S GD& T V NH PHÚC
—————
CHÍNH TH C
K THI TUY N SINH L P 10 THPT CHUYÊN N M H C 2015-2016
THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào l p chuyên Toán và chuyên Tin
Th i gian làm bài 150 phút, không k th i gian giao đ
—————————
Câu 1 (3,0 đi m)
a) Gi i ph ng trình: 4 x
4x-8 x+7 +
3 x 4x-10 x+7 = 1
b) Gi i h ph ng trình: îíì2x3+3x3y=8
xy3-2x-6=0
Câu 2 (2,0 đi m)
a) Tìm s nguyên t p đ 2p + 1 là l p ph ng c a m t s t nhi n
b) Trong b ng 11x11 ô vuông ta đ t các s t nhiên t 1 đ n 121 vào các ô đó m t cách tùy ý (
m i ô đ t duy nh t m t s và hai ô khác nhau thì đ t hai s khác nhau) Ch ng minh r ng t n t i hai
ô vuông k nhau ( t c là hai ô vuông có chung m t c nh) sao cho hi u c a hai s đ t trong hai ô đó
l n h n 5
Câu 3 (3,0 đi m)
Cho tam giác ABC nh n, có tr c tâm H và n i ti p trong đ ng tròn tâm O G i D, E, F
t ng ng là chân các đ ng cao c a tam giác ABC k t A,B,C; g i M là giao đi m c a tia AO và
c nh BC; g i N,P t ng ng là hình chi u vuông góc c a M trên các c nh CA,AB
a) Ch ng minh r ng HE.MN = HF.MP
b) Ch ng minh r ng t giác EFPN n i ti p
c) Ch ng minh r ng BD.BM
CD.CM = èçæ ø÷
ö
AB AC
2
Câu 4 (1,0 đi m)
Cho các s th c d ng , ,a b c th a mãn đi u ki n a + b + c = 3 Ch ng minh r ng:
1 2+a2b +
1 2+b2c +
1 2+c2a ³ 1
Câu 5 (1,0 đi m)
i m M (x; y) c a m t ph ng t a đ đ c g i là đi m nguyên, n u c x và y đ u là các s
nguyên Tìm s nguyên d ng n bé nh t sao cho t m i b n đi m nguyên, đ u tìm đ c b ba
đi m nguyên là đ nh c a m t tam giác có di n tích nguyên ( trong tr ng h p ba đi m th ng hàng
thì coi di n tích tam giác b ng 0)
H T
Cán b coi thi không gi i thích gì thêm!
Trang 2H NG D N S L C L I GI I
Câu 1:
a) K: x ³ 0
4 x
4x-8 x+7 +
3 x 4x-10 x+7 = 1
4x-8 x+7 -
1
2 +
3 x 4x-10 x+7 -
1
2 = 0
2(4x-8 x+7) +
4x-16 x+7 2(4x-10 x+7) = 0
ö
1 2(4x-8 x+7)+
1 2(4x-10 x+7) = 0 (1)
Ta th y: 4x-8 x+7 = 4( x - 1)2
+ 3 > 0 và 4x-10 x+7 = (2 x + 5
2 )
2
+ 3
4 > 0
Þ
è
ç
æ
ø
÷ ö
1
2(4x-8 x+7)+
1 2(4x-10 x+7) > 0 (2)
T (1) và (2) suy ra 4x -16 x+7 = 0 Û (2 x - 7)(2 x - 1) = 0 Þ
ë ê ê
éx=49 4 x=1 4 ( th a mãn đi u
ki n)
b) Vì x = 0 không là nghi m c a h nên x ≠ 0
îí
ì2x3+3x3y=8
xy3-2x-6=0 Û îí
ìx3(2+3y)=8 x(y3-2)=6 Û
îï í
ïì3y+2=èçæ2ø÷ö
x
3
y3-2=6 x
C ng theo v ta đ c y3
+ 3y = èçæ ø÷
ö
2 x
3
+ 6
x t y = a, 2
x = b ta có :
a3 + 3a = b3 + 3b Û (a - b)(a2 + ab + b2 + 3) = 0
Vì a2 + ab + b2 + 3 = èçæ ø÷
ö
a+b 2
2
+ 3
4b
2
+ 3 > 0 " a,b nên a - b = 0 hay y = 2
x Suy ra x(
8
x3 - 2) = 6
Û 2x3 + 6x2 - 8 = 0 Û (x - 1)(x + 2)2 = 0 Þ ëêéx=1,y=2 x=-2,y=-1
Câu 2:
a) G i n là s t nhiên th a mãn 2p + 1 = n3
Þ n là s l
Û 2p = n3
- 1 = (n -1)(n2 + n + 1)
Do p là s nguyên t và n l nên Þ îíìn-1=2
n2+n+1=p ( n
2
+ n + 1 > n -1 ) Þ îíìn=3
p=13 V y p =13
b)Gi s không t n t i hai ô vuông k nhau có hi u hai s đ t trong hai ô đó l n h n 5
ánh s c t và hàng nh hình v
Xét ô nghi s 1 ô (a,b) ( hàng c t b)
Xét ô nghi s 121 ô (c,d)
Không m t tính t ng quát, gi s c ³ a, d ³ b
Các tr ng h p khác t ng t
t x(a,b) là s ghi ô (a,b)
Ta có 121 = x(c,d) £ x(c - 1, d) + 5 £ x(c - 2, d) + 10 £ x(a, d) + 5( c - a)
£ x(a, b) + 5( c - a) + 5(d - b) £ 1 + 5(11 -1) + 5(11 - 1) = 101 ( vô lý)
Þ đi u gi s là sai (đpcm)
1 2 3 4
1
2
3
4
Trang 3Câu 3:
Kéo dài AO c t đ ng tròn (O) t i K Þ ABK = $
$
ACK = 900
Ta có
$
AKC =
$
ABC ( góc n i ti p cùng ch n cung AC)
Mà
$
ADB =
$
ACK = 900 Þ
$
BAD =
$
KAC
Þ DAC = $
$
BAC -
$
BAD =
$
BAC -
$
KAC =
$
BAK a) Xét DAFH và DANM có:
îï
í
ïìFAH=$
$
MAN
$
AFH=
$
ANM=900
Þ DAFH DANM (g.g)
Þ FH
MN =
AH
AM (1)
Xét DAMP và DAHE có
îï í
ïìPAM=$
$
EAH
$
AEH
$
=APM=900
Þ DAMP DAHE (g.g) Þ EH
MP =
AH
AM (2)
T (1) và (2) suy ra: FH
MN =
EH
MP Þ HE.MN = HF.MP (đpcm)
b) Theo câu a:
îï í
ïìDAFH DANM DAMP DAHE Þ AEAP =
AM
AH =
AN
AF Þ AP.AF = AE.AN Þ t giác EFPN
n i ti p
c) Các t giác APDM, ANMD là các t giác n i ti p
Þ îí
ìBD.BM=BP.BA
CM.CD=CN.CA
Þ BD
CD
BM
CM =
AB
AC
BP
CN (3)
M t khác BK / PM (cùng vuông góc v i AB)
CK/MN (cùng vuông góc v i AC)
Suy ra BP
AB =
MK
AK =
CN
AC Þ
BP
CN =
AB
AC (4)
T (3) và (4) suy ra BD
CD
BM
CM =
AB
AC
BP
CN =
AB
AC
AB
AC = èçæ ø÷
ö
AB AC
2
(đpcm)
Câu 4:
Ta có:
1
2+a2b +
1 2+b2c +
1 2+c2a ³ 1
Û 2
2+a2b +
2 2+b2c +
2 2+c2a ³ 2
Û a
2
b 2+a2b +
b2c 2+b2c +
c2a 2+c2a £ 1 (*)
Áp d ng B T Côsi cho ba s d ng ta có:
Trang 42 + a2b = 1 + 1 + a2b ³ 33a2b
T ng t
2 + b2c ³ 33b2c
2 + c2a ³ 33 c2a
Nên t (*) ta có
a
2
b
2+a2b +
b2c 2+b2c +
c2a 2+c2a £
a2b
33a2b + b
2
c
33 b2c + c
2
a
33 c2a
= 1 3
3
a4b2 + 1
3
3
b4c2 + 1
3
3
c4a2
Áp d ng B T Côsi cho ba s d ng ta có:
(ab) + (ab) + a2 ³ 3 3(ab)(ab)(a2) = 33a4b2
Þ 1
3
3
a4b2 £ 1
9 (ab + ab + a
2
)
T ng t :
1
3
3
b4c2 £ 1
9 (bc + bc + b
2
)
1
3
3
c4a2 £ 1
9 (ca + ca + c
2
)
V y :
1
3
3
a4b2 + 1
3
3
b4c2 +1
3
3
c4a2 £ 1
9 (ab + ab +a
2
) + 1
9 (bc+ bc + b
2
) + 1
9 (ca + ca + c
2
) = 1
9(a + b + c)
2
= 1
D u b ng x y ra khi a = b = c = 1
Câu 5:
Xét DABC có t a đ A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2), C(x3 ; y3)
T đó ta có SDABC = 1
2[(x3-x1)(y2-y1)-(x3-x1)(y3-y1) ]
- Xét tam giác b t k , có t a đ đ nh là các đi m nguyên luôn t n t i m t hình ch nh t có c nh
song song v i hai tr c th a mãn m t đ nh c a hình ch nh t trùng v i m t đ nh c a tam giác, hai
đ nh còn l i c a tam giác n m trên c nh ho c trùng v i đ nh c a hình ch nh t
- Bây gi xét hình bên, các tr ng h p khác xét t ng t :
Þ
îï
í
ïìx1£x3£x2
y1£y2£y3 G i hình ch nh t bao quanh là APQR nên
SAPQR = (x2 - x1)(y3 - Y1)
SABC = SADQR - SAPC - SBCQ - SABR (*)
Trang 5V i SAPC = (x3 - x1)(y3 - Y1)
SBCQ = (x2 - x3)(y3 - Y2)
SABR = (x2 - x1)(y2 - Y1)
Nên thay vào (*) ta có :
SABC = SADQR - SAPC - SBCQ - SABR = 1
2[(x2-x1)(y3-Y1)-(x3-x1)(y2-Y1) ]
Vì A, B có cùng d ng nên îíìx2-x1+2
y2-y1+2 Þ [(x2-x1)(y3-Y1)-(x3-x1)(y2-Y1) + 2 ]
Þ 1
2[(x2-x1)(y3-Y1)-(x3-x1)(y2-Y1) là s] nguyên Þ SABC nguyên (th a mãn đ bài)
V y s nguyên d ng n nh nh t th a mãn là 5
-H T -
Tr n M nh C ng - GV Tr ng THCS Kim Xá - V nh T ng - V nh Phúc