CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC.. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC1.. cos cos cos 2sin.. sin sin sin 2sin.. cos sin sin 2cos... BÀI TẬPGIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Ví dụ 1... Cho hai điểm M và N sao ch
Trang 1CHƯƠNG VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1 Các hệ thức lượng giác cơ bản
sin a + cos a = 1 t an sin
cos
a a
a
sin
a a
a
=
2
2
1
1 t an
cos
a
a
2
1
1 cot
sin
a
a
2 Giá trị lượng giác của cung góc có liên quan đặc biệt
2.1 Cung đối nhau: và a - a
cos(- a)= cosa
sin(- a)= - sina
t an(- a)= - t ana
cot (- a)= - cota
2.2 Cung bù nhau: a và p- a
sin(p- a)= sina
cos(p- a)= - cosa
t an(p- a)= - t ana
cot (p- a)= - cota
2.3 Cung hơn kém : và p a a + p
sin(a + p)= - sina
cos(a + p)= - cosa
t an(a + p)= t ana
cot (a + p)= cota
2.4 Cung phụ nhau: và a
2
p a
sin cos
2
p
ç - ÷=
ç
p
ç - ÷=
ç
t an cot
2
p
æ ö÷
ç - ÷=
ç
p
æ ö÷
ç - ÷=
ç
3 Công thức lượng giác
3.1 Công thức cộng
sin(a+ b)= sin cosa b+ sin cosb a
sin(a- b)= sin cosa b- sin cosb a
cos(a+b)= cos cosa b- sin sina b
cos(a- b)= cos cosa b+ sin sina b
t an( )
1 t an t an
+
t an( )
1 t an t an
+
3.2 Công thức nhân đôi, nhân ba
sin 2a= 2sin cosa a
2
1 2sin
a
-=
2
2 t an
t an 2
1 t an
a a
a
= sin 3a= 3sina- 4 sin3a
cos3a = 4 cos3a- 3cosa
3.3 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
cos cos 2sin sin
sin sin 2sin cos
sin sin 2cos sin
-3.4 Công thức biến đổi tích thành tổng
2
a b= éêë a+b + a- bùúû
2
a b= - éêë a+ b - a- bùúû
2
a b= éêë a+b + a- bùúû
3.5 Công thức hạ bậc
2 1 cos2
cos
2
a
sin
2
a
2 1 cos2
t an
1 cos2
a a
a
-=
+
Trang 2BÀI TẬP
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Ví dụ 1 Cho sin 0, 8 < < .Tính cos , t an , cot
2
p
÷ ç
Giải: Áp dụng công thức: sin2a + cos2a = 1
Þ cos2a = 1- sin2a = 1- 0, 82 = 0, 36
cosa 0, 6
Vì nên
2
p
< < cosa < 0
Do đó cosa = - 0, 6
t an
cos 0, 6 3
a a
a
cot
sin 0, 8 4
a a
a
-Ví dụ 2 Tính 2sin 3cos biết
3sin 2cos
B
+
=
sin
2
x
x
ìï
-ïï
ïïî
B
-Ví dụ 3 Đơn giản biểu thức: 2cos2 1
sin cos
x A
-=
+
Giải: 2cos2 (sin2 cos2 ) cos2 sin2 (cos sin )(cos sin ) cos sin
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
Ví dụ 1 Tính GTLG của các cung (góc): 3150
Giải:
sin 315 sin( 45 360 ) sin( 45 ) sin 45
2
cos315 cos( 45 360 ) cos( 45 ) cos45
2
0
sin 315 sin 45
cos315 cos45
-0
0
1
t an 315
-Ví dụ 2 Tính A = cos00+ cos200 + cos400+L + cos1600+ cos1800
Giải:
Ta có: cos1800 = - cos00
cos1600 = - cos200
cos1400 = - cos400
Do đó: A = 0
Trang 3Điền các giá trị thích hợp vào ô trống
Radian
Radian
16
p
5
8
p
4
6
p
8
24
p
3
p
12
p
2
p
-Độ
BIỂU DIỄN CUNG LƯỢNG GIÁC Bài 1 Biểu diễn các cung sau trên đường tròn lượng giác gốc A: 300; - 450; 7500; ; ;
3
p
2
4
p
Bài 2 Xác định điểm cuối của cung có số đo: k p kp2 ; ; ; ; ; ; ; ( )
2
k p
3
k p
4
k
+
k
k
Bài 3 Cho hai điểm M và N sao cho và với Tìm sao cho:
6
Ð
798
k
Ð
a) M và N trùng nhau b) M và N đối xứng nhau qua O
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Bài 1 Xác định dấu của các giá trị lượng giác hoặc biểu thức:
4
ç + ÷
ç
3 cos
2p x
ç - ÷
ç
è ø t anæçççx- p2ö÷÷÷
÷ ç
è ø cotæçççx+ 2pö÷÷
÷ ç
è ø 0< x < p2 b) A = sin 40 cos( 290 )0 - 0 c) B = sin( 25 ) cos170- 0 0
cot sin
C = p æççç- pö÷÷
÷ ç
cos sin t an cot
Bài 2 Tính các giá trị lượng giác còn lại biết:
5
2
p
13
x = - 1800 < x < 2700
c) t anb = - 3 với 3 2 d) với
2
p
< < cotx = - 3 900 < x < 1800
Bài 3 Tính giá trị của các biếu thức lượng giác sau:
a) Cho t anx = - 2 Tính 1 5cot 4 t an và
5cot 4 t an
A
+
=
2sin cos cos 3sin
A
+
=
b) Cho cotx = 2 Tính 1 3sin cos và
B
-=
sin 3cos sin 3cos
B
-=
+
sin
5
2
cot t an
C
+
=
t an cos cot
C
x
-=
cos
5
x =
p
p
cot t an
D
+
=
sin cot
1 cos
x
x
+
Bài 4 Cho sin cos 5 Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
4
a) A = sin cosx x b) B = sinx- cosx c) C = sin3x- cos3x
Bài 5 Cho t anx- cotx = 3 Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
a) A = t an2x+ cot2x b) B = t anx+ cotx c) C = t an4x- cot4x
Bài 6 Tính sin , cos , t an , cotx x x x Biết rằng:
a) sinx+ cosx = 2 b) sinx- cosx = 2 c) t anx+ cotx = 4
Bài 7 Dùng cung liên kết (không dùng máy tính), hãy tính các giá trị sau:
Trang 4a) sin 1500 b) cot 1350 c) cos11p d) sin 13p e) cot 7
6
p
cos
3
p
æ ö÷
ç- ÷
ç
19 cot
4
p
ç- ÷
ç
159
t an
4
p
æ ö÷
ç- ÷
ç
115 sin
6
p
ç- ÷
ç
Bài 8 Rút gọn các biểu thức sau:
A = æçççp - aö÷÷÷+ æçççp - aö÷÷÷- æçççp + aö÷÷÷- æçççp + aö÷÷÷
B = æççç p - aö÷÷÷- æççç p - aö÷÷÷+ æççça - pö÷÷÷- æççça- pö÷÷÷
2cos 3cos( ) sin t an
C = x+ p- x - æççç p - xö÷÷÷+ æççç p- xö÷÷÷
D = æçççp + xö÷÷÷+ p- x + æççç p + xö÷÷÷+ æçççp + xö÷÷÷
Bài 9 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos2a - sin2a = 1- 2sin2a b) 2cos2a- 1= 1- 2sin2a
c) 3- 4 sin2a = 4 cos2a- 1 d) sinacota + cos t ana a = sina + cosa
e) sin4a + cos4a = 1- 2sin2acos2a f) cos4a- sin4a = cos2a- sin2a
g)sin3acosa + sinacos3a = sinacosa h) sin4a- cos4a = 1- 2cos2a = 2sin2a- 1
Bài 10 Chứng minh các đẳng thức sau:
t an cot
sin cos
-= +
1
1+ t anx + 1+ cotx =
2
2 2
1 sin
1 2 t an
1 sin
x
x x
+
= +
-t an t an
t an t an
cot cot
+
=
+
1 cot
x
x x
+
+
+
Bài 11 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào :x
a) A = cos4x- sin4x+ 2sin2x b) B = sin4x+ sin2xcos2x + cos2x
c) C = cos4x+ sin2xcos2x+ sin2x d) D = cos4x(2cos2x- 3)+ sin4x(2sin2x- 3)
e) E = sin6x+ cos6x- 2sin4x- cos4x+ sin2x f) F = cos2xcot2x + 5cos2x- cot2x + 4 sin2x
Bài 12 Chứng minh rằng nếu A, B,C là ba góc của một tam giác thì:
a) sinB = sin(A+C) b) cos(A+ B)= - cosC
e) cos(A+ B- C)= - cos2C f) sin(A+ 2B +C)= - sinB
g) cot (A- B +C)= - cot 2B h) cos 3 sin 2
2
A
=
-Bài 13 Rút gọn và tính giá trị của biểu thức (không dùng máy tính)
a) A = cos00+ cos200+ cos400 +L + cos1600+ cos1800
b) B = cos100+ cos400+ cos700+ L + cos1400+ cos1700
c) C = t an 200+ t an 400+ t an 600+ L + t an 1600+ t an 1800
d) D = cot 150+ cot 300+ cot 450+ L + cot 1500+ cot 1650
e) E = sin 50+ sin 100 + sin 150+L + sin 3550+ sin 3600
Trang 5g) G = t an 1 t an 2 t an 3 K t an 89
h) H = sin 102 0 + sin 202 0+ sin 302 0+ L + sin 802 0+ sin 902 0
i) I = cos 102 0+ cos 202 0 + cos 302 0+ L + cos 1702 0+ cos 1802 0
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1 Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của các biểu thức:
a) A = sin 12 cos480 0+ cos12 sin 480 0 b) B = cos38 cos220 0- sin 38 cos220 0
c) C = sin 10 cos550 0- cos10 sin 450 0 d) D = sin 200 sin 3100 0+ cos340 cos500 0
e) E = cos11 cos210 0+ cos69 cos790 0- cos100 f) F = cos68 cos780 0+ cos22 cos120 0- sin 1000
Bài 2 Tính giá trị của biểu thức:
0 0
1 t an 15
1 t an 15
t an 25 t an 20
1 t an 25 t an 20
sin 10 cos20 sin 20 cos10
cos17 cos13 sin 17 sin 13
sin 73 cos3 sin 87 cos17 cos132 cos13 cos42 cos28
-+ e) E = sin 202 0+ sin 1002 0 + sin 1402 0 f) F = cos 102 0+ cos 1102 0+ cos 1302 0
g) G = t an 20 t an 800 0+ t an 80 t an 1400 0+ t an 140 t an 200 0
h) H = t an 10 t an 700 0+ t an 70 t an 1300 0 + t an 130 t an 1900 0
Bài 3 Tính giá trị của các biểu thức sau:
3
A = æççça + pö÷÷÷
÷ ç
1 sin
3
2
p a
< <
3
B = æçççp - aö÷÷÷
÷ ç
12 cos
13
2
p
p < a <
3
C = æççça + pö÷÷÷
÷ ç
3 sin
5
a =
2
p
< <
4
D = æççça- pö÷÷÷
÷ ç
4 sin
5
2
p
p< a <
Bài 4 Biết sin 4, và , Hãy tính giá trị của biểu thức
5
a = (00 < a < 900) sin 8
17
b = (900 < b < 1800)
Bài 5 Biết 8 , và , là các góc nhọn Hãy tính giá trị của các biểu thức ,
sin
17
12
B = a + b C = t an(a + b)
Bài 6 Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin(x+ y) cos(x- y)+ sin(x- y) cos(x+ y)
b) B = cos(400- x) cos(x+ 20 )0 - sin(400- x) sin(x + 20 )0
c) C = sin(x +10 ) cos(20 x- 80 )0 + sin(x +100 ) cos(20 x + 10 )0
D = æçççx- pö÷÷÷ æçççp - xö÷÷÷+ æçççp - xö÷÷÷ æçççx- pö÷÷÷
E = æçççx- pö÷÷÷ æçççx+ pö÷÷÷+ æçççx + pö÷÷÷ æçççx + pö÷÷÷
F = æçççx- pö÷÷÷ æççç p - xö÷÷÷- æççç p - xö÷÷÷ æççç p + xö÷÷÷
Bài 7 Chứng minh các đẳng thức sau:
Trang 6a) cos sin 2 cos 2 sin
x+ x = æçççx- pö÷÷÷= æçççx+ pö÷÷÷
x- x = æçççx + pö÷÷÷= - æçççx- pö÷÷÷
c) sin(x+ y) sin(x- y)= sin2x- sin2y = cos2y- cos2x
d) cos(x+ y) cos(x- y)= cos2x- sin2y = cos2y- sin2x
Bài 8 Chứng minh các đẳng thức sau:
æ ö÷ æ ö÷
ç + ÷- ç - ÷=
2
æ ö÷ æ ö÷
ç + ÷ ç - ÷=
t an t an t an t an t an t an 3
x æçççx+ pö÷÷÷+ æçççx+ pö÷÷÷ æçççx+ pö÷÷÷+ æçççx+ pö÷÷÷ x =
Bài 9 Chứng minh các đẳng thức sau:
=
0 cos cos cos cos cos cos
sin( ) sin( )
t an t an cos cos
cos( ) cos( )
1 t an t an cos cos
-=
-Bài 10 Chứng minh các biểu thức sau độc lập với biến x
A = x + æçççp - xö÷÷÷ æçççp + xö÷÷÷
B = x + æçççp - xö÷÷÷+ æçççp + xö÷÷÷
C = x + æççç p - xö÷÷÷+ æççç p + xö÷÷÷
D = x+ æçççx+ pö÷÷÷+ æçççx- pö÷÷÷
Bài 11 Tính giá trị các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi)
D = p p p E = sin 10 sin 50 sin 700 0 0 cos cos2 cos4
cos cos cos
G = p p p H = sin 6 cos12 cos24 cos480 0 0 0
Bài 12 Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a) 1+ cosx + cos2x + cos3x b) sinx- sin 3x+ sin 7x- sin 5x c) sinx- sin 2x + sin 5x+ sin 8x d) cos10x- cos8x- cos6x +1e) cos9x- cos7x+ cos3x- cosx f) cos7x+ sin 3x+ sin 2x- cos3x