Đại số và giải tích – Hình học 11 (các công thức cơ bản)35272

2.Dùng ñư#ng tròn lư ng giác.

Trang 1

Đ I S và GI I TÍCH – HÌNH H C 11

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 1

Đ I S 11 – CHƯƠNG 0 : CÔNG TH C LƯ NG GIÁC

I Giá tr lư ng giác c a góc (cung) lư ng giác

1 Đ nh nghĩa các giá tr lư ng giác

α

Nh n xét:

• ∀α − ≤ α≤ − ≤ α ≤

• tanα xác ñ nh khi α≠π + π ∈ • cotα xác ñ nh khi α≠ π ∈

2 D u c a các giá tr lư ng giác

Ph n tư

3 Giá tr lư ng giác c a các góc ñ c bi t

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

α

4 H th c cơ b n:

α+ α= ; α α =

α

5 Giá tr lư ng giác c a các góc có liên quan ñ c bi t

− =

+ =

+ = −

II Công th c lư ng giác

1 Công th c c ng

+ + =

−

− = +

Trang 2

2 Công th c nhân ñôi

• α= α α • α = α− α = α− = − α

α

=

α

−

=

α α

α

−

= +

=

−

= +

α

−

=

−

2 Công th c bi u di n sina, cosa, tana theo t = α:

α = +

α = − + α = −

3 Công th c bi n ñ i t ng thành tích

− = −

+

−

+

−

α+ α = α+ = α− 

α− α= α− = − α+ 

4 Công th c bi n ñ i tích thành t ng

Đ I S 11 – CHƯƠNG 1 : HÀM S LƯ NG GIÁC –

PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC

I –HÀM S LƯ NG GIÁC

T P XÁC Đ NH, T P GIÁ TR , TÍNH CH!N – L", CHU KỲ

=

*T p xác ñ nh D = R;

*T p giá tr = − ; hàm l

*Chu kỳ = π

*y = sin(ax + b) có CK : = π

* y = sin(f(x)) xác ñ nh

⇔ xác ñ nh

=

*TXĐ : D = R

*T p giá tr = − ; hàm ch n,

* Chu kỳ = π

* y = cos(ax + b) có CK : = π

* y = cos(f(x)) xác ñ nh

⇔ xác ñ nh

=

*TXĐ = π+ π ∈ 

*T p giá tr T = R, hàm l ,

* Chu kỳ =π

*y = tan(ax + b) có chu kỳ = π

*y = tan(f(x)) xác ñ nh

π

=

*TXĐ = { π ∈ };

*T p giá tr T = R, hàm l

*Chu kỳ =π

*y = cot(ax + b) có chu kỳ = π

*y = cot(f(x)) xác ñ nh

π

* y = f 1 (x) có chu kỳ T1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T2 thì hàm s

= ± có chu kỳ T0 là b i chung NN c a T1 và T2

Trang 3

Đ$ TH C%A HÀM S LƯ NG GIÁC

1) V& ñ' th hàm s lư ng giác:

– Tìm t p xác ñ nh D – Tìm chu kỳ T0 c a hàm s

– Xác ñ nh tính ch n – l (n u c n)

– L p b ng bi n thiên trên m t ño n có ñ dài b ng chu kỳ T0 có th

ch n : ∈   ho c

∈ − 

 … – V ñ th trên ño n có ñ dài b ng chu kỳ

– R i suy ra ph n ñ th còn l i b ng phép t nh ti n theo vectơ =

v bên trái và ph i song song v i tr c hoành Ox (v i là véc tơ ñơn

v trên tr c Ox)

2) M t s phép bi n ñ i ñ' th :

a) T ñ th hàm s y = f(x), suy ra ñ th hàm s y = f(x) + a b ng cách

t nh ti n ñ th y = f(x) lên trên tr c hoành a ñơn v n u a > 0 và t nh

ti n xu ng phía dư i tr c hoành a ñơn v n u a < 0

b) T ñ th y = f(x), suy ra ñ th y = –f(x) b ng cách l y ñ i x ng ñ th

y = f(x) qua tr c hoành

c) Đ th = = ≥

 ñư c suy t ñ th y = f(x)

b ng cách gi nguyên ph n ñ th y = f(x) phía trên Ox và l y ñ i

x ng ph n ñ th y = f(x) n m phía dư i tr c hoành qua Ox

Ví d 1: V& ñ' th hàm s y = f(x) = sinx

– T p xác ñ nh: D = R – T p giá tr : − 

– Chu kỳ: T = 2π –B ng bi n thiên trên ño n  π

y

1

0

–1

– T nh ti n theo véctơ = π ta ñư c ñ th y = sinx

Nh n xét:

– Đ th là m t hàm s l nên nh n g c t a ñ O làm tâm ñ i x ng

– Hàm s ĐB trên kho ng  π

  và ngh ch bi n trên

π π

Ví d 2: V& ñ' th hàm s y = f(x) = cosx

– T p xác ñ nh: D = R – T p giá tr : −  – Chu kỳ: T = 2π – B ng bi n thiên trên  π

– T nh ti n theo véctơ = π ta ñư c ñ th y = cosx

Nh n xét:

– Đ th là m t hàm s ch n nên nh n Oy làm tr c ñ i x ng

– Hàm s ĐB trên kho ng  π

  và NB trên kho ng

π π

–1

0

π

–1

π

−

–1

Trang 4

Ví d 3: V& ñ' th hàm s y = f(x) = tanx

– T p xác ñ nh: D = R π+ π ∈ 

  – T p giá tr : R

– Gi i h n:

π

→± = ∞ ⇒ = ±π là ti m c n ñ ng

– Chu kỳ: T = π – B ng bi n thiên trên −π π

  :

– T nh ti n theo véctơ = π ta ñư c ñ th y = tanx

Nh n xét:

– Hàm s luôn ñ ng bi n trên t p xác ñ nh D

Ví d 4: V& ñ' th hàm s y = f(x) = cotx

– T p xác ñ nh: D = R { π ∈ } – T p giá tr : R

– Gi i h n:

→ = + ∞ → = − ∞,ti m c n ñ ng: x = 0, x =π

– Chu kỳ: T = π – BBT trên ño n  π

π

–∞

∞

–∞

π

– T nh ti n theo véctơ = π ta ñư c ñ th y = cotx

Nh n xét:

– Hàm s luôn gi m trên t p xác ñ nh D

Ví d 5: V& ñ' th y = – sinx

–V ñ th y = sinx

– T ñ th y = sinx, ta suy ra ñ th y = –sinx b ng cách l y ñ/x ng qua Ox

Ví d 6: V& ñ' th

= =



Ví d 7: V& ñ' th hàm s y = 1 + cosx

– V ñ th y = cosx

– T ñ th y = cosx, ta suy ra ñ th = + b ng cách t nh ti n ñ

th = lên tr c hoành 1 ñơn v

− −π−π π π ππ π ππ

y = –sinx

–1

π

π π π

ππ

Trang 5

– B ng bi n thiên trên ño n  π :

Ví d 8: V& ñ' th y = sin2x

– y = sin2x có chu kỳ T = π - BBT trên ño n  π:

π

y = cosx

1

0 –1

0

1

y = 1 + cosx

2

1

0

1

2

π

−π

–1

−π

π

y = sin2x 0

–1

0

1

0

–1

Ví d 9: V& ñ' th y = cos2x

– y = cos2x có chu kỳ T = π – B ng bi n thiên trên ño n  π:

II PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC CƠ B N

1 Phương trình sinx = sinααα

π α π

 = +

= − +



#

π



Các trư)ng h p ñ c bi t

• = − ⇔ = −π+ π

• = ⇔ = π− 

 

• = − ⇔ =  −π

  •

π π

–1

π

y = cos2x

–1

0

1

0 –1

Trang 6

2 Phương trình cosx = cosααα

• = α ⇔ = ±α+ π ∈

• = ⇔ = π − 

  •

π π

• = − ⇔ = π + 

 

• = − ⇔ =π+ π ∈

3 Phương trình tan x = tanααα

• = α ⇔ =α+ π • = ⇔ = # + π

• = ⇔ = π − 

  •

π π

= ± ⇔ = ± + ∈

• = − ⇔ = π+ 

  •

π π

= ± ⇔ = ± + ∈

4 Phương trình cotx = cotααα

• = ⇔ =π+ π ∈

• = ± ⇔ = ±π+ π ∈ • = ± ⇔ = ±π+ π ∈

5 M t s ñi*u c+n chú ý:

a) Khi gi i phương trình có ch a các hàm s tang, cotang, có m!u s

ho c ch a căn b c ch n, thì nh t thi t ph i ñ t ñi u ki n ñ

phương trình xác ñ nh

* Phương trình ch a tanx thì ñi u ki n: ≠π+ π ∈

* Phương trình ch a cotx thì ñi u ki n: ≠ π ∈

* PT ch a c tanx và cotx thì ñi u ki n ≠ π ∈

* Phương trình có m!u s :

• ≠ ⇔ ≠π+ π ∈

b) Khi tìm ñư c nghi m ph i ki m tra ñi u ki n Ta thư#ng dùng

m t trong các cách sau ñ ki m tra ñi u ki n:

1.Ki m tra tr$c ti p b ng cách thay giá tr c a x vào ñi u ki n

2.Dùng ñư#ng tròn lư ng giác

3.Gi i các phương trình vô ñ nh

II PT B C HAI Đ I V,I M-T HÀM S LƯ NG GIÁC

III PHƯƠNG TRÌNH B C NH.T THEO SINX VÀ COSX

D NG: a sinx + b cosx = c (1)

• Đi u ki n ñ PT có nghi m là : + ≥

Cách 1:

+

(v i α= α = (α∈  π)

)

b) Xét ≠π+ π ⇔ ≠

Trang 7

ta ñư c PT b c hai theo t: + − + − =

Gi i (3), v i m%i nghi m t0, ta có phương trình: =

D NG: a sin 2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)

Cách 1:

• Ki m tra cosx = 0 có tho mãn (1) hay không?

L ưu ý: cosx = 0 ⇔ =π+ π ⇔ = ⇔ = ±

• Khi ≠ , chia hai v phương trình (1) cho ≠ ta ñư c:

Cách 2: Dùng công th c h b c

(ñây là PT b c nh t ñ i v i sin2x và cos2x)

V PHƯƠNG TRÌNH Đ I X NG

D ng 1: a.(sinx ±±± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

• Đ t: = ± =  π ≤

 ∓ 

• Thay vào PT ñã cho, ta ñư c PT b c hai theo t Gi i PT này tìm t th&a

≤ Suy ra x

D ng 2: a.|sinx ±±± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

• Đ t: = ± =  π ≤ ≤

 ∓ 

• Tương t$ d ng trên Khi tìm x c n lưu ý PT ch a d u giá tr tuy t ñ i

Đ I S 11 – CHƯƠNG 2 : T/ H P – XÁC SU.T

I Qui t0c ñ m

1 Qui t0c c ng:

M t công vi c nào ñó có th ñư c th$c hi n theo m t trong hai

phương án A ho c B N u phương án A có m cách th$c hi n, phương

án B có n cách th$c hi n và không trùng v i b t kì cách nào trong phương án A thì công vi c ñó có m + n cách th$c hi n

2 Qui t0c nhân:

M t công vi c nào ñó có th bao g m hai công ño n A và B N u

công ño n A có m cách th$c hi n và ng v i m%i cách ñó có n cách th$c hi n công ño n B thì công vi c ñó có m.n cách th$c hi n

II Hoán v

1 Giai th1a:

•n! = 1.2.3…n •Qui ư c: 0! = 1 • n! = (n–1)!n

• $

$= (p+1).(p+2)…n (v i n>p) •

$

− = (n–p+1).(n–p+2)…n

(v i n>p)

2 Hoán v (không l p): M t t p h p g m n ph n t' (n ≥ 1) M%i cách s(p

x p n ph n t' này theo m t th t$ nào ñó ñư c g i là m t hoán v c a n

ph n t' S các hoán v c a n ph n t' là: P n = n!

3 Hoán v l p : Cho k ph n t' khác nhau: a1, a2, …, ak M t cách s(p x p

n ph n t' trong ñó g m n1 ph n t' a1, n2 ph n t' a2, …, nk ph n t' ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo m t th t$ nào ñó ñư c g i là m t hoán v l p c p

n và ki u (n1, n2, …, nk) c a k ph n t' S các hoán v l p c p n, ki u (n1,

n2, …, nk) c a k ph n t' là: Pn(n1, n2, …, nk) = $

$ $ $

4 Hoán v vòng quanh : Cho t p A g m n ph n t' M t cách s(p x p n

ph n t' c a t p A thành m t dãy kín ñư c g i là m t hoán v vòng quanh c a n ph n t' S các hoán v vòng quanh c a n ph n t' là:

Qn = (n – 1)!

III Ch2nh h p

1 Ch2nh h p (không l p): Cho t p h p A g m n ph n t' M%i cách s(p

x p k ph n t' c a A (1 ≤ k ≤ n) theo m t th t$ nào ñó ñư c g i là

m t ch2nh h p ch p k c a n ph+n t3 c a t p A.S ch)nh h p ch p k

$

−

• Công th c trên cũng ñúng cho trư#ng h p k = 0 ho c k = n

• Khi k = n thì = Pn = n!

Trang 8

2 Ch2nh h p l p:

Cho t p A g m n ph n t' M t dãy g m k ph n t' c a A, trong ñó m%i

ph n t' có th ñư c l p l i nhi u l n, ñư c s(p x p theo m t th t$

nh t ñ nh ñư c g i là m t ch)nh h p l p ch p k c a n ph n t' c a t p

A S ch)nh h p l p ch p k c a n ph n t': =

IV T h p

1 T h p (không l p) : Cho t p A g m n ph n t' M%i t p con g m k (1

≤ k ≤ n) ph n t' c a A ñư c g i là m t t h p ch p k c a n ph+n t3

S các t+ h p ch p k c a n ph n t': $

= =

−

• Qui ư c: = = 1

Tính ch t:

−

=

2 T h p l p: Cho t p A = { } và s t$ nhiên k b t kì M t t+

h p l p ch p k c a n ph n t' là m t h p g m k ph n t', trong ñó m%i ph n

t' là m t trong n ph n t' c a A S t+ h p l p ch p k c a n ph n t':

− + − + −

3 Phân bi t ch2nh h p và t h p:

• Ch)nh h p và t+ h p liên h nhau b i công th c: = $

• Ch)nh h p: có th t$ T+ h p: không có th t$

⇒ Nh ng bài toán mà k t qu ph thu c vào v trí các ph n t' –> ch)nh

h p Ngư c l i, là t+ h p

• Cách l y k ph n t' t t p n ph n t' (k ≤ n):

+ Không th t$, không hoàn l i:

+ Có th t$, không hoàn l i: + Có th t$, có hoàn l i:

V Nh th c Newton

1 Công th c khai tri n nh th c Newton:

V i m i n∈N và v i m i c p s a, b ta có: −

=

+ = ∑

2 Tính ch t:

1) S các s h ng c a khai tri n b ng n + 1

2) T+ng các s mũ c a a và b trong m%i s h ng b ng n

3) S h ng t+ng quát (th k+1) có d ng:

Tk+1 = − ( k =0, 1, 2, …, n)

4) Các h s c a các c p s h ng cách ñ u s h ng ñ u và cu i thì

b ng nhau: = − 5) = = , − + = +

Nh n xét : N u trong khai tri n nh th c Newton, ta gán cho a và b nh ng

giá tr ñ c bi t thì ta s thu ñư c nh ng công th c ñ c bi t Ch,ng h n:

(1+x)n = + − + + ⇒ + + + = (x–1)n = − − + + − ⇒ − + + − =

VI Bi n c và xác su t

1 Bi n c

• Không gian m!u Ω: là t p các k t qu có th x y ra c a m t phép th'

• Bi n c A: là t p các k t qu c a phép th' làm x y ra A A ⊂ Ω

• Bi n c không: ∅ • Bi n c ch(c ch(n: Ω

• Bi n c ñ i c a A: = Ω • H p hai bi n c : A ∪ B

• Giao hai bi n c : A ∩ B (ho c A.B) • Hai bi n c xung kh(c: A ∩ B = ∅

• Hai bi n c ñ c l p: n u vi c x y ra bi n c này không nh hư ng ñ n

vi c x y ra bi n c kia

2 Xác su t

• Xác su t c a bi n c : P(A) =

Ω

• 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = 0

• Qui t(c c ng: N u A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

M r ng: A, B b t kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

• P( ) = 1 – P(A)

• Qui t(c nhân: N u A, B ñ c l p thì P(A.B) = P(A) P(B)

II Bi n ng4u nhiên r)i r c

1 Bi n ng4u nhiên r)i r c

• X = {x1, x2, …,xn}

• P(X=xk) = pk p1 + p2 + … + pn = 1

2 Kì v5ng (giá tr trung bình) µ = E(X) =

=

∑

3 Phương sai và ñ l ch chu6n

• V(X) = µ

=

−

=

−

• σ(X) = ! "

Trang 9

Đ I S 11 – CHƯƠNG 3 : DÃY S - C.P S

I Phương pháp qui n p toán h5c

Đ ch ng minh m nh ñ ch a bi n A(n) là m t m nh ñ ñúng v i m i

giá tr nguyên d ương n, ta th c hi n như sau:

• B ư c 1: Ki m tra m nh ñ ñúng v i n = 1

• B ư c 2: Gi thi t m nh ñ ñúng v i s nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1),

ch ng minh r ng m nh ñ ñúng v i n = k + 1

Chú ý: N u ph i ch ng minh m nh ñ A(n) là ñúng v i v i m i s nguyên

d ương n ≥ p thì:

+ b ư c 1, ta ph i ki m tra m nh ñ ñúng v i n = p;

+ b ư c 2, ta gi thi t m nh ñ ñúng v i s nguyên dương b t kì n =

k ≥ p và ph i ch ng minh m nh ñ ñúng v i n = k + 1

II Dãy s

1 Dãy s : ℕ% →ℝ

֏ D ng khai tri n: (u n ) = u 1 , u 2 , …, u n , …

2 Dãy s tăng, dãy s gi m

• (u n ) là dãy s t ăng ⇔ u n+1 > u n v i ∀ n ∈ N*

⇔ u n+1 – u n > 0 v i ∀ n ∈ N* ⇔ + > v i ∀n ∈ N* ( u n > 0)

• (u n ) là dãy s gi m ⇔ u n+1 < u n v i ∀n ∈ N*

⇔ u n+1 – u n < 0 v i ∀ n ∈ N* ⇔ + < v i ∀n ∈ N* (u n > 0)

3 Dãy s b ch n

• (u n ) là dãy s b ch n trên ⇔∃M ∈ R: u n≤ M, ∀n ∈ N*

• (u n ) là dãy s b ch n d ư i ⇔∃m ∈ R: u n≥ m, ∀n ∈ N*

• (u n ) là dãy s b ch n ⇔∃m, M ∈ R: m ≤ u n≤ M, ∀n ∈ N*

1 Đ nh nghĩa u n+1 = u n + d, ∀n ∈ N*

(d: công sai)

u n+1 = u n q v i n ∈ N*

(q: công b i)

2 S h ng

−

= v i n ≥ 2

3 Tính ch t

v i k ≥ 2

4 T ng n s

=

 + − 



−



−



#

GI I TÍCH 11 – CHƯƠNG 4 – GI,I H N

I Gi8i h n c a dãy s

1 Gi i h n ñ c bi t:

→+∞ = < ;

→+∞ =

2 Đ nh lí :

a) N u lim u n = a, lim v n = b thì

• lim (u n + v n ) = a + b

• lim (u n – v n ) = a – b

• lim (u n v n ) = a.b

• = (n u b ≠ 0) b) N u u n≥ 0, ∀n và lim u n = a thì a ≥ 0 và lim =

c) N u ≤ ,∀n và lim v n = 0 thì lim u n = 0

d) N u lim u n = a thì =

3 T ng c a c p s nhân lùi vô h n

S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … =

#

−

(# < )

1 Gi i h n ñ c bi t:

= +∞

+

= +∞ ∈ ℤ

# = +∞ #>

2 Đ nh lí:

a)N u = +∞ thì =

b) N u lim u n = a, lim v n = ±∞

thì lim = 0 c) N u lim u n = a ≠ 0, lim v n = 0 thì lim = +∞ >





d) N u lim u n = +∞, lim v n = a thì lim(u n v n ) = +∞ >



−∞ <



* Khi tính gi i h n có m t trong các

d ng vô ñ nh: , ∞

∞, ∞ – ∞, 0.∞ thì

ph i tìm cách kh d ng vô ñ nh

M t s BÀI M U tìm gi i h n c a dãy s :

a)

+ +

+

b)

+ − + −

−

c) − + =  − + = +∞

• Nhân lư ng liên h p: Dùng các h ng ñ ng th c

− +

=−

Trang 10

• Dùng ñ nh lí k p: N u ≤ ,∀n và lim v n = 0 thì lim u n = 0

VD : Tính Vì 0 ≤ ≤ và = nên =

Khi tính các g/h n d ng phân th c, ta chú ý m t s trư)ng h p sau ñây:

• N u b c c a t' nh& hơn b c c a m!u thì k t qu c a gi i h n ñó b ng 0

• N u b c c a t b ng b c c a m!u thì k t qu c a gi i h n ñó b ng t) s các h s

c a lu- th a cao nh t c a t' và c a m!u

• N u b c c a t' l n hơn b c c a m!u thì k t qu c a gi i h n ñó là +∞ n u h s

cao nh t c a t' và m!u cùng d u và k t qu là –∞ n u h s cao nh t c a t' và

m!u trái d u

II Gi8i h n c a hàm s

1 Gi8i h n ñ c bi t:

→ = (c: h ng s )

2 Đ nh lí :

→ = và % &

thì: [ % ] $ &

[ % ] $ &

$

% &

→ = (n u M ≠ 0)

b) N u f(x) ≥ 0 và $

thì L ≥ 0 và $

1 Gi8i h n ñ c bi t:

→+∞ = +∞;

'

→−∞

+∞

=

−∞



→±∞ = ;

−

→ = −∞;

+

→ = +∞

→ = ≠ 0

và %

→ = ±∞ thì :…

* Khi tính gi i h n có m t trong các

d ng vô ñ nh: , ∞

∞, ∞ – ∞, 0.∞ thì

ph i tìm cách kh' d ng vô ñ nh

M t s BÀI M<U kh3 d ng vô ñ nh:

−

+ − + −

c/

=

→

+ + + +

2 D ng ∞

∞: a)

+ − + −

b)

−

3 D ng ∞∞∞ – ∞∞∞: Gi8i h n này thư)ng có ch a căn

+ +

4 D ng 0.∞∞∞:

−

+

−

III Hàm s liên t c

1 Hàm s liên t c t i m t ñi m:

y = f(x) liên t c t i x0 ⇔

2 Hàm s liên t c trên m t kho ng:

y = f(x) liên t c t i m i ñi m thu c kho ng ñó

3 Hàm s liên t c trên m t ño n [a; b]:

y = f(x) liên t c trên (a; b) và

4 • Hàm s ña th c liên t c trên R • Hàm s phân th c, các hàm s

lư ng giác liên t c trên t ng kho ng xác ñ nh c a chúng

5 Gi s' y = f(x), y = g(x) liên t c t i ñi m x0 Khi ñó:

• Các hàm s y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên t c t i x0

• Hàm s y =

% liên t c t i x0 n u g(x0) ≠ 0

6 N u y = f(x) liên t c trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì ∃c ∈ (a; b): f(c) = 0

Nói cách khác: N u y = f(x) liên t c trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì phương

trình f(x) = 0 có ít nh t m t nghi m c∈ (a; b)

M; r ng: N u y = f(x) liên t c trên [a; b]

Đ t m =

[ ] , M = [ ] Khi ñó v i m i T ∈ (m; M) luôn t n

t i ít nh t m t s c ∈ (a; b): f(c) = T

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	464,75 KB