Bài giảng Giải tích 11 Chương IV: Giới hạn hàm số37171

Vậy u có thể nhoe hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.. Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng... mặt khác u n nên u lớn hơn một số dương bất kì kể

SĐT ĐC ớhòng dãy T p th xã t c Tớ HU

Biên so n Ths Tr n Đình C

Bài gi ng Gi i tích

Ch ng IV

HU , NGÀY 4/1/2017

M C L C

CH ộG IV GI I H N 2

BÀI 1 GI I H N C A DÃY S 2

D ng 1 S d ng đ nh nghĩa tìm gi i h n 0 c a dãy s 3

D ng 2 S d ng đ nh lí đ tìm gi i h n 0 c a dãy s 4

D ng 4 S d ng các gi i h n đ c bi t và các đ nh l đ gi i các bài toán tìm gi i h n dãy 5

D ng 5 S d ng công th c tính t ng c a m t c p s nhân lùi vô h n, tìm gi i h n, bi u th m t s th p phân vô h n tu n hoàn thành phân s 6

D ng 6 Tìm gi i h n vô cùng c a m t dãy b ng đ nh nghĩa 9

D ng 7 Tìm gi i h n c a m t dãy b ng cách s d ng đ nh lý, quy t c tìm gi i h n vô c c 10

M T S D NG TOÁN NÂNG CAO {Tham kh o} 12

BÀI 2 GI I H N HÀM S 20

D ng Dùng đ nh nghĩa đ tìm gi i h n 23

D ng 2 Tìm gi i h n c a hàm s b ng công th c 26

D ng 3 S d ng đ nh nghĩa tìm gi i h n m t bên 27

D ng 4 S d ng đ nh lý và công th c tìm gi i h n m t bên 27

D ng 5 Tính gi i h n vô c c 29

D ng 6 Tìm gi i h n c a hàm s thu c d ng vô đ nh 0 0 29

D ng 7 D ng vô đ nh   31

D ng 8 D ng vô đ nh     32 ;0 M T S D NG TOÁN NÂNG CAO {Tham kh o} 35

BÀI 3 HÀM S LIÊN T C 38

D ng 1 Xét tính liên t c c a hàm s f(x) t i đi m x 0 38

D ng 2 Xét tính liên t c c a hàm s t i m t đi m 41

D ng 3 Xét tính liên t c c a hàm s trên m t kho ng K 43

D ng Tìm đi m gián đo n c a hàm s f(x) 45

D ng 5 Ch ng minh ph ng trình f x có nghi m 45

M T S BÀI T P LÝ THUY T {Tham kh o} 51

ÔN T ớ CH ộG 53

CH ộG IV GI I H N

BÀI 1 GI I H N C A DÃY S

A KI N TH C C B N C N N M

1 Đ nh nghĩa dãy s cĩ gi i h n 0

Dãy (u ) cĩ gi i h n là 0 khi n dn n đ n d ng vơ c c, n u m i s d ng bé tùy cho tr c, m i s

h ng c a dãy s , k t s h ng nào đĩ tr đi un đ u cĩ th nh h n m t s d ng đĩ

Kí hi u: lim u n 0 hay limun0 hoặc un 0

n 0 0 n

lim u        0 0, n , n n  u  

(Kí hi u "lim un0" cịn đ c vi t





n n

"lim u 0" đ c dãy s (u ) cĩ gi i h n là 0 khi n dn n đ n d ng vơ

c c)

Nh n xét: T đ nh nghĩa ta suy ra r ng

a) Dãy s (u ) cĩ gi i h n là 0 khi và ch khi dãy s n  u cĩ gi i h n 0 n

b) Dãy s khơng đ i (u ) , v i n un  cĩ gi i h n 0 0

Các đ nh lí

Đ nh lí 1: Cho hai dãy s  u và n  v N u n un vn v i m i n và limvn  thì 0 lim un  0

* Đ nh lí 2: N u q 1 thì limqn  0

Đ nh nghĩa dãy cĩ gi i h n h u h n

Đ nh nghĩa Ta nĩi dãy (v ) cĩ gi i h n là s L ( hay n v d n t i L) n u n nlim v n L 0

  

Kí hi u: limvnL hay vn  L

Ngồi ra ta c)ng cĩ thêm đ nh nghĩa nh sau Ngơn ng  ):

n 0 0 n

limv        L 0, n , n n v    L

4 M t s đ nh lí

Đ nh lí 1: Gi s lim un  Khi đĩ L

 lim un  L và lim u3 n 3L

 N u un  v i m i n thì L 00  và lim un  L

Đ nh lí 2: Gi s limun L và lim vn M 0, c là một hằng số Ta có:

n n n n n n n

n n

u lim u a lim u v a b; lim cu cL; lim u v lim u limv ; lim ;

v limv b

5 T ng c a c p s nhân lùi vơ h n

 C p s nhân lùi vơ h n là c p s nhân vơ h n và cĩ cơng b i q thỗ mãn q 1

 Cơng th c tính t ng c p s nhân lùi vơ h n: 1 2 n u1

S u u u

1 q



6 Dãy cĩ gi i h n 

Đ nh nghĩa Ta nĩi dãy s (u ) cĩ gi i h n  , n u v i m i s d ng tùy cho tr c, m i s h ng c a n dãy s , k t s h ng nào đĩ tr đi đ u l n h n s d ng đĩ

Kí hi u: lim u   hay n un  

n 0 0 n

lim u         M 0, n , n n u M

7 Dãy cĩ gi i h n 

Đ nh nghĩa Ta nĩi dãy s (u ) cĩ gi i h n  , n u v i m i s n âm tùy cho tr c, m i s h ng c a dãy s , k t s h ng nào đĩ tr đi đ u nh h n s d ng đĩ

Kí hi u: lim u   ho c n un  

n 0 0 n

lim u         M 0, n , n n u  M

Chú ý: Các dãy s cĩ gi i h n  và  đ c g i chung là dãy s cĩ gi i h n vơ c c hay d n đ n vơ

c c

8 M t vài quy t c tính gi i h n vơ c c

n

n

n

n

u a)Nếu lim u a và lim v thì lim 0

v

u b)Nếu lim u a 0 và lim v 0 và v 0 với mọi n thì lim

v Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại

c) Nếu lim u và lim v a 0 thì lim u v

Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại 

B PHÂN LO I Vủ ớH ộG ớHỦớ GI I BÀI T P

D ng 1 S d ng đ nh nghĩa tìm gi i h n c a dãy s

ớh ng pháp lim un  khi và ch khi |u0 n| cĩ th nh h n m t s d ng bé tu ý, k t s h ng nào đĩ

tr đi

Ví d 1 Bi t dãy s (un) thỗ mãn un n 12

n



 v i m i n Ch ng minh r ng lim un 0

Gi i

Đ t vn n 12

n







 

n 2 n

n n n n

n 1

Ta có lim v lim 0 Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)

n Mặt khác, theo giả thiết ta có u v v (2)

Từ (1) và (2) suy ra u có thể



n

nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim u 0

Ví d 2 Bi t r ng dãy s (un) cĩ gi i h n là 0 Gi i thích vì sao dãy s (vn) v i vn=|un c)ng cĩ gi i h n là

0 Chi u ng c l i cĩ đúng khơng

H ng d n

n n n n

Vì (u ) có giới hạn là 0 nên u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng

nào đó trở đi

Mặt khác, v  u  u Do đó, v cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y

n n

ù, kể từ một số hạng nào đó trở đi Vậy (u ) có thể nhoe hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số

hạng nào đó trở đi Vậy (v ) cũng có giới hạn là 0

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng)

Ví d 3 Vì sao dãy (u ) v i n  n

n

u  1 khơng th cĩ gi i h n là 0 khi n   ?

Ví d 4 S d ng đ nh nghĩa ch ng minh r ng limsinn 0

n

H ng d n

Ta cĩ

>0, n : n n u 0 Vậy :lim u 0



D ng 2 S d ng đ nh lí đ tìm gi i h n c a dãy s

ớh ng pháp Ta d ng đ nh lí 1 và 2 và m t s gi i h n th ng g p

k n

lim 0 haylim 0

lim 0 ; lim 0 với k nguyên dương

n n

lim q 0 nếu q 1

Ví d 1

a) Cho hai dãy s (u ) và (v ) Ch ng minh r ng n u n n limvn 0 và un vn v i m i n thì lim un  0

b) Áp d ng k t qu câu a đ tính gi i h n c a các dãy s cĩ s h ng t ng quát nh sau

n

d)u (0,99) cosn e) u 5 cos n

Ví d 2 Tình gi i h n sau:

 

 

 

 

n n

n 1 n 1 n n n 1

n n n n n n 1 n 1

H ng d n và đáp s : S d ng cơng th c limqn0, q 1

1

3

ớh ng pháp nlim vn a nlim v n a 0

     

Ví d 1 S d ng đ nh nghĩa ch ng minh  



3n 2

n 1

H ng d n

0 0 n n

u 3 n ; chọn n ,n Khi đó:

n 1 n

>0, n : n n u 3 Vậy :lim u 3

Ví d 2 S d ng đ nh nghĩa ch ng minh lim 1 ( 1)n 1

n

Ví d 3 Cho dãy (un xác đ nh b i: un 3n 2

n 1







a) Tìm s n sao cho un 3 1

1000

 

b) Ch ng minh r ng v i m i n > 999 thì các s h ng c a dãy (un đ u n m trong kho ng (2,999;3,001)

H ng d n

n

n 1 1000



BTTT: Cho dãy (un xác đ nh b i: un 2n 1

n 2







a) Tìm s n sao cho un 2 1

100

 

b) Ch ng minh r ng v i m i n > 2007 thì các s h ng c a dãy (un đ u n m trong kho ng (1,998;2,001)

D ng 4 S d ng các gi i h n đ c bi t và các đ nh l đ gi i các bài tốn tìm gi i h n dãy

ớh ng pháp

v      v     

 N u bi u th c cĩ d ng phân th c t s và m u s ch a lu th a c a n thì chia t và m u cho

nk v i k là m) cao nh t b c m u

 N u bi u th c ch a căn th c c n nhân m t l ng liên hi p đ đ a v d ng c b n

3

3

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

3 2

3 2

3n 5n 1 lim

2n 6n 4n 5

Gi i



 

2 3

5 1 3

n n n

Ví d 2 Tính

2 2

2n 1 5n lim

1 3n

 



Gi i

2

2

1 2 1 5

n

 



Ví d 3 Tính lim n2 7 n25

Gi i

  

Ví d 4 Tính lim n23n n2

Gi i

2 2

2 2

2 3

n

 

BÀI T P ÁP D NG

Bài 1 Tính các gi i h n sau:















2

m m 1

0 1 m 1 m

p p 1 n

0 1 p 1 p

n 1

a n a n a n a Tính giới hạn: lim

b n b n b n b Xét p m

HướngDẫn: Xét n p Chia cả tử và mẫu cho

Xé

Tổng qua

t

t:

p

ù

n

            

p

3 2

4 2

5 2

n ,p là bậc cao nhất ở mẫu Tính giới hạn sau:

2 3n n 1 2n n 1

1 4n 2n 1 3 n n 2

4

Bài 2 Tính các gi i h n:





3

Bài 4 Tính các gi i h n sau:

  

    

3

2

2

3 3

a)lim n 1 n b)lim n 3n n 2 c) lim n 2n n

4n 1 2n 1

n 2n n g) lim n n n 2

H ng d n và đáp s : Nhân l ng liên hi p

D ng 5 S d ng cơng th c tính t ng c a m t c p s nhân lùi vơ h n tìm gi i h n bi u

th m t s th p phân vơ h n tu n hồn thành phân s

ớh ng pháp C p s nhân lùi vơ h n là c p s nhân vơ h n và cĩ cơng b i là |q|<1

 T ng các s h ng c a m t c p s nhân lùi vơ h n (un)

1 2 n

u

S u u u

1 q



 M i s th p phân đ u đ c bi u di n d i d ng lu th a c a 10

n 3

1 2

1 2 3 n 2 3 n

a

X N,a a a a N

I Các ví d m u

Ví d 1 Vi t s th p phân m=0,030303 ( chu k d i d ng s h u t

Gi i

n

3

1

100



Ví d 2 Tính t ng S 2 2 1 1 1

2 2

     

Gi i

Xét dãy: 2,- 2 ,1, 1

2

 , là c p s nhân

2



V y S 2 2 2 4 2 2

1

2





II Bài t p rèn luyên

Bài 1 Hãy vi t s th p phân vô h n tu n hoàn sau d i d ng m t phân s  34,1212 (chu k 12)

H ng d n và đáp s

1

1

100

  

Bài 2 Tính t ng c a c p s nhân lùi vô h n:

n 1



H ng d n :a)q 1; S 4

  b)q 2 2;S 4 3 2

2



Bài 3 Tìm s h ng t ng quát c a c p s nhân lùi vô h n có t ng S=3 và công b i q 2

3



Đáp s : C p s nhân lùi vô h n đó là

n 1

2 4; ; 2

3 9 3



 

 

 

Bài 4 Tìm c p s nhân lùi vô h n, bi t t ng S=6 Tìm hai s h ng đ u u1 u2 41

2

 

H ng d n:  

 

1

1 1

1 1

2





Bài 5 Gi i ph ng trình sau 2x 1 x2 x3 x4 x5  1 xn n 13

6

          v i x  1

H ng d n: Dãy s 2 3 4 5  n n

x , x ,x , x , , 1 x    là m t c p s nhân v i cơng b i q  x

ĐS x 1; x 7

  

Bài 6

a) Tính t ng    2 3  n 1

S 1 0,9   0,9  0,9  0,9  

b) Cho 0

4



   Tính t ng S 1 tan   tan2 tan3 

c) Vi t s th p phân vơ h n tu n hồn sau d i d ng phân s h u t

a = 0,272727 b = 0,999999999

n

b sin sin  sin    sin  v i k

2



    Tìm gi i h n dãy bn

H ng d n:

a) S 1 10

1 0,9



b) S 1

1 tan



2 3 4

3 2n 1 2 4

2 2

10 10 10 10

2 2 2 7 7 2 10 7 10 3

9 1

1

10 1

10





c) C p s nhân lùi vơ h n d) lim bn sin

1 sin





 

Bài 9 Tính

n số hạng n

n

a aa aaa a lim

10



  

H ng d n: Ta cĩ

 

n số hạng n số hạng n

n

n số hạng

n

n

10 1 100 1 10 1

a aa aaa a a 1 11 111 1 a

10 10 1 9n a

81

a aa aaa a 10a 10 1 9n 10a Vậy lim



 



  

D ng 6 Tìm gi i h n vơ cùng c a m t dãy b ng đ nh nghĩa

ớh ng pháp

 lim u   khi và ch khi un n cĩ th l n h n m t s d ng l n tu ý, k t m t s h ng nào

đĩ tr đi

 limun  lim( u ) n  

Ví d 1 Dùng đ nh nghĩa gi i h n c a dãy s Ch ng minh:

2

3 3

n 2

n 1





H ng d n:

2 2

n

2

3 2

3 3

n

a)Lấy số dương M lớn tùy ý

n 2 n 1

n 1 n 1

n 2 Chọnn M 1,n Khiđó: n n n M 1 u M.Vậy lim u

n 1 b)Ta có: 1-n (1 n)(n n 1) 1 n; n

Lấy số dương M lớn tùy ý





       

3

3 3

1 n M n M 1;chọnn M 1,n Khi đó: n n n M 1 u 1 n M Vậy :lim u

Ví d 2 Cho dãy (un) tho mãn un  n v i m i n Ch ng minh r ng lim u   n

Gi i

n

n

lim n vì vậy n lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng

nào đó trở đi mặt khác u n nên u lớn hơn một số dương bất kì kể

từ một số hạng nào đó

Vậy lim u



 



 

Ví d 3 Bi t dãy s (un) thỗ mãn unn2 v i m i n Ch ng minh r ng lim u   n

Gi i

2 2

2

Vì lim n nên n có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi

Mặt khác, theo giả thiết u n với mọi n, nên u cũng có thể lớn hơn một số dương tùy

y,ù k

 



n

ể từ số hạng nào đó trở đi Vậy lim u  

Ví d 4 Cho bi t limu   và n vnun v i m i n Cĩ k t lu n gì v gi i h n vn

H ng d n

n n n n n

n

lim u lim( u ) v u lim( v )

Vậy limv              

Ví d 5 Cho dãy s (un) h i t , dãy (vn) khơng h i t Cĩ k t lu n gì v s h i t c a dãy un vn

H ng d n: K t lu n dãy unvn khơng h i t

Th t v y:

n n

n n

n n

n

n n

Xét dãy u v , giả sử nó hội tụ nghĩa là lim u v a và limu b

Khi đó limu limv a

Vậy limv a limu

Vì limu b limv a b

Vậy(v ) là hội tụ, điều này không đúng

Vậy dãy u v

 

 không hội tụ

Ví d 6

a) Cho hai dãy (un) và (vn) Bi t limun   và vn u với mọi n n

n

Có kết luận gì về giới hạn của dãy (v ) khi n  + ?

b) Tìm limv với vn n   n!

H ng d n

a) Vì limun  nên lim(-u )n   Do đĩ un) cĩ th l n h n m t s d ng l n tu ý, k t m t s

h ng nào đĩ tr đi

M t khác, vì vnu với mọi n nên (-v ) ( u )với mọi n.n n   n (2)

T (1) và (2) suy ra (-vn) cĩ th l n h n m t s d ng l n tu ý, k t m t s h ng nào đĩ tr đi Do

đĩ lim( v ) n  hay limvn  

b) Xét dãy s (un)=-n

Ta cĩ:   n! n hay vn u với mọi n Mặt khác limun n lim( n)   T k t qu câu a) suy ra

n

limv lim( n!)  

D ng 7 Tìm gi i h n c a m t dãy b ng cách s d ng đ nh l quy t c tìm gi i h n vơ

c c

ớh ng pháp

Ví d 1 Tìm các gi i h n c a các dãy s  u v i n

3

a)u   n 50n 11; b)u  109n n ; c)u  105n 3n 27 ; d)u  8n n 2

Đáp s : a) ; b) ; c) ; d) 

Ví d 2 Tìm các gi i h n c a các dãy s  u v i n

3 4 2 2

n n n 2 n 3 3 2

2n 1 1 3n

Đáp s : a) ; b) ; c) ; d) 

Ví d 3: Tính các gi i h n

2 2

2 2

1

Ví d 4: Tính các gi i h n

n n 1

n n n

a)lim 3.2 5 10 ; b) lim ; c)lim



Đáp s : a) ; b) ; c) ;

M T S D NG TỐN NÂNG CAO {Tham kh o}

D ng 1 Tính gi i h n c a dãy s cĩ quy lu t

Ví d 1 :Tính các gi i h n sau:

 

H ng d n

2

1 n

n n

2

  

  

b) 1

2

Ví d 2 Tính các gi i h n sau

2 n

a) lim với a 1, b 1; b)lim

H ng d n

a)

n

1

1 b

1 a

S lim

1 1 a

1 b











b)

1 2n 1 n n

2

 

 

   

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1) n 2



H ng d n

Sử dụng:

2

k k 1 k 2 k k 1 k 1 k 2

1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 2 2 n 1 n 2

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1) n 2 2 2 n 1 n 2 4

Ví d 4 Tính gi i h n lim 1 2.32 1 3.42 1 n 1 n 22 

H ng d n

      

k 1 k 2 2

Ta thấy: 1

k k 1 k k 1

  

      

  

n

Vậy: 1 1 1 1

2.3 3.4 k k 1 n n 1

k 1 k 2 n 1 n 2

2.3 3.4 k k 1 n n 1 3 n 1

Vậy lim 1 1 1



Bài t p áp d ng: Tính các gi i h n sau

 

n

2 2 2

4 n

n

*

2 3 n n

1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1)

2.1 3.2 n 1 n

b) lim

n

2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1









H ng d n và đáp s

n

n

1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2 3 3 5 2n 1 2n 1

1 1 1 nên limS 1



n

2

n

2 2

n

b)Ta có: S 2.1 3.2 n 1 n 1 1 1 2 1 2 n 1 n

n n 1 n n 1 2n 1

S 1 2 n 1 2 n

n n 1 n n 1 2n 1

lim lim

4

 

2 2

n

n

n 1 n n n 1

c)Ta có:

n 1 n n n 1 n 1 n n n 1 n n 1

2 1 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1

n 2 3 n

n n 2 2 3 3 n n n 1

n 1

2 n 1 n 1 n 1 n 2 n 1

n n

d)Ta có: S

1 1

1 1 1 1 2n 1 1 2 2 2n 1 1 1 1 2n 1

1

2

Suy ra: S 1





    



          





  

 

n

2 n 1 n 3 n n

n n n n n

n

n

2n 1 S 3 1 2n 1

Vậy lim S 3

  

 









D ng 2 Dùng nguyên lí k p

ớh ng pháp

Cho ba dãy s (un), (vn) và (wn) N u

n n n

u v w với mọi n

Và limunlimwn L(L ) thìlimvn  L

n



Gi i

Ta th y:

 

 

 

 

 

 

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

n

2 2 2

n

1 2 n 1 2 n 1

2

n n 1

n n 1

n n 1 1

Mà lim

2

2 n 1

2





  











BÀI T P RÈN LUYÊN

Bài 1 Tính gi i h n c a các gi i h n sau:

 

n

n 2 2

n 2 2 2

1 3n sin2n cos2n

  

 





 



H ng d n và đáp s