T đĩ tìm lim un.
Trang 1TÀ I LI U B I D NG CHUYÊN MÔN L P 11
Gi i thi u đ n các em b i Tr n Qu c Hoài http://bsquochoai.ga
I Gi i h n c a dãy s
1 Gi i h n đ c bi t:
1
k
n
2 nh ệí :
a) N u lim un = a, lim vn = b thì
lim (un + vn) = a + b
lim (un– vn) = a – b
lim (un.vn) = a.b
lim n
n
v b (n u b 0)
b) N u un 0, n và lim un= a thì a 0 và lim
n
c) N u u n v n,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) N u lim un = a thì lim u n a
3 T ng c a c p s nhân ệùi ốô h n
S = u1 + u1q + u1q2+ … = 1u1
q
q 1
1 Gi i h n đ c bi t:
lim
2 nh ệí:
a)N u limu n thì lim 1 0
n
u
b) N u lim un = a, lim vn = thì lim n
n
u
v = 0 c) N u lim un = a 0, lim vn = 0
thì lim n
n
u
v =
neáu a v neáu a v n n 0
d) N u lim un = +, lim vn = a thì lim(un.vn) = 0
neáu a neáu a 0
* Khi tính gi i h n có m t trong các d ng vô đ nh: 0
0,
, – , 0. thì ph i tìm cách kh d ng vô đ nh
M t s ph ng pháp tìm gi i h n c a dãy s :
Chia c t ốà m u cho ệu th a cao nh t c a n
VD: a)
1 1
3
n
n
b)
3
1
n
n
2
lim(n 4n 1) limn 1
Nhân ệ ng ệiên h p: Dùng các h ng đ ng th c
a b a b a b; 3a3b 3a2 3ab3b2 a b
VD:lim n2 =3n n
2
lim
3
3 lim
3
n
n n n=
3 2
Trang 2 Dùng đ nh ệí Ệ p: N u u n v n,n và lim vn = 0 thì lim un = 0
VD: a) Tính limsinn
n
Vì 0 sinn 1
n n và lim1 0
n nên limsinn 0
3sin 4cos
lim
n
Vì 3sinn4cosn (324 )(sin2 2ncos ) 52n
nên 0 3sin 24cos 25
5
2n 1
3sin 4cos
n
Khi tính các gi i h n d ng phân th c, ta chú ý m t s tr ng h p sau đây:
N u b c c a t nh h n b c c a m u thì k t qu c a gi i h n đĩ b ng 0
N u b c c a t b ng b c c a m u thì k t qu c a gi i h n đĩ b ng t s các h s c a lu th a cao nh t
c a t và c a m u
N u b c c a t l n h n b c c a m u thì k t qu c a gi i h n đĩ là + n u h s cao nh t c a t và m u
cùng d u và k t qu là – n u h s cao nh t c a t và m u trái d u(ta th ng đ t nhân t chung c a t ,
m u riêng)
Bài 1: Tính các gi i h n sau: (Chia c t và m u cho n a v i s m a cao nh t Ho c đ t nhân t chung)
1) lim(n2 n + 1) S: +
2) lim(n2 + n + 1) S: -
3) lim n2 n8 S: +
4) lim3 3
n n
5) lim(2n + cosn) S: +
6) lim(
2
1
n2 3sin2n + 5) S: +
7) un =
1 2
1 3
n
n
8) un = 2n 3n S: -
lim
n
S: 0
10)
2
4
1 lim
n
11)lim
2
4
1
n
S: 0
12)
2
2
lim
13)
3
lim
4
n
14)
4 2
lim
n
15) lim– n2 + n – 1
2n2– 1 S: -1/2
16) lim 4n – 1
n + 1 S: 2
17) lim
1 n n
3 n 2
S: 2
18)
lim
2
lim
4
n S: -
20)
2
lim
Bài 2: Tính các gi i h n sau: (Chia cho l y th a cĩ c s l n nh t)
1) lim1 3
4 3
n
n
2)
1
lim
3)
lim
4)
1
lim
1 5
n
Trang 35) lim1 2.3 7
lim
S: 1/3
Bài 3: Tính các gi i h n sau: (T d ng vơ cùng ±vơ cùng; M u d ng vơ cùng + vơ cùng ;b c c a t và
m u b ng nhau thì ta chia cho s m cao nh t;)
Chú ý: n k cĩ m ;
2
3
k
1)
2
2
lim
S: 2
2)
2
2
lim
2
3)
3
1 lim
1
4)
2 2
lim
6)
2
lim
S: -1/( 3 1 )
Bài 4: Tính các gi i h n sau:
N u bài tốn cĩ d ng: + Vơ cùng – vơ cùng khơng cĩ m u (h s c a n b c cao nh t gi ng nhau)
+ C t và m u d ng: Vơ cùng- vơ cùng (h s c a b c cao nh t gi ng nhau)
Thì ta nhân liên h p cĩ c n b c 2,3 r i chia cho l y th a cĩ s m cao nh t
N u bài tốn d ng vơ cùng + vơ cùng thì kq là vơ cùng ta đ t nhân t chung cĩ m cao nh t r i tính gi i h n Ho c h s c a n b c cao nh t khác nhau ta chia ho c đ t nhân t chung
1) lim( n23n n ) S: +
2) lim( n22n n 2013) S: 2012
3) lim n 2 n n S: -1/2
4) lim( n2 1 n 5) S: 5
5) lim( n22013 n 5) S: 5
6) lim n22n n 1
7) lim n2 n n22
8) lim32n n 3 n 1
9) lim 1 n2 n43n1
10)
2
lim
S: -1/( 3 1 )
11)
1 lim
12)
2 2
lim
13)
3
1 lim
1
Bài 5: Tính các gi i h n sau: (Gi i h n k p gi a hai bi u th c cĩ cùng k t qu )
1) lim2 cos2 2
1
n
2)
2
( 1) sin(3 )
lim
3 1
n
3)
2
lim
1
n
4)
2
lim
2 3
n
Bài 6: Tính các gi i h n sau: (Rút g n r i tính gi i h n)
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
1.2 2.3 n n( 1)
1 2
lim
3
n
6)
2 2
lim
n n
Trang 4Bài 7: Cho dãy s (un) v i un = 2 2 2
a) Rút g n un S: (n+1)/2n b) Tìm lim un S: 1/2
*)
c) Tìm lim un S : 1
Bài 9: Cho dãy s (un) đ c xác đ nh b i: 1
1
1
1 ( 1) 2
u
a) t vn = un+ 1– un Tính v1 + v2+ … + vn theo n
b) Tính un theo n
c) Tìm lim un S: 2
Bài 10: Cho dãy s (un) đ c xác đ nh b i: 1 2
a) Ch ng minh r ng: un+ 1 = 1 1
2u n
, n 1
b) t vn = un– 2
3 Tính vntheo n T đĩ tìm lim un S: 2/3 Cho dãy s (un) xác đ nh b i 1
2
u 2012
u 2012.u u
n
nên limun =
- ta cĩ :
2
Bài 11: Cho dãy (xn) xác đ nh nh sau:
1
2
(n N *) Tìm LimSn (HSG l ng s n 2012)
Bài 12: T ng Dãy là c p s nhân lùi vơ h n:
a S = 1 +
2
1
+
4
1
10
) 1 (
10
1 10
1
1 n n
2
Bài 13: Bi u di n các s th p phân vơ h n tu n hồn sau d i d ng phân s :
a 0,444 b 0,2121 c 0,32111 S: a.4/9 b.21/99 c.289/900
n 2
a
a a 1 lim
, v i a, b < 1 S: (1-b)/(1-a)
II Gi i h n c a hàm s
1 Gi i h n đ c bi t: 1 Gi i h n đ c bi t:
Trang 5
0 0
lim
;
0
lim
(c: h ng s )
2 nh ệí:
0
lim ( )
lim ( )
0
0
0
*
0
( )
lim
( )
b) N u
0
f(x) 0
lim ( )
* L 0 *
0
c) N u
0
lim ( )
0
lim ( )
3 Gi i h n m t bên:
0
lim ( )
lim ( ) lim ( )
; lim k
x
nếu k chẵn
lim
k x
c x
0
1 lim
x x ;
0
1 lim
x x
x x x x
2 nh ệí:
0
lim ( )
g x
0
0
lim ( ) 0
x x
x x
x x
nếu L g x
*
0
( )
( )
f x
g x
0
lim ( ) 0
g x
0
( )
nếu L g x
g x
Khi tính gi i h n cĩ m t trong các d ng vơ đ nh: 0
0,
, – ,
0. thì ph i tìm cách kh d ng vơ đ nh
M t s ph ng pháp Ệh d ng ốơ đ nh:
1 D ng 0
0
a) L =
0
( ) lim
( )
P x
Q x
ố i P(ồ), Q(ồ) ệà các đa th c ốà P(ồ0 ) = Q(x 0 )= 0
Phân tích c t và m u thành nhân t và rút g n
VD:
2
4
x
b) L =
0
( ) lim
( )
P x
Q x
ố i P(ồ0 ) = Q(x 0) = 0 ốà P(ồ), Q(ồ) ệà các bi u th c ch a c n cùng b c
S d ng các h ng đ ng th c đ nhân l ng liên h p t và m u
4
c) L =
0
( ) lim
( )
P x
Q x
ố i P(ồ0 ) = Q(x 0) = 0 ốà P(ồ) ệà biêu th c ch a c n Ệhơng đ ng b c
Gi s : P(x) = m u x( )n v x với u x( ) m ( )0 n v x( )0 a
Ta phân tích P(x) = m u x( ) a a n v x( )
VD:
Trang 6=
lim
3 2 6
2 D ng
: L =
( ) lim ( )
x
P x
Q x
ố i P(ồ), Q(ồ) ệà các đa th c ho c các bi u th c ch a c n
– N u P(x), Q(x) là các đa th c thì chia c t và m u cho lu th a cao nh t c a x
– N u P(x), Q(x) cĩ ch a c n thì cĩ th chia c t và m u cho lu th a cao nh t c a x ho c nhân l ng liên
h p
VD: a)
2
2
2
b)
2
2
3 2
1
x
3 D ng – : Gi i h n này th ng cĩ ch a c n
Ta th ng s d ng ph ng pháp nhân l ng liên h p c a t và m u
4 D ng 0.:
Ta c ng th ng s d ng các ph ng pháp nh các d ng trên
2 2
4
x
x x
Bài 1: Tìm các gi i h n sau:
+ Khi thay x=a vào f(x) th y m u khác 0 thì gi i h n b ng f(a)
+ Khi thay x=a vào f(x) th y m u b ng 0 t khác 0 thì gi i h n b ng
1)
3 x
lim
(x2 + x) S: 12
2)
x 1
x lim
x 1
3)
0
1 lim
1
x
x
1
lim
1
x
x
5)
2
sin
4 lim
x
x x
6) 4
1
1 lim
3
x
x
2
1 lim
1
x
x
8) 2
1
lim
1
x
x
9)
1
8 3 lim
2
x
x x
10)
3 2 2
lim
1
x
x
11) 2
0
1 lim sin
2
Bài 2: Tìm các gi i h n sau: (Khi thay x=a vào f(x) th y t =0; m u =0 ta rút g n m t nhân t r i thay ti p t i
khi m u khác 0 là xong) cịn n u m u =0 t khác 0 thì kq là
1)
2
x 1
lim
x 1
2)
0
x
lim
x
3)
2
x
lim
8 x
2
3
S: 3
4) 1 x
lim
1 x
x2
S: 2
5)
2 x
2 x x 2 lim
2
2
Trang 74
2
16 lim
2
x
x
7)
2 1
1 lim
x
8)
1 x
3 x x x
2 3
1
9)
1
1
lim
1
x
x S: 2
10)
9 x x
9 x x x
2 3
3
11)
5 3 1
1 lim
1
x
x x
S: 5/3
12)
2 1
lim
(1 )
x
x
13)
1 x
x x x
4
5 6
1
1
lim
1
lim
x 1
lim
17)
1992
1990
x 1
lim
18)
1
1 lim
1
m n x
x x
chú ý t ng c a CSN S: m/n
x
x
0
(1 5 )(1 9 ) 1 lim
19)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim
x
x
S: 6
20)
2 1
lim
1
n x
x
21)
n
2
x 1
lim
(x 1)
S: n(n-1)/2
Bài 3: Tìm các gi i h n sau: (M t c n b c 2)
lim
4
x
x x
0
lim
x
x x
S:0
3)
x 4
3 5 x
lim
4
S: -1/6
4)
9
x
lim
x x
3 x
5)
49 x
3 x 2
7
6)
3 x 4 x
4 x 7 x lim
2 3 1
7)
1 x
2 x 3 x lim
2 3
1
8)
1 x
x x 3 x lim
3 2
1
Bài 4: Tìm các gi i h n sau: (Hai c n B c 2)
1)
x
x 1 x 1
lim
0
x
2)
2 3 x
1 x
lim
1
3)
3 1 x
x 2 x
lim
2
4)
2
2 2 lim
7 3
x
x
x
5)
3 x 2
3 7 x
lim
1
6)
1 x
x x
lim
2
1
7)
x 5 1
x 5 3
lim
4
8)
1
lim
1
x
x
9)
3 x
2 x 3 x 2 lim
1
10)
1 x
1 x 1 x lim
2 1
11)
0 x
lim
1 1 x
12)
2 x
lim
x 2 x
13)
2
1 1 lim
16 4
x
x x
3 2 lim
3
x
15)
0
lim
x
x
S: 7/24
Trang 8a
x
lim
a x
a x a x
1 x
lim
1 x
3
S:2
Bài 5: Tìm các gi i h n sau: (M t c n B c 3)
1)
2
x
lim
2 x
4
3
2)
x 1
lim
3
2x 1 1
x 1
3)
1 x 1
x lim
3
0
4)
1 x
2 x x
lim
3
3 5
1
0
1 x 1
6)
3
3 1
1 lim
x
x x
7) 0 x
lim
1 1 x 5
Bài 6: Tìm các gi i h n sau: (Hai c n khác b c)
0
lim
x
x
S :1/6
2)
0
x
lim
1 x 1
x 3
3
3) 3
0
lim
x
x x
S:3/2
4)
3
0
lim
x
x
5)
4 x x
x 4 x
3
4
6)
9 x
5 x 10 x 2
3
3
0
lim
x
8)
2 x
2 x x 10
lim
3
2
2
lim
x
0
lim
x
11) 3 2
2
lim
x
12)
3
2 1
lim
1
x
x
13)
4 x
2 x 6 x
3 2
14)
0
lim
x
x
S:5
15)
3
0
lim
x
x
S:7/3
16)
n
x 1
(1 x ) lim
(1 x)
17)
4
x 1
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) lim
(1 x)
18) 3
0
lim
x
x
S:5/6
x lim
8) 1 x
lim
1 x x 1 x
2 3
2
Bài 7: Tìm các gi i h n sau: (
x 0
sin x lim 1
x ;
x 0
ta n x lim x
=1)
1)
x
2
sin x
lim
x
2)
0
1
lim
cos
3)
0
lim
cos
x
x x
4)
x
4
tgx
lim
x
5)
x 0
sin5x lim 3x
6)
3
sin 3 sin 5 sin lim
x
x x x
7)
x 0
1 cos2x lim
xsin x
S:2
1 cos4x lim
2x
S:4
Trang 9x 0
sin 2x
lim
x 1 1
x 0
1 cos2x
lim
x
x 0
cosx cos7x
lim
x
x 0
cosx cos3x
lim
sin x
13)
x 0
sin x
lim
tan 2x
14)
x
x x x
3 cos 2 cos cos
1
lim
15)
2
2
x 0
x sin
3 lim
x
16)
2 sin
sin cos
.
sin
lim
x x x
x
17)
x
x
3 sin 1
1
lim
18)
x
x
cos
1
lim
0
19)
x 0
1 cos3x
lim
1 cos5x
20)
x 0
lim
2
1 cos 2x
x sin x
S:4
21) lim0sin2 sin
3sin
x
x
22)
x 0
sin 2x tan 3x
lim
x
S:5
23)
0
lim
sin
x
x
24) x 0 3
tan x sin x
lim
x
25)
x 0
lim
cos 4x cos3x.cos5x
x
26)
x 0
lim
cos( cos x)
2
x sin
2
S: B góc ph chéo
27)
x
3
sin 3x
lim
1 2 cos x
28)
®
-p
2
x 2
4 x
lim
x
cos
4
S:16/
29)
x 1
1 x cos
lim
1
S:0
x x
x tan2 .tan 4
lim
4
31)
) 4 x sin(
tgx 1 lim 4
S: -2
x
x
x
3 sin 2
33)
) 1 tan(
2 3 lim
x x
34) lim(1 cos2x)tgx
2 x
S:0
x
x
sin lim 6
36)
1 cos 2
1 sin 2
x
37)
x x
1 lim
S:0
38)
3 4
) 1 sin(
lim 2
x
39)
x
x
4 sin lim
4
40)
3 cos 4
1 sin 2 lim
2
x
41)
tgx 1
x cos x sin lim 4
S:
2 2
42)
gx cot 1
tgx 1 lim
4
x sin x ( lim
x
S:
44)
) 2 tan(
8 lim
3
x
x
S:12
45)
x 0
sin x sin3x
22)
0 x
lim
x cos x sin 1
S:-1
46)
2 2
x 0
tan(a x).tan(a x) tan a
x
47)
x 0
lim
x
48) ( HGTVT-98):
x 0
lim
1 2x 1 sin x 3x 4 2 x
S:0
0
lim
sin
x
50)
2
x 0
lim
tan x
®
51)
2 2
x 0
1 sin x cosx lim
sin x
S:1
Trang 1052) ( )
1
lim 1 tan
2 x
x
53)
3
0
lim
1 cos x
x
®
54)
2
0
lim
x
x
55)
0
1 sin 2 1 sin 2
lim
x
x
®
56)
3
2
x 0
cos x cos x
lim
sin x
®
57)
2 2
x 0
2sin x sin x 1
lim
2sin x 3sin x 1
x 0
1 cos x.cos 2x.cos 3x lim
x
59)
2
x 0
1 cos x.cos 2x.cos 3x cos nx lim
x
60)
x 0
cos x cos
2 lim
sin tan x
S:0
61)
x 0
1 sin x 1 sin x lim
tan x
62)
3 3 x
4
1 cot x lim
2 cot x cot x
63)
3
x 0
1 cos x cos 2x cos3x lim
1 cos 2x
Bài 8: Tìm các gi i h n sau: (gi ng gi i h n dãy s chia cho m cao nh t, nhân liên h p, t nhân t , d u giá tr tuy t đ i)
1)
x lim(3x3 5x2 + 7) S: -
2) lim (2x3 3x)
3) lim (2 3 3 )
4)
x
lim 4
2x 3x 12 S:+
6)
x
lim
3
2
x 5
7)
3
2
x
lim
8)
x
2x 1
lim
x 1
9)
4
x
3x 2x
lim
5x x 4
10)
2 2 x
lim
1 3x 5x
11)
2 2 x
3x(2x 1) lim
(5x 1)(x 2x)
x
x x 1 lim
13)
2
x
4x 1
lim
3x 1
14)
4 x
x x lim
15)
2 x
lim
x 10
16)
lim
x
x
17)
2 2 x
lim
x lim x 5
x 1
S:1
19)
2 x
lim
3 | x | 17
20)
4 x
lim
21)
x
lim
x 1
1 x
x4 2
22)
x
lim
2 x
2 x
2
23)
lim
x
x
23)
4 x 4 x
x 2 x
2
2
24)
x 1
2 2x 1 lim
2x 3 (x 1) S:-
25)
2
x 1
5 lim
(x 1)(x 3x 2) S:-
26)
x 0
lim
2
1 1
x x S:-
27)
4
1
1 lim
2
x
x
x 2
lim
1 1
x 2 x 4 S:-
29)
2 2
1 lim
x
x
S:1/2
30) lim 2 2 1
2
x
x
31) lim 32 2 21
x
x
Trang 112 2
lim
x
33)
2 2
lim
x
34) lim (2 1) 22 3
5
x
2
lim
x
S:4
36) lim 2 5 2
x
x
37)
x
lim
3 2
x 9
10 x x
S:0
38)
x
lim
7 x 2
11 x
x4 3
39)
x
lim
2 2
2 2
) x 4 ( ) x 3 )(
x 2 (
) x 3 ( ) x 1 )(
x 1 (
S:1
40)
2 3
2 6
x ( x 2 )
2 x x x lim
Bài 9: Tìm các gi i h n sau: (gi ng gi i h n dãy s chia cho m cao nh t, nhân liên h p)
1) lim 2
3) lim ( x2 3x 2 x)
4) lim ( x2 3x 2 x)
S:0
7) lim ( 2 2)
9)
x 1 x x
1 lim
2
S:+
S:-1
13) Cho f(x) = x 2 2x 4 - x 2 2x 4
Tính các gi i h n
x lim
f(x) và
x lim
f(x), t đĩ nh n xét v s t n t i c a gi i h n
x
lim
f(x) S :-2 ;2
16) lim ( 2 3 2 2)
17) lim ( 2 3 2 2)
2 2
2 2
20) lim 2 1 3 3 1
21) lim
22) lim 32 1 32 1
23) lim 33 3 1 2 2
24) lim 3 1
6 lim S:2
1 1
Bài 10: Tìm các gi i h n sau:
a
1
x
lim x 1 b
5 x
lim ( 5 x x ) c
1 x
lim
1 x
x
d xlim1
1 x
x
e. x 1
lim
3 2
x x
1 x x 1
S:a 0 b 10 c.+ d - e 0
Bài 11: Tìm các gi i h n sau n u cĩ a
2 x
lim
2 x
| 6 x 3
|
b
2 x
lim
2 x
| 6 x
|
c
2 x
lim
| 6 x 3
|
S: a 3 b -3 c.Ko xđ
Bài 12: Tìm các gi i h n sau: ( ý đ n d u các bi u th c t và m u khi tính gi i h n này)
1)
2
15 lim
2
x
x
x
2
15 lim
2
x
x x
Trang 123) 2
3
lim
3
x
x
2
4 lim
2
x
x x
S:+
2
2 lim
x
x
2
2 lim
x
x
7)
2
2
2 lim
x
x
8)
2
lim
2
x
x
9) lim1 1
1
x
x
x
10)
1
1 lim
1
x
x
x
11)
x 0
lim
2x
x 0
2x lim
13)
2
3 3 lim
2
x x
14)
2
3 3 lim
2
x x
15) lim4 3
4
x
x x
16)
2
3 3 lim 2 2
x x
17)
2
3 3 lim 2 2
x x
18)
3 2
x 1
lim
19)
x 0
1 x lim x
x
20)
2
x 1
lim
x 1
Bài 13: Tìm các gi i h n m t bên c a hàm s t i đi m đ c ch ra: (Gi i h n m t bên ti n t i 1 s )
1)
2
x khi x
x khi x
S:-6;-2; ko xđ
2)
2 3 4
8
2
khi x x
x
khi x x
S:-1/6; 32; K xđ
3)
2 2
1
1 2
khi x x
x
khi x
S:-1/2; -1/2; -1/2
2
x khi x x
khi x
S:3/2;3/2;3/2
Bài 14: Tìm giá tr c a m đ các hàm s sau cĩ gi i h n t i đi m đ c ch ra:
1)
x
khi x
S:m=1
2)
0 3
khi x x
S:m=1