Hóa học Chuyên đề Phương pháp luyện tập thể tích khối đa diện38537

Tính th tích hình chóp.. 2Tính th tích hình chóp.. Tính th tích hình chóp... 1 Tính th tích hình chóp SABCD... Tính th tích hình chóp.. Tính th tích hình chóp SABC.. Tính th tích hình ch

h

a b c

a a a

B h

TH TệCH KH I A DI N

ƠNăT Pă3 KI N TH C C B N HÌNH H C L P 12

I/ Các cơng th c th tích c a kh i đa di n:

V= B.h v i B : diện tích đáy

h : chiều cao







a) Tể ătícểăỆể iăể păcể ănể t:

V = a.b.c v i a,b,c là ba kích th c

b) Tể ătícểăỆể iăệ păpể nỂ:

V = a3 v i a là đ dài c nh

2 TH ăTÍCHăKH IăCHĨP:

V=1

3 Bh

v i B : diện tích đáyh : chiều cao



3 T ăS ăTH ăTÍCHăT ăDI N:

Cho kh i t di n SABC và A’, B’, C’ là các

đi m tùy ý l n l t thu c SA, SB, SC ta cĩ:

SABC

SA ' B' C'

C'

B' A'

C B

A

S

4 TH ăTÍCHăKH IăCHĨPăC T:

V hB B' BB'

3

v i B, B' : diện tích hai đáyh : chiều cao

B A

C

C'

3a

C' B'

A'

C

B A

Víăd ă1:ă áy c a l ng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân t i A

có c nh BC = a 2 và bi t A'B = 3a Tính th tích kh i l ng tr

a 2

L i gi i:

Ta có ABC vuông cân t i A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là l ng tr đ ng AA' AB 

AA'BAA' A'B AB 8a AA' 2a 2

V y V = B.h = SABC AA' = a 2 3

Víăd ă2:ă Cho l ng tr t giác đ u ABCD.A’B’C’D' có c nh bên b ng 4a và đ ng

chéo 5a Tính th tích kh i l ng tr này

5a 4a

B' A'

B A

L i gi i:

ABCD A'B'C'D' là l ng tr đ ng nên

BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 BD 3a

ABCD là hình vuông AB 3a

2

Suy ra B = SABCD =

2

9a 4

V y V = B.h = SABCD.AA' = 9a3

Víăd ă3:ă áy c a l ng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đ u c nh

a = 4 và bi t di n tích tam giác A’BC b ng 8 Tính th tích kh i l ng tr

B'

A

B

C I

L i gi i:

G i I là trung đi m BC Ta có ABC đ u nên

AB 3

3 &

2

A 'I BC(dl3 )



A'BC A'BC

2S 1

AA'(ABC)AA'AI

A'AIAA' A'I AI  2

V y : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= 8 3

Víăd ă4:ăM t t m bìa hình vuông có c nh 44 cm, ng i ta c t b đi m i góc

t m bìa m t hình vuông c nh 12 cm r i g p l i thành m t cái h p ch nh t

A' D

B'

C'

A'

C D'

C'

B' B

D'

A

60

B' A'

B A

o 60

C'

B' A'

C

B A

không có n p Tính th tích cái h p này

D'

A'

C'

B' D

A

C

B

Gi i

Theo đ bài, ta có

AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có

AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm

và chi u cao h p h = 12 cm

V y th tích h p là

V = SABCD.h = 4800cm3

Víăd ă5:ă Cho hình h p đ ng có đáy là hình thoi c nh a và có góc nh n b ng

600 ng chéo l n c a đáy b ng đ ng chéo nh c a l ng tr

Tính th tích hình h p

L i gi i:

Ta có tam giác ABD đ u nên : BD = a

và SABCD = 2SABD =

2

2

Theo đ bài BD' = AC = a 32 a 3

2 

DD'BDD' BD' BD a 2

V y V = SABCD.DD' =

3

a 6 2

Víăd ă1: Cho l ng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác

vuông cân t i B v i BA = BC = a ,bi t A'B h p v i đáy ABC m t góc 600

Tính th tích l ng tr

L i gi i:

Ta có A'A(ABC)A'AAB&ABlà

hình chi u c a A'B trên đáy ABC

V y góc[A'B,(ABC)] ABA' 60  o

0

ABA'AA' AB.tan 60 a 3

SABC =

2

BA.BC

V y V = SABC.AA' =

3

a 3 2

Víăd ă2: Cho l ng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác

vuông t i A v i AC = a , ACB= 60 o bi t BC' h p v i (AA'C'C) m t góc 300

Tính AC' và th tích l ng tr

a o 60

o 30

C'

B'

A'

C

B A

L i gi i: ABC  AB AC.tan60  o a 3

Ta có:

AB AC;AB AA'  AB (AA'C'C)

nên AC' là hình chi u c a BC' trên (AA'C'C)

V y góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o

o

AB

tan30

V =B.h = SABC.AA'

AA'C'AA' AC' A'C' 2a 2 ABC là n a tam giác đ u nên SABC a 32

2



V y V = a 6 3

Víăd ă3: Cho l ng tr đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông c nh a

và đ ng chéo BD' c a l ng tr h p v i đáy ABCD m t góc 300

Tính th tích và t ng diên tích c a các m t bên c a l ng tr

o 30

a

D'

C' A' B'

D

A

Gi i:

Ta có ABCD A'B'C'D' là l ng tr đ ng nên ta

có: DD'(ABCD)DD'BD và BD là hình

chi u c a BD' trên ABCD

V y góc [BD';(ABCD)] = DBD' 30 0

BDD' DD' BD.tan 30

3

V y V = SABCD.DD' =

3

a 6

3 S = 4SADD'A' =

2

4a 6 3

Víăd ă4: Cho hình h p đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi c nh

a và BAD = 60obi t AB' h p v i đáy (ABCD) m t góc 30o

Tính th tích c a hình h p

a

o

30

o 60

D'

C' B'

A'

D

C B

A

Gi i

ABDđ u c nh a SABD a 32

4

2 ABCD ABD a 3

2

ABB'vuông t iBBB' ABtan30 o a 3

V y V B.h SABCD.BB' 3a3

2

Víăd ă1: Cho l ng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác

vuông cân t i B v i BA = BC = a ,bi t (A'BC) h p v i đáy (ABC) m t góc

600.Tính th tích l ng tr

B' A'

C

B

A

o 60

L i gi i:

Ta có A'A(ABC)&BCABBCA'B

V y góc[(A'BC),(ABC)] ABA' 60  o

0

ABA'AA' AB.tan 60 a 3

SABC =

2

BA.BC

V y V = SABC.AA' =

3

a 3 2

Víăd ă2:ă áy c a l ng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đ u M t

(A’BC) t o v i đáy m t góc 300và di n tích tam giác A’BC b ng 8

Tính th tích kh i l ng tr

x

o 30

I

C'

B' A'

C

B A

Gi i: ABC đ u AIBC mà AA'(ABC) nên A'IBC(đl 3)

V y góc[(A'BC);)ABC)] =A'IA = 30o

2

3 2

x

x

x x

AI AI

I A AI

3

3 2 3

2 30 cos : '

:



A’A = AI.tan 300

= x  x

3

3 3

V y VABC.A’B’C’= CI.AI.A’A = x3 3

Mà SA’BC= BI.A’I = x.2x = 8  x2

Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3

Víăd ă3: Cho l ng tr t giác đ u ABCD A'B'C'D' có c nh đáy a và m t ph ng

(BDC') h p v i đáy (ABCD) m t góc 60o.Tính th tích kh i h p ch nh t

a

0 60

O

A' D'

B' C'

C

A D

B

G i O là tâm c a ABCD Ta có

ABCD là hình vuông nên OCBD

CC'(ABCD) nên OC'BD (đl 3) V y

góc[(BDC');(ABCD)] = COC' = 60o

Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD là hình vuông nên SABCD = a2

OCC' vuông nên CC' = OC.tan60o

=a 6 2

V y V = a 632

Víăd ă4: Cho hình h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; m t ph ng

(A'BC) h p v i đáy (ABCD) m t góc 60ovà A'C h p v i đáy (ABCD) m t

góc 30o.Tính th tích kh i h p ch nh t

o 30

o

60

D' C'

B'

A'

D C

B

A

Ta có AA' (ABCD)AC là hình chi u

c a A'C trên (ABCD)

V y góc[A'C,(ABCD)] = A'CA 30 o

BC AB BC A'B (đl 3)

V y góc[(A'BC),(ABCD)] = A'BA60o

A'ACAC = AA'.cot30o

= 2a 3 A'ABAB = AA'.cot60o

= 2a 3 3

3

V y V = AB.BC.AA' = 16a3 2

3

4) D ng 4: Kể i ệ nỂ tr xiên

Víăd ă1: Cho l ng tr xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác

đ u c nh a , bi t c nh bên là a 3 và h p v i đáy ABC m t góc 60o

Tính th tích l ng tr

H

o 60 a

B'

A'

C'

C B

A

L i gi i:

Ta có C'H(ABC)CH là hình chi u

c a CC' trên (ABC)

V y góc[CC',(ABC)] C'CH 60  o

CHC' C'H CC'.sin 60

2

SABC =

2

3

a 4

 V y V = SABC.C'H =

3

3a 3 8

Víăd ă2: Cho l ng tr xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác

đ u c nh a Hình chi u c a A' xu ng (ABC) là tâm O đ ng tròn ngo i ti p

tam giác ABC bi t AA' h p v i đáy ABC m t góc 60

1) Ch ng minh r ng BB'C'C là hình ch nh t

2) Tính th tích l ng tr

H O

o

60

C'

A

a

B' A'

C

B

L i gi i:

1) Ta có A'O(ABC)OA là hình

chi u c a AA' trên (ABC)

V y góc[AA',(ABC)] OAA' 60  o

Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì m t bên c a l ng tr )

AOBC t i trung đi m H c a BC nên

BCA'H(đl 3 )

BC (AA'H) BC AA'

nên BC  BB' V y BB'CC' là hình ch nh t

2) ABC đ u nên AO 2AH 2 a 3 a 3

o AOA'A'O AO t an60  a

V y V = SABC.A'O =

3

a 3 4

AB = 3AD = 7 Hai m t bên (ABB’A’) và (ADD’A’) l n l t t o v i đáy

nh ng góc 450

và 600 .Tính th tích kh i h p n u bi t c nh bên b ng 1

H N

M

D'

C'

B' A'

D

C

B A

L i gi i:

K A’H  ( ABCD ),HM AB, HN AD

AD N

A AB M

A'MH 45 ,A'NH 60

t A’H = x Khi đó A’N = x : sin 600

=

3 2x

AN = AA AN   x  HM

3

4 3 '

'

2 2

2

Mà HM = x.cot 450 = x

Ngh a là x =

7

3 3

4

3 x2  x

V y VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 3 7. 3 3

7 

LO Iă2: TH TệCH KH I CHÓP

Víăd ă1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai m t (ABC)

và (ASC) cùng vuông góc v i (SBC) Tính th tích hình chóp

_

\

/ /

a

B

S C

Ta có (ABC) (SBC)

(ASC) (SBC)









 AC(SBC)

Do đó V 1SSBC.AC 1 a2 3a a3 3

Víăd ă2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i B v i

AC = a bi t SA vuông góc v i đáy ABC và SB h p v i đáy m t góc 60o

1) Ch ng minh các m t bên là tam giác vuông

2)Tính th tích hình chóp

a

o 60

S

C

B A

L i gi i:

1) SA(ABC)SA AB &SA AC 

mà BCABBC SB ( đl 3 )

V y các m t bên chóp là tam giác vuông

2) Ta có SA(ABC)AB là hình chi u

c a SB trên (ABC)

V y góc[SB,(ABC)] = SAB 60 o

ABCvuông cân nên BA = BC = a

2

SABC =

2

1BA.BC a

o a 6

2

V y V 1SABC.SA 1 a a 6 a 62 3

  

Víăd ă3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a bi t SA

vuông góc v i đáy ABC và (SBC) h p v i đáy (ABC) m t góc 60o

Tính th tích hình chóp

o 60

M C

B A

ABC đ u nên AM BCSABC (đl3)

V y góc[(SBC);(ABC)] = SMA 60 o

Ta có V = 1B.h 1SABC.SA

o 3a

2

V y V = 1B.h 1SABC.SA a 33

Víăd ă4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có c nh a và SA

vuông góc đáy ABCD và m t bên (SCD) h p v i đáy m t góc 60o

1) Tính th tích hình chóp SABCD

2) Tính kho ng cách t A đ n m t ph ng (SCD)

H

a

D

C B

A

S

o 60

L i gi i: 1)Ta có SA (ABC) và

CD AD CD SD ( đl 3 ).(1)

V y góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o

SADvuông nên SA = AD.tan60o

= a 3

ABCD a

2) Ta d ng AH  SD,vì CD(SAD) (do (1) ) nên CD AHAH (SCD)

V y AH là kho ng cách t A đ n (SCD)

SAD

V y AH = a 32

Víăd ă1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có c nh a

M t bên SAB là tam giác đ u n m trong m t ph ng vuông góc v i đáyABCD,

1) Ch ng minh r ng chân đ ng cao kh i chóp trùng v i trung đi m c nh AB

2) Tính th tích kh i chóp SABCD

a H

D

C B

A

S

L i gi i:

1) G i H là trung đi m c a AB

SAB đ u SH AB 

mà (SAB)(ABCD)SH (ABCD)

V y H là chân đ ng cao c a kh i chóp

2) Ta có tam giác SAB đ u nên SA =a 32

suy ra

3 ABCD

Víăd ă2: Cho t di n ABCD có ABC là tam giác đ u ,BCD là tam giác vuông cân t i

D , (ABC)(BCD) và AD h p v i (BCD) m t góc 60o

Tính th tích t di n ABCD

o 60

a

C

B

G i H là trung đi m c a BC

Ta có tam giác ABC đ u nên AH(BCD) ,

mà (ABC)  (BCD)  AH (BCD)

Ta có AHHDAH = AD.tan60o = a 3

& HD = AD.cot60o =a 3

3 BCDBC = 2HD = 2a 33 suy ra

V =

3 BCD

1S .AH 1 1 BC.HD.AH a 3

Víăd ă3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i B, có

BC = a M t bên SAC vuông góc v i đáy, các m t bên còn l i đ u t o v i m t đáy m t

góc 450

a) Ch ng minh r ng chân đ ng cao kh i chóp trùng v i trung đi m c nh AC

b) Tính th tích kh i chóp SABC

45

I

J

H A

C

B

a) K SH BC vì mp(SAC)mp(ABC) nên

SHmp(ABC)

G i I, J là hình chi u c a H trên AB và BC 

SIAB, SJBC, theo gi thi t SIH SJH 45  o

Ta có: SHI SHJ HI  HJnên BH là

đ ng phân giác c a ABC đó suy ra H là trung

đi m c a AC

b) HI = HJ = SH =

2

a

VSABC=

12

3

SH

SABC 

3) D ng 3 : Kể i chóp đ Ố

Víăd ă1: Cho chóp tam giác đ u SABC c nh đáy b ng a và c nh bên b ng 2a

Ch ng minh r ng chân đ ng cao k t S c a hình chóp là tâm c a tam giác

đ u ABC.Tính th tích chóp đ u SABC

a

2a

H O

C

B A

S

L i gi i:

D ng SO(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC

V y O là tâm c a tam giác đ u ABC

Ta có tam giác ABC đ u nên

AO = 2AH 2 a 3 a 3

2

3

a 11 SO

3

  V y V 1SABC.SO a 113

Ví d 2:Cho kh i chóp t giác SABCD có t t c các c nh có đ dài b ng a

1) Ch ng minh r ng SABCD là chóp t giác đ u

2) Tính th tích kh i chóp SABCD

a O

B A

S

L i gi i:

D ng SO (ABCD)

Ta có SA = SB = SC = SD nên

OA = OB = OC = ODABCD là

hình thoi có đ ng tròn gno i ti p

nên ABCD là hình vuông

Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên ASCvuông t i S 2

2

a OS



3 2

.

V y V a 23

6



Víăd ă3: Cho kh i t di n đ u ABCD c nh b ng a, M là trung đi m DC

a) Tính th tích kh i t di n đ u ABCD

b)Tính kho ng cách t M đ n mp(ABC).Suy ra th tích hình chóp MABC

a I

H O

M

C

B A

D

L i gi i:

a) G i O là tâm c a ABC DO  ( ABC )

1 .

3 ABC

V S DO

2

3 4

ABC

a

a

OC  CI 

ô ó : DOC vu ng c DO DC OC

3

a



V

b) K MH// DO, kho ng cách t M đ n

mp(ABC) là MH

1 6

a

MH  DO

V y V a 23

24



BƠi t p t ng t :

Bài 1: Cho hình chóp đ u SABC có c nh bên b ng a h p v i đáy ABC m t góc 60o

Tính th tích hình chóp s: V 3a3

16

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đ u SABC có c nh bên a, góc đáy c a m t bên

là 45o

1) Tính đ dài chi u cao SH c a chóp SABC s: SH = a

3 2) Tính th tích hình chóp SABC s: V a3

6



Bài 3: Cho hình chóp tam giác đ u SABC có c nh đáy a và m t bên h p v i đáy

m t góc 60o Tính th tích hình chóp SABC s: V a 33

24



Bài 4 : Cho chóp tam giác đ u có đ ng cao h h p v i m t m t bên m t góc 30o

Tính th tích hình chóp s: V h 33

3



Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đ u có đ ng cao h và m t bên có góc đ nh

b ng 60o Tính th tích hình chóp s: V h 33

8



Bài 6 : Cho hình chóp t giác đ u SABCD có c nh đáy a và ASB 60 o

1) Tính t ng di n tích các m t bên c a hình chóp đ u s: S a 32

3

 2) Tính th tích hình chóp s: V a 23

6



Bài 7 : Cho hình chóp t giác đ u SABCD có chi u cao h ,góc đ nh c a m t bên

b ng 60o Tính th tích hình chóp s: V 2h3

3



Bài 8: Cho hình chóp t giác đ u có m t bên h p v i đáy m t góc 45ovà kho ng

cách t chân đ ng cao c a chóp đ n m t bên b ng a

Tính th tích hình chóp s: V 8a 33

3



Bài 9: Cho hình chóp t giác đ u có c nh bên b ng a h p v i đáy m t góc 60o

Tính th tích hình chóp s: V a 33

12



Bài 10: Cho hình chóp SABCD có t t c các c nh b ng nhau Ch ng minh r ng

SABCD là chóp t giác đ u.Tính c nh c a hình chóp này khi th tích c a

nó b ng V 9a 23

2

 s: AB = 3a

4) D ng 4 : Kể i chóp & pể nỂ pháp t s tể tích

SA vuông góc v i đáy ABC , SA a

1) Tính th tích c a kh i chóp S.ABC

2) G i G là tr ng tâm tam giác ABC, m t ph ng ( ) qua AG và song song

v i BC c t SC, SB l n l t t i M, N Tính th tích c a kh i chóp S.AMN

G

M

N

I C

B A

S

L i gi i:

a)Ta có: .

1

3

V  S SA và SA a 

+ ABC c n câ ó :AC a 2AB a

2

1 2

ABC

3 2

1 1

SABC

a

b) G i I là trung đi m BC

G là tr ng tâm,ta có : 2

3

SG

SI 

 // BC  MN// BC 2

3

9

SAMN SABC

a

Víăd ă2: Cho tam giác ABC vuông cân A và AB a Trên đ ng th ng qua C và vuông góc v i m t ph ng (ABC) l y đi m D sao cho CD a M t ph ng qua C vuông

góc v i BD, c t BD t i F và c t AD t i E

a) Tính th tích kh i t di n ABCD

b) Ch ng minh CE(ABD)

c) Tính th tích kh i t di n CDEF

a

a

F

E

B

A C

D

L i gi i:

a)Tính VABCD : VABCD 1SABC.CD a3

b)Tacó:

,

AB  AC AB  CD AB(ACD)  AB  EC

Ta có: DBEC EC(ABD)

c) Tính VDCEF:Ta có: DCEF (*)

DABC

Mà DE DA DC  2, chia cho 2

DA

1

1 3

DB  DB  DC CB 



T (*) DCEF 16

DABC

V V

a

Víăd ă3:ă Cho kh i chóp t giác đ u SABCD M t m t ph ng (  )qua A, B và trung đi m

M c a SC Tính t s th tích c a hai ph n kh i chóp b phân chia b i m t ph ng đó

N S

O M

B

D

C

A

L i gi i:

K MN // CD (N  SD )thì hình thang ABMN là

thi t di n c a kh i chóp khi c t b i m t ph ng

(ABM)

SADB

SAND

V V

V SD

SN V

V

4

1 2

1 2



SABCD SBCD

SBMN SBCD

SBMN

V V

V SD

SN SC

SM V

V

8

1 4

1 4

1 2

1 2

1



Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD

8

3

Suy ra VABMN.ABCD = VSABCD

8 5

Do đó :

5

3

.



ABCD ABMN

SABMN

V V