Tính giá trị của biểu thức:.. HD c H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF... Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.. Bài hình học sinh không v
Trang 1(Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm) Cho 2 x 9 2 x 1 x 3
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A = 1
2
Bài 2: (4,5 điểm)
a) Tính 8 2 15 8 2 15
b) Cho x2 – x – 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức:
P
c) Giải phương trình:
2
3x
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Tìm số nguyên dương n bé nhất để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì số A = n6 - n4 +2n3 + 2n2
không thể là số chính phương
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE,
CF cắt nhau tại H Chứng minh rằng:
a) SABC = 1AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC
2 b) tanB.tanC = AD
HD c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF
d) HB.HC HC.HA HA.HB 1
AB.AC BC.BA CA.CB
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2
x y y z z x 2015 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T
Hết
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị không giải thích gì thêm
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 12/10/2015
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016
MÔN : TOÁN
Hướng dẫn chấm này có 03 trang
I Yêu cầu chung:
1 Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng
2 Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm
II Yêu cầu cụ thể:
a(2,0đ) 2 x 9 2 x 1 x 3
A
2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3)
( x 3)( x 2)
( x 2)( x 1) x 1 ( x 3)( x 2) x 3
Vậy A x 1
x 3
0,25 0,5
1,0 0,25
1
b(2,0đ) Ta có:
1
3 x 1 x (t / m)
9
Vậy x = thì A = 1
9
1 2
0,75 1,0
0,25 a(1,5đ) Ta có 8 2 15 8 2 15
2 b(1,5đ) Ta có: x2 – x – 1 = 0 x2 – x = 1 (x2 – x)3 = 1
x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = 1
Mặt khác: x2 – x – 1 = 0 x2 = x + 1
x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1.
1 2015 2016
1
1 2015 2016
0,5 0,5
0,5
c(1,5đ) ĐK: x2 – 9 > 0 3
3
x x
+ Nếu x > 3: Bình phương hai vế của phương trình ta được:
2
Đặt , được phương trình: (t/m)
2 2
x
2
t 6t 72 0 t 6
0,25
0,25
0,5
Trang 3Khi đó: x4 – 36x2 + 324 = 0 x2 = 18
2
x
6
Suy ra : x 3 2 (t/m) hoặc x 3 2 (loại)
+ Nếu x < –3: Khi đó: 32 : PT vô nghiệm
0 6 2 9
x x
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x 3 2
0,25
0,5 0,25
a(2,0đ) Ta có: F = n3 + 4n2 – 20n – 48 = (n – 4)(n + 2)(n + 6)
Thử với n = 1; 2; 3 thì F đều không chia hết cho 125.
Thử với n = 4 thì F = 0 chia hết cho 125.
Vậy số nguyên dương bé nhất cần tìm là: n = 4.
1,0 0,5 0,25 0,25
3
b(2,0đ) A=n6 - n4 +2n3 + 2n2
= n4(n2-1) + 2n2(n+1)
= n2(n+1)(n3-n2 +2)
= n2(n+1)[(n+1)(n2-2n+2)]
= n2(n+1)2(n2-2n +2) = n2(n+1)2[(n-1)2 +1]
Ta có: (n-1)2 < (n-1)2 +1= n2 + 2(1-n) < n2 (vì n>1)
(n-1)2 +1 không thể là số chính phương
Vậy A không thể là số chính phương
0,5
0,5 0,5 0,5 a(2,0đ)
* Ta có: SABC = 1.BC.AD
2
ABD vuông tại D có AD =AB.sinB, do đó SABC = 1BC.AB.sinB
2
ABE vuông ở E có AE = AB.cosA
BFC vuông ở F có BF = BC.cosB
ACD vuông ở D có CD = AC.cosC
Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC
1,0 0,25 0,25 0,25 0,25
4
b(1,5đ) Xét ABD có tanB = AD; ACD có tanC =
BD
AD CD suy ra tanB.tanC = (1)
2 AD BD.CD
Do HBD CAD (cùng phụ với ACB ) nên BDH ADC (g.g)
BD.DC = DH.DA
DH BD
DC AD
0,5
0,5
A
H
D
E F
Trang 4Kết hợp với (1) được tanB.tanC =
2
c(1,5đ) Chứng minh được AEF ABC (g.g) AEF ABC
Tương tự được CED CBA nên AEF CED mà BE AC
= 900 Từ đó suy ra EH là phân trong
AEB CEB
của DEF
Tương tự DH, FH cũng là phân giác trong của DEF nên H là giao ba
đường phân giác trong của DEF
0,5
0,5
0,5
d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC
Dễ thấy CHE CAF(g.g) CH CE
CA CF
BHC BHC ABC ABC
HB.HC HB.CE 2.S S
AB.AC AB.CF 2.S S
Tương tự có CHA ;
CBA
HC.HA S
CAB
HA.HB S CA.CB S
HB.HC HC.HA HA.HB S S S
1 AB.AC BC.BA CA.CB S S S
0,25
0,25 0,25
0,25
5
x y ; b y z ; c z x a; b; c 0 a b c 2015
Ta có: 2 2 2 2 2 2
a b c 2(x y z )
(y z) 2(y z ) 2b y z 2b x2 a2 b2 c2
,
T a2 b2 c2 b a2 b2 c2 c a2 b2 c2 a
(a b c )
2
(a b c)
(a b c)(a b c)
2015.9
Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 2015
3
2 2
3 2
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 Người làm đáp án: Người thẩm định:
1
2 Người duyệt:
