GIẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ đh KTQD

b Thiết lập hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị của nó a X là số ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có X = 0, 1, 2 a Tìm quy l

GI ẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤT

Chương 2

TS Nguy ễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

7/2016 version 3

Giải bài tập sách ‘‘Bài tập Xác suất và Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD

07/2016 version 2 Bài tập có sự giúp đỡ của SV K52, K53 Có nhiều chỗ sai sót mong được góp ý: nnvminh@yahoo.com

facebook.com/nnvminh

CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN

ứng bằng 0,1 và 0,2 Gọi X là ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc

a) Tìm quy luật phân phối xác suất của X

b) Thiết lập hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị của nó

a) X là số ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc

X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có X = 0, 1, 2

a) Tìm quy luật phân phối xác suất của số bộ phận bị hỏng

b) Thiết lập hàm phân bố xác suất của X

c) Tính xác suất trong thời gian t có không quá hai bộ phận bị hỏng

3

d) Tìm mốt mo và trung vị md.

a) Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian làm việc t

X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các trị số có thể xảy ra X= 0, 1, 2, 3

d) Từ hàm phân bố xác suất dễ dàng nhận thấy trung vị: md =1

Giá trị Mốt m0 là giá trị có xác suất lớn nhất => mo = 1

trắng Tìm quy luật phân phối xác suất của số quả cầu được lấy ra

X gồm 3 giá trị 1, 2, 3 (vì đến quả thứ 3 chắc chắn lấy được cầu trắng và kết thúc quá trình lấy)

Xác suất lấy được 1 quả cầu: 3 0, 6

5 

Xác suất lấy được 2 quả cầu (quả cầu 1 là đen, quả cầu 2 là trắng): 0, 3

5 4

2 3 Xác suất lấy được 3 quả cầu (quả cầu 1 là đen, quả cầu 2 là đen, quả cầu 3 là trắng): 2 1 3 0,1

5 4 3

Ta có quy luật phân phối xác suất:

trúng bia Tìm quy luật phân phối xác suất của viên đạn bắn trượt

Lại có: Gọi A = “Biến cố bắn trúng bia” có P(A) = 0,8 = p và P( A ) = 0,2 =q

a) Gọi X là “số chính phẩm được lấy ra từ hộp 2” nhận 3 giá trị 0;1;2

Gọi Hi là “số chính phẩm lấy từ hộp 1 sang hộp 2 là i” với i = 0;1;2

Ta có: P(H0) =

0 2

8 2 2 10

C C

C =

2845

P(X=0|H0) =

0 2

7 5 2 12

C C

C =

366

P(X=1|H0) =

1 1

5 7 2 12

C C

C =

2766

ném trúng của từng người lần lượt là 0,3 và 0,4 Người thứ nhất ném trước

a) Tìm qui luật phân phối xác suất của số lần ném rổ cho mỗi người

b)Tìm qui luật phân phối xác suất của tổng số lần ném rổ của cả 2 người

bảng phân bố xác suất như sau:

P 0,05 0,12 0,17 0,08 0,12 0,20 0,07 0,02 0,07 0,02 0,03 0,05

a) Tìm số xe máy trung bình bán ra mỗi tuần

b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của số xe máy bán được mỗi tuần và giải thích ý nghĩa của kết quả

Bài 2.9 Cho X1, X2, X3 là các biến ngẫu nhiên độc lập và có bảng phân phối xác xuất của chúng như sau:

E(X) = 0,2.20 + 0,3.25 + 0,15 30 + 0,1.35 + 0,25.40 = 29,5

* Phương sai của số khách đi mỗi chuyến là:

V(X) = E(X2) – E2(X) = 0,2.202 + 0,3.252 + 0,15.302 + 0,1.352 + 0,25.402 – (29,5)2 = 54,75

Độ lệch chuẩn của số khách đi mỗi chuyến là:

9

E(X)= V(X)= 3; E(Y)= V(Y)= 2

a) Tính E(Z) và V(Z) biết Z= (3X – 2Y)/5

phương sai số lần bắn trúng bia

X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể xảy ra X = 0, 1, 2, 3

sau:

Số cửa hàng tương ứng 10 12 16 14 a) Xây dựng bảng phân phối xác suất và hàm phân bố xác suất của số nhân viên bán hàng tại mỗi cửa hàng

b) Tìm số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng và phương sai tương ứng

a) Đặt X là số nhân viên của một cửa hàng, ta có:

Bảng phân phối xác suất:

52

P   2 12

5

31

P   3 16

5

4132

P   4 14

5

72

2619

xác suất P2 = 0,3 và x3 với xác suất P3 Tìm x3 và P3 biết E(X) = 8

E(X) = 8 = 0,5.4 + 0,6.0,3 + x3.0,2 hay 0,2.x3 = 5,82

Do đó X3 = 29,1

tương ứng p1, , p2 p bi3 ết rằng E(X)= 0,1 và E(X2)=0,9

(lấy không hoàn lại)

a) Gọi X là “số phế phẩm có thể gặp phải” Lập bảng phân phối xác suất của X

c) Y: “số chính phẩm có thể gặp phải” Ta có X+Y=2 Vì X nhận 2 giá trị 0, 1 nên tương ứng Y cũng

V(Y)= E(Y2) – E2(Y) = 0,4+22.0,6-1,62=0,24

thì doanh thu bình quân hàng tuần của cửa hàng đó là bao nhiêu ?

Doanh thu trung bình của cửa hàng = 12.E(X) = 12.4,33 = 51,96 (triệu đồng)

thuộc vào số khách đi trên xe thì để công ty xe buýt có thể thu được lãi bình quân cho mỗi chuyến xe là

100 ngàn đồng thì phải quy định giá vé là bao nhiêu?

Thống kê số khách trên 1 ô tô buýt tại một tuyến giao thông thu được các số liệu sau:

* Với câu hỏi của bài tập 2.19,

Ta gọi a là giá vé quy định, theo đề bài:

a.E(X) = 200+100 Suy ra a = 300/E(X) = 300/29,5 = 10,17

Vậy phải quy định giá vé là 10,17 nghìn đồng

phối xác suất như sau:

Xác suất tương ứng 0,5 0,1 0,2 0,2 a) Nếu mỗi sản phẩm được bán với giá 110 ngàn đồng và nhân viên bán hàng được hưởng 10% trên

số sản phẩm bán được thì số tiền hoa hồng bình quân mà nhân viên bán hàng được hưởng từ mỗi khách hàng là bao nhiêu

b) Tìm phương sai của số tiền hoa hồng đó và nêu ý nghĩa của kết quả thu được

13

Kỳ vọng toán cho số sản phẩm bán được:

E(X) = 0.0,5 + 1.0,1 + 2.0,2 + 3.0,2 = 1,1

Mỗi sản phẩm bán với giá 110 ngàn đồng thì số tiền bình quân thu được từ mỗi khác hàng = 1,1 110 =

121 ( ngàn đồng )

Nhân viên bán hàng được hưởng 10% trên số sản phẩm bán được

Số tiền hoa hồng bình quân mà nhân viên bán hàng được hưởng từ mỗi khách hàng là:

Gọi Y là biến ngẫu nhiên số tiền hoa hồng nhận được thì Y = 10%.110X=11X (đơn vị ngàn)

Phương sai của số tiền hoa hồng:

V(Y) = V(11X) = 112.1,49= 180,29

Ý nghĩa của kết quả:

Số tiền mà nhân viên nhận được hoa hồng khi bán cho 1 khách không đồng đều

phân phối xác suất sau:

a) Chứng tỏ rằng các xác suất Px tạo nên 1 bảng phân phối xác suất

b) Tìm tỉ lệ khách hàng bình quân phản ứng tích cực với quảng cáo đó

c) Tìm xác suất để có trên 20% khách hàng phản ứng tích cực với chiến dịch quảng cáo

a) Ta thấy: P(X=0)+P(X=10)+P(X=20)+P(X=30)+P(X=40)+P(X=50)=0,1+0,2

+0,35+0,2+0,1+0,05=1

Do đó các Px tạo nên 1 bảng xác suất

b) Tỉ lệ bình quân khách hàng phản ứng tích cực với quảng cáo đó chính là kì vọng:

E(X)=0,1.0+0,2.10+0,35.20+0,2.30+0,1.40+0,05.50=21,5

c) Xác suất để có trên 20% khách hàng phản ứng với chiến dịch quảng cáo là:

Pc= 0,2+0,1+0,05=0,35

Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)

a) Tìm bảng phân phối xác suất của X

b) Tìm hàm phân bố xác suất của X

c) Giá trị nào của X có khả năng xảy ra nhiều nhất

336

436

536

636

536

436

336

236

136b)

c) Từ bảng phân bố xác suất ta thấy mo = 7

đầu tư vào một công ty là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

a) Tìm xác suất để khi đầu tư vào công ty đó thì sẽ đạt được lãi suất ít nhất là 12%

b) Tìm lãi suất có thể hy vọng khi đầu tư vào công ty đó

c) Mức độ rủi ro khi đầu tư vào công ty đó có thể đánh giá bằng cách nào?

a) X là lãi suất đầu tư vào công ty ta có

Xác suất để khi đầu tư thu được lãi suất ít nhất 12% là:

tư tương ứng là 0,2; 0,4 và 0,5 Hỏi thời gian trung bình phải ngừng trên đường là bao nhiêu, biết rằng

mỗi khi gặp đèn đỏ người ấy phải dừng 3 phút

Gọi Y là thời gian phải dừng đèn đỏ  Y = 3X

Vậy: E(Y) = 3E(X) = 3.1,1 = 3,3 (phút)

thống kê là 10% Có thể làm xét nghiệm theo 2 phương pháp:

Phương pháp 1: Xét nghiệm từng người

Phương pháp 2: Lấy máu 10 người một trộn lẫn làm một xét nghiệm Nếu kết quả xét nghiệm là âm tính (vô trùng) thì thông qua 10 người không ai mắc bệnh Nếu kết quả xét nghiệm là dương tính (có trùng) thì

chứng tỏ trong 10 người có ít nhất 1 người mắc bệnh Lúc đó phải làm thêm 10 xét nghiệm lẻ để phát hiện các con bệnh cụ thể

Hỏi làm theo cách nào lợi hơn?

Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)

Gi ải: Theo phương pháp 1 thì phải làm 5000 xét nghiệm

Theo phương pháp 2 thì gọi X là số xét nghiệm phải làm đối với từng loạt 10 người

X=1 (nếu kết quả xét nghiệm là âm tính) và X=11 (nếu kết quả là dương tính)

P1= P(X=1)= = 10 10

0, 9 (1 0,1) (10 người không mắc bệnh)

P2= P(X=11)= 1 P1= 1 0, 9 (có ít nh10 ất 1 người mắc bệnh)

Từ đó E(X) 7,5 tức là trung bình phải làm 7,5 xét nghiệm

Vậy tổng số xét nghiệm phải làm là: 5000

10  7,5  3750 xét nghiệm Như vậy làm theo phương pháp 2 lợi hơn phương pháp 1 là 25%

b) Tìm xác suất để nhu cầu về loại hàng đó không vượt quá 12000 sản phẩm một năm

c) Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng đó

suất như sau ( đơn vị phút ) 3 2

b) Tìm thời gian xếp hàng trung bình

c) Tìm xác suất để trong 3 người xếp hàng thì có không quá 2 người phải chờ quá 0,5 phút

1 2

Xác suất để cả 3 người xếp hàng phải chờ quá 0,5 phút là 0.5 nên 3

Xác suất để có không quá 2 trong 3 người nào đó xếp hàng phải chờ quá 0.5 phút:

2 2

Hãy xác định mức thu nhập sao cho lấy ngẫu nhiên một người ở vùng đó thì thu nhập người này vượt quá

mức trên với xác suất 0,5

này vượt quá a, với xác suất 0,5

Tìm xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (0, / 4)

2

/ 42

Theo công thức Bernoulli, xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (0; / 4) là:

2 2

a) Hàm số trên có phải là hàm mật độ xác suất không ?

b) Nếu có thì tìm xác suất để trong 3 phép thử độc lập có ít nhất một lần X nhận giá trị trong khoảng (1;2)

0

310

f x F x

x

a arctg

b) Tính tỷ lệ mắc bệnh trung bình và phương sai

y=f(x)

y

y

bán bảo hiểm cho người ở độ tuổi đó với số tiền là 10 ngàn đồng và trong trường hợp người đó chết thì sẽ bồi thường 1 triệu đồng Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty khi bán một thẻ bảo hiểm

Ta có bảng phân phối xác suất:

Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)

Số tiền lãi trung bình là: E(X) = 10000.0,995 – 990000.0,005 = 5000

Với mỗi bảo hiểm bán được công ty sẽ lãi trung bình 5000 đồng

như sau:

a) Tìm xác suất để giá đường vào một ngày nào đó sẽ đạt ít nhất là 0,8USD/fao

b) Tìm xác suất để giá đường vào một ngày nào đó sẽ thấp hơn 0,82USD/fao

c) Giả sử giá hàng ngày của đường là độc lập nhau Tìm xác suất để trong hai ngày liên tiếp giá đường đều cao hơn 0,8USD/fao

c) X1 là biến cố giá đường ngày thứ nhất

X2 là biến cố giá đường ngày thứ hai

P(X1>0,8) = P(X2>0,8) = 0,4 + 0,15 + 0,05 = 0,6

Vì giá hàng ngày của đường độc lập với nhau nên xác suất để giá đường trong hai ngày liên tiếp cao hơn 0,8 USD/fao là:

P(X1>0,8).P(X2>0,8) = 0,6.0,6 = 0,36

như sau (đơn vị triệu đồng)

a) Tìm mức lợi nhuận có khả năng nhiều nhất khi đầu tư vào dự án đó

b) Việc đầu tư vào dự án này có hiệu quả hay không? Tại sao?

c) Làm thế nào để đo được mức độ rủi ro của vụ đầu tư này? Hãy tìm mức độ rủi ro đó

phân phối xác suất như sau:

Như vậy, đầu tư vào công ty A thì rủi ro cao hơn

Phương án 1: Trả 5 triệu bất kể thắng hay thua kiện

Phương án 2: Trả 100 ngàn đồng nếu thua kiện và 15 triệu đồng nếu thắng kiện

Luật sư đã chọn phương án 2 Vậy theo đánh giá của luật sư thì khả năng thắng kiện của công ty tối thiểu

là bao nhiêu?

luật sư đánh giá ở phương án này Ta có bảng phân phối xác suất của X là:

Vậy theo đánh giá của luật sư thì khả năng thắng kiện tối thiểu của công ty là 0,329

trung bình khách hàng đòi bồi thường là 600 ngàn đồng Công ty hàng không muốn tăng thêm giá vé để

bù đắp cho số tiền phải bồi thường cho số hành lý bị mất Vậy công ty nên tăng thêm giá vé là bao nhiêu?

Tại sao?

29

nên E(X)= 600 0,005= 3 (ngàn đồng) là số tiền vé tăng thêm

phân phối xác suất như sau:

a) Tìm xác suất để trong tháng tới xưởng đó sẽ đóng được từ 4 đến 7 con thuyền

b) Tìm hàm phân bố xác suất của X

c) Dùng hàm phân bố xác suất hãy tính xác suất để trong tháng tới xưởng sẽ đóng được không quá 6 con thuyền

d) Số thuyền có khả năng nhiều nhất mà xưởng có thể đóng được trong tháng tới là bao nhiêu? e) Giả sử việc đóng thuyền có chi phí cố định hàng tháng là 25 triệu đồng và chi phí bổ sung cho mỗi con thuyền là 5 triệu đồng Hãy tìm chi phí bình quân hàng tháng của xưởng đó

a) Tìm xác suất để trong một tháng người công nhân đó làm ra không quá 4 sản phẩm hỏng

b) Giả sử số sản phẩm mà người công nhân đó phải làm bù bằng bình phương số sản phẩm hỏng mà người đó đã làm trong tháng Tìm số sản phẩm phải làm bù bình quân mỗi tháng của người công nhân đó

a) X là biến ngẫu nhiên số sản phẩm hỏng, ta có:

( 4) 0,01 0,09 0,30 0,20 0, 20 0,80

b) Số sản phẩm hỏng bình quân mà người công nhân làm bù trong 1 tháng nào đó là X 2

Số sản phẩm phải làm bù bình quân mỗi tháng là:

a) Tìm xác suất để đại lý đó bán được ít nhất 4 xe trong một tuần

b) Giả sử chi phí cho hoạt động của đại lý bằng căn bậc hai của số xe bán được nhân với 3 triệu Tìm chi phí trung bình cho hoạt động của đại lý mỗi tuần

P X  P X  P X    

b) Chi phí cho hoạt động của đại lý trong một tuần là: Y 3 X

Chi phí trung bình cho hoạt động của đại lý mỗi tuần là:

3.(0.0,1 1.0,1 2.0, 2 3.0, 2 2.0, 3 5.0,1)

được có phân phối xác suất như sau:

31

Số bánh bán được (X) 400 500 600 700 800 900

a) Tìm trung bình và độ lệch chuẩn của số bánh bán được

b) Nếu cửa hàng đặt mua 600 chiếc thì xác suất bán hết bánh là bao nhiêu, xác suất còn thừa lại là bao nhiêu

c) Để có thể chắc chắn đến 95% là sẽ đủ bánh bán thì cửa hàng cần đặt mua bao nhiêu chiếc bánh

Vậy cửa hàng phải đặt ít nhất 700 chiếc bánh

Tính số tiền lãi kì vọng của người mua vé số biết giá vé là 5000 đồng

làm ăn thuận lợi có thể mang lại lãi suất đến 14% còn nếu gặp khó khăn thì lãi suất có thể giảm đến mức

Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)

4% Trong khi đó nếu gửi tiền vào ngân hàng thì lãi suất đảm bảo sau một năm là 8% Vậy nếu dùng tiền

để đầu tư thì khả năng có lãi hơn gửi ngân hàng là bao nhiêu

X là biến ngẫu nhiên liên tục phân phối theo quy luật đều trên đoạn [4;14]

Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 2,5 ngàn và bán ra với giá 4 ngàn Nếu bị ế đến cuối ngày thì phải bán

hạ giá còn 1,5 ngàn mới bán hết được Vậy phải đặt mua hàng ngày bao nhiêu kg thực phẩm để có lãi

nhất

Số kg thực phẩm thị trường cần là X, có bảng phân bố xác suất là:

Vậy để có lãi nhiều nhất chọn nhập i = 32kg

0 0

0

3( ) '( )

x cosx

tiền cho 5 đợt giao hàng vừa qua với số lượng hàng của các đợt không khác nhau nhiều lắm Trong số 5

giấy đòi nợ này (mỗi giấy viết riêng cho từng đợt) có 2 giấy ghi sai số tiền phải thanh toán Do đến hạn phải trả nợ ngân hàng, công ty yêu cầu xí nghiệp thanh toán ngay cho 3 đợt bất kì trong 5 đợt giao hàng ngày Kế toán viên của xí nghiệp lấy ngẫu nhiên cùng một lúc ra 3 giấy để kiểm tra và làm các phiếu chi Tính xác suất để trong 3 giấy lấy ra đó có ít nhất một giấy ghi sai số tiền phải thanh toán

A là biến cố trong 3 giấy lấy ra không có giấy nào ghi sai

( ) 1 ( )

P A  P A

Vậy xác suất để trong 3 giấy lấy ra có ít nhất một giấy ghi sai số tiền thanh toán là 0,9

thấy có giấy đòi nợ nào trong số 3 tờ giấy được lấy ra mà ghi sai số tiền thì xí nghiệp có quyền hoãn trả số

nợ của đợt giao hàng đó Mỗi giấy hoãn trả sẽ làm thiệt cho công ty khoảng 5 triệu đồng do phải trả lãi nợ quá hạn cho ngân hàng

Hãy xác định số tiền thiệt hại trung bình có thể xảy ra đối với công ty do phải trả lãi nợ quá hạn

Gọi các biến cố như bài 2.62

độ xác suất như sau: ( ) 0 1002

Tìm xác suất để có 2 trong số 5 van điện này bị thay thế trong 150h hoạt động đầu tiên biết rằng việc

hỏng của các van điện là độc lập với nhau

Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)