành, tính số
các ước số của maxord(z(z)), sô ước số này cũng chính là M (số kiều phân hoạch không suy biến của vành).
Trang 10-10-
" Bước 2: Phân hoạch vành theo hai hạt nhân trong đó phải có ít
nhất một hạt nhân có trọng số lẻ Chọn một hạt nhân phân hoạch
q(x) sao cho ord(g,(x))=n, mot hat nhan phân hoạch thứ hai
q;(x) với ord(g,(x)) 1a bdi cua n Mot hat nhan co trong sé 1é
được dùng để phân hoạch các phân tử có trọng số lẻ của vành,
hạt nhân còn lại được dùng dé phan hoach cac phan tử có trọng
số chăn của vành
= Bước 3: Kết hợp các cấp số nhân của hai phân hoạch ở bước 2
với nhau để được một phân hoạch mới Căn cứ vào phân hoạch
mới này ta có thể xây dựng được các mã XCB mới
Một vài nhận xét
- Do sử dụng một hạt nhân cho các phần tử lẻ và một hạt nhân cho
các phần tử chăn của vành, mà các hạt nhân này đều cho phân
hoạch không suy biến, do đó phương pháp phân hoạch hỗn hợp
này cũng là một phân hoạch không suy biến
- Do sử dụng hai nhóm nhân khác nhau cho phân hoạch, mỗi
nhóm nhân lại có cấp khác nhau và như thế khi giải mã nhịp giải
mã cho mỗi cấp số nhân sẽ khác nhau Thông thường
ord(z;(x)) băng bội của ø cho nên khi giải mã, thanh ghi chứa
cấp số nhân Ð, sẽ dịch với nhịp nhanh hơn
- _ Các mã XCB xây dựng trên phân hoạch hỗn hợp này vẫn có tính
xyclic trong các dấu mã, do đó việc giải mã vẫn tương tự như
với các mã XCB hiện nay và thường sử dụng phương pháp giải
mã ngưỡng theo thủ tục 1
- Lớp mã xây dựng trên phân hoạch hỗn hợp kiểu này là mã
XCBCKNTG do vậy phải sử dụng hai cấp ngưỡng giải mã
Với phương pháp phân hoạch này, ta nên chọn các vành lẻ để dễ
thực hiện
2.3 PHAN HOACH HON HOP CUA HAI VANH DA THUC KHÁC NHAU
Trong cac kiéu phan hoach hién nay, thi kiéu phan hoach vành đa
thức Z;[x]/x” +1 theo modulo của đa thức A(x) 1a kiéu phan hoach
suy biến Nếu sử dụng kiểu phân hoạch này thì sau khi phân hoạch
các phần tử sẽ thuộc vành nhỏ hơn, cụ thê là các phần tử sẽ thuộc
vành x* +1 voi k=degh(x)< p
-15-
2.4 KET LUAN CHUONG
Chương 2 của luận án đã đưa ra một số kiêu phân hoạch hỗn hợp
mới Kiểu phân hoạch hỗn hợp trên một vành đa thức là kiểu phân hoạch không suy biến, do sử dụng một hạt nhân phân hoạch cho toàn
bộ các phần tử có trọng số lẻ và một hạt nhân phân hoạch cho các phần
tử có trọng số chăn của vành Các mã XCB xây dựng trên phân hoạch hỗn hợp này van đảm bảo tính xyclic trong các dấu mã, nên vẫn có thê dùng phương pháp giải mã ngưỡng thông thường đề giải mã
Kiểu phân hoạch hỗn hợp trên hai vành đa thức được thực hiện theo kiêu lấy modulo của đa thức #(x) , do đó các mã XCB xây dựng
trên phân hoạch hỗn hợp này không có tính xyclic trên các dấu mã
Tuy nhiên, ta có thể sử dụng mot phan tinh xyclic va phương pháp
giải mã ngưỡng với một vài thay đồi
CAC MA XYCLIC CUC BQ XAY DUNG TREN CAC PHAN
HOACH HON HOP CUA VANH DA THUC
3.1 MÃ XYCLIC CUC BO TREN PHAN HOACH HON HOP CUA
MOT VANH DATHUC - Phân này xây dựng một bộ mã mới trên phân hoạch hôn hợp của
một vành đa thức
Xét vành đa thức Z„,[x]/x” +1 Phân tích của vành này như sau:
etl=(l¢ xe xtx? tx 4x*)= f(x) f(x) (3.1) Đây là vành có hai lớp kể xyclic nên ta không xây dựng được các
mã xyclic truyền thống tốt trên vành này Với phương pháp xây dựng
mã XCB thì các nghiên cứu cho đến này đã tìm ra được nhiều mã
XCB tốt trên vành này, như các mã XCB (15,5) Thực hiện các bước phân hoạch trong mục 2.2, ta có thể xây dựng được mã XCB (20,5) theo các bước sau đây:
+: Bước 1: Cấp cực đại của các phần tử trong vành x`+l được xác định theo định lý 1.3: maxord(z(x))=2”* —1=2”—1=15 + Bước 2: Phân hoạch vành này thành các CGP theo 2 hat nhan khác nhau:
CGR, = A={a(1).a(x)4(x),a(94 (3), a(x)4*09}
