Phần trắc nghiệm : Câu1 1đ: Cho phương trình x 1 1 x x Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau : A/ Phương trình vô nghiệm B/ Phương trình có duy nhất một nghiệm C/ Phương trình
Trang 1PhòngGD Huyện Thiệu Hoá Đề thi chon học sinh giỏi cấp huyện
Trường THCS Thiệu Thành Năm học 2006 - 2007
Môn : Toán học Lớp 9
Đề bài :
I Phần trắc nghiệm : Câu1 (1đ): Cho phương trình x 1 1 x x
Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau :
A/ Phương trình vô nghiệm B/ Phương trình có duy nhất một nghiệm C/ Phương trình có đúng hai nghiệm D/ Phương trình có vô số nghiệm
Câu2 (1,5đ): Cho a,b,c là các số dương ( a b ) với A = a b;B a.b
2
Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước khẳng định đúng :
a/ A B b/ B A c/ B A
) ( 8
2
B A
b a
) ( 8
2
B A
b a
Câu3 (1,5đ): Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng :
Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng
d1: y = x và d2 : y = 3 là:
3
3
x
Câu4 ( 1,5đ): Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng :
Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho cả hai số n và n + 1001 đều là các số chính phương : A/ 1024 B/ 1600 C/ 4624 D/ 250000 E/ các câu trên đều sai
Câu5 ( 1,5đ): Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng :
Diện tích của một tam giác ba đỉnh có toạ độ lần lượt (0 , 0) ; (-1 , 3) ; (3 , 1) là:
A/ 4 ; B/ 4 3 ; C/ 4 5 ; D/ 5 ; E/ các câu trên đều sai
II Phần tự luận :
1
1
x
x
1
1 4 1
1
2
2
x
x x x
x
2003
x x
a/ Rút gọn A
b/ Tìm x để 0 < A < 2
c/ Với những giá trị nguyên nào của x thì A có giá trị nguyên
Trang 2Câu7 (1,5đ): 1/ Cho hai số x, y thảo mản đẳng thức: 8x2 + y2 + 2 = 4
4
1
x
Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất 2/ Giải phương trình : x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0
Câu8 (2,5đ): 1/ Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 là các số nguyên tố
2/ Tìm x, y nguyên dương sao cho: x + y = 48
Câu9 (4đ): Cho ∆ AHC có 3 góc nhọn, đường cao HE , trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia
CB vuông góc với HE Hai trung tuyến AM và BK của ∆ ABC cắt nhau tại I Hai trung trực
của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tại O
a/ Chứng minh : ∆ ABH ഗ ∆ MKO
b/ Chứng minh :
4
2 3
3 3
3 3 3
IB IH IA
IM IK IO
Câu10 (2đ): Cho a,b,c là số đo ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
abc ( b + c - a )( a + c - b )( a + b - c )
Trang 3Hướng dẫn chấm:
I/ Trắc nghiệm:
Câu1 (1,5đ): Đáp án : C đúng
Câu2 (1,5đ): Mỗi ý đúng cho 0,5 điểm : a/ Đúng ; b/ Sai ; c/ Đúng
Câu3 (1,5đ): Đáp án : C đúng
Câu4 (1,5đ): Giả sử n = h2 và n + 1001 khi đó k2 - h2 = ( k - h )( k + h ) = 1 + 1001
=> h = 500 vậy đáp án đúng là D
Câu5 (1,5đ): Đáp án D
II/ Tự luận :
Câu6 (3đ):
Điều kiện: x 1 ; 1; -2003 ( 0,5đ)
a (1,5) A =
x
x 2003
b.(1đ) 0 < A <2 => x < - 2003
c (1đ) x = 2003 và x = - 2003
Câu 7(2đ)
1/ (1đ) 8x2 + Y2 + 2 = 4
4
1
x
<=> (4x2 + 2 - 2) + (4x2 + y2 + 4xy) - 4xy - 2 = 0 (0,25đ)
4
1
x
=> 4xy = (2x - 2 )2 + (2x + y )2 - 2 - 2 (0,25đ)
2
1
=> xy - <=> 2x - = 0 và 2x + y = 0 (0,25đ)
2
1
2 1
Vậy Min xy - <=> (x; y) { ( ; -1) , (- ; 1)} (0,25đ)
2
1
2
1
2 1
2/ (1đ) Ta thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT => x - 1 0 (0,5đ)
Nhân hai vế của PT với x - 1 ta được x5 - 1 = 0 <=> x = 1 không thoả mản điều kiện trên
Vây PT vô nghiệm (0,5đ)
Câu 8(2đ):
1/ (1đ) Với P = 2 và P = 3 không thảo mản bài toán
Giả sử P = 5k + r , k Z và r là một trong các số: 0, 1, 2, 3, 4 (0,25đ)
4p2+1 = 100k2 + 40kr + 4r2+1
6p2+1 = 150k2 + 60kr + 6r2+1 (0,25đ)
Trang 4Từ đó ta có nhận xét sau:
- Nếu r = 0 suy ra p phải chia hết cho 5, 4p2+1 và 6p2+1 không chia hết cho 5
- Nếu r = 1 suy ra 4p2+1 chia hết cho 5, 6p2+1 không chia hết cho 5
- Nếu r = 2 suy ra 6 p2+1chia hết cho 5 , p và 4p2+1chia hết cho 5
- Nếu r =3 suy ra 6p2+1 chia hết cho 5 ; p và 4p2+1 không chia hết cho 5
- Nếu r = 4 suy ra 4p2+1 chia hết cho 5 ; p và 6p2+1 không chia hết cho 5 (0,25đ) Chứng tỏ: trong 3 số p; 4p2+1; 6p2+1 có đúng một nghiệm chia hết cho 5 mà p là số nguyên
tố nên p =5 Khi đó 4p2+1 = 101 ; 6p2+1 = 151 là số nguyên tố
Vậy có duy nhất một số nguyên tố p =5 (0,25đ) (1đ) 2/(1đ) x + y = 48
<=> x + y = 4 3
Vì x, y nguyên dương và vai trò như nhau (0,25đ)
Giả sử x < y => x và y có dạng x = a 3 , y= b 3 với a + b = 4( 0,25đ)
(a, b N, a b) => a = 1 và b = 3 hoặc a =2 và b = 2 (0,25đ)
Vậy giá trị x, y nguyên dương cần tìm là ( 3; 27), (12; 12) (0,25đ)
Câu 9(4đ) : Vẽ hình, viết giả thiết kết luận (0,5đ)
∆ AHC nhon, HE AC (E AC);
GT CB AH (B HE); BM = MC; AK = KC;
AM cắt BK tại I; OK AC; OM BC
KL a/ ∆ ABH ഗ ∆ MKO
b/
4
2 3
3 3
3 3 3
IB IH IA
IM IK IO
Chứng minh
a/(2đ) Ta có : MO// HA (vì cùng BC); OK// BE (vì cùng AC)
=> KOM = BHA (góc nhọn có cạnh tương ứng song song) (1) (0.75đ)
MK//AC (vì M là trung điểm của BC, K là trung điểm của AC Nên MK là đường trung bình của ∆ ABC) => HAB = KMO (góc nhọn có cạnh tương ứng song song) (2) (0.75đ)
Từ (1) và (2) => ∆ ABH ഗ ∆ MKO (0.5đ)
b/(1,5đ) Theo câu (a) ta có ∆ ABH ഗ ∆ MKO => (0.25đ)
2
1
AB
MK AH
MO
A
E
Trang 5Xét ∆ AIH và ∆ MIO có : (do I là trọng tâm của ∆ ABC ) và OMI = HAI
2
1
AI
MI AH
(so le trong) (0.25đ)
=> ∆ AIH ഗ ∆MIO => (0.25đ)
2
1
IH IO
IA
IM
IH IO
2
1
IB IK
IA
IM IH
IO
33
IB
IK
3 3 3
3 3 3
IB IA IH
IK IM IO
8 1
=> 33 33 33 = (0.25đ)
IB IA IH
IK IM IO
4 2
Câu 10(2đ):
Vì a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác nên: (0.3đ)
) )(
(bca bca b (ac).b (ac) 2 2
) (a c
b
Tương tự: (bca)(cab) c (2) (0.3đ)
a (3) (0.3đ)
) )(
(cab abc
Nhân vế với vế của (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh (0.3đ)
Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức là tam giác đều (0.4đ)
