Bài tập về nhà: Một số dạng toán về tứ diện36027

Ch ng minh HK⊥SBC và SBC ⊥ BHK.

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 1

BTVN M T S D NG TOÁN V T DI N Bài 1: T di n SABC có SA⊥mp ABC( ) G i H, K l n lư t là tr ng tâm c a các tam giác ABC và SBC

1 Ch ng minh SC vuông góc v i mp(BHK) và (SAC) (⊥ BHK)

2 Ch ng minh HK⊥(SBC) và (SBC) (⊥ BHK)

Gi i:

1 Vì H là tr c tâm tam giác ∆ABC⇒BH⊥ AC, theo gi thi t

SA⊥mp ABC( )⇒BH ⊥SA Nên BH⊥mp SAC( )⇒SC⊥BH

Do K là tr c tâm SBC∆ ⇒BK ⊥SC

T ñó suy ra SC⊥mp BHK( )⇒ mp BHK( )⊥mp SAC( ) (ñpcm)

2 Tương t như trên ta cũng ch ng minh ñư c: SB⊥mp CHK( )⇒SB⊥HK

Mà SC⊥mp BHK( )⇒SC⊥HK Do ñó: HK⊥mp SBC( )⇒mp SBC( )⊥mp BHK( )

Bài 2: Cho t di n ABCD v i AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c G i I và J l n lư t là

trung ñi m c a AB và CD Hãy tính ñ dài ño n vuông góc chung c a AB và CD

Gi i:

Ta th y ngay ∆ ABC = ∆ ABD nên 2 trung tuy n CI và BD b ng nhau hay ∆ ICDcân t i I

Nên ta có IJ CD ⊥

CM tương t ta có: IJ ⊥ AB v y IJ chính là ño n vuông góc chung c a AB và CD

Tính IJ: Áp d ng công th c trung tuy n và ta tính IJ ñư c k t qu là:

IJ

2

b + c − a

=

Bài 3: Tính th tích kh i t di n ABCD bi t AB=a AC, =b AD, =c và các góc ∠BAC, ∠CAD,∠DAB

ñ u b ng 60

Gi i:

Không m t tính t ng quát ta gi s a = min , , { a b c }

Trên AC, AD l y l n lư t hai ñi m C1, D1 sao cho AC1 = AD1 = a, t gi thi t suy ra t di n ABC1D1 là t

di n ñ u c nh a nên có 1 1 2 3

12

ABC D

Theo công th c t s th tích: 1 1

2

1. 1

ABC D

ABCD

2 1 1 2

12

ABCD ABC D

a

Bài 4: Cho tam di n vuông góc Oxyz L n lư t l y trên Ox, Oy, Oz ba ño n OA=a, OB=b, OC=c G i α,

β,γ là s ño các nh di n c nh BC, CA, AB

a) CMR: cos2α+cos2β +cos2γ =1

b) CMR: (S∆ABC)2=(S∆OBC)2+(S∆OCA)2+(S∆OAB)2

Gi i:

a) K CH ⊥ AB ⇒ OH ⊥ AB ⇒ ∠ OHC = γ Ta có: 2 2

2

os OH os OH

Tương t và ta tính ñư c: cos2α+cos2β+cos2γ = 1

b) Áp d ng công th c di n tích hình chi u ta có:

cos cos ( ) ( ) ( ) ( ) cos

OBC ABC

OCA ABC

OAB ABC

S

S

α β γ



=





∆

∆

∆

Bài 5: Trong m!t ph"ng (P) cho hình vuông ABCD c nh a L y M,N thu c CB và CD ð!t CM=x,

CN=y L y S ∈ At ⊥ ( ) P Tìm h th c gi$a x, y ñ :

a) ∠((SAM),(SAN))=450

b) ( SAM ) ( ⊥ SMN )

Gi i:

a) ∠ ( ( SAM ), ( SAN ) ) = ∠ MAN

Ta có: MN2 = MA2+ NA2− 2 MA NA cos ∠ MAN

Ta tính ñư c:

2 2 2

( )

MN x y

MA a a x MAN x y a x y a axy x y

NA a a y



= +



= + − ⇒ ∠ = ⇔ + + = + −



= + − 

b) Gi s ( SAM ) ⊥ ( SMN )

K NM'⊥SM ⇒NM' (⊥ SMA)⇒NM'⊥SA Nhưng SA MN⊥ nên NM’ trùng v i NM hay M’trùng v i M

Bài 6: Cho hình T di n S.ABC có các góc ph"ng % ñ nh S vuông

1 Ch ng minh r ng:

3

2 Cho SA=a, SB+SC=k ð!t SB=x Tính th tích t di n S.ABC theo a,k,x Xác ñ nh SB,SC ñ

th tích t di n S.ABC Max

Gi i:

1. G i H là tr c tâm ABC , N i dài AH c&t BC t i K ⇒ AH ⊥BC( )1



T (1) và (2) ta có: BC⊥(SAH) (≡ SAK)⇒BC⊥SH

Ch ng minh tương t ta cũng có: AC⊥SH ⇒SH⊥( ABC ) Tam giác SAK vuông, chi u cao SH nên:

2

2 2

SK BC KH BC KA.BC

Tương t : (S SAB)2 =(S ABC)(S HAB) (; S SAC)2 =(S HAC)(S ABC)

C ng các v v i nhau ta có: (S SAB)2+(S SBC)2+(S SAC)2 =(S ABC)2

Theo BðT Côsi ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) (( )2 ( )2 ( )2)

2

2

SABC

SABC

ak

Ngu n: hocmai.vn