b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Trang 1Đề thi học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2007-2008
Môn: Toán
(Thời gian làm bài: 120 phút)
-Câu 1: (3 điểm)
Cho P = 2 2 2( 1)
a/ Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c/ Tìm giá trị nguyên của biểu thức Q = 2 x
P
Câu 2: (2 điểm)
Giải các phương trình:
a/ x 12 18 x 8 27
b/ x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3
Câu 3: (2 điểm)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
a/ Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = 2 thì a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
b/ Chứng minh: (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abc.
Câu 4: (2 điểm)
Cho ABC, M là trung điểm của BC, tia phân giác của góc AMB cắt
cạnh AB ở E, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở D
a/ Chứng minh AED và ABC đồng dạng.
b/ Tính ME2 + MD2 biết MC = 8cm, 3
5
DC
AD
Câu 5: (1 điểm)
Cho các số thực dương a và b thoả mãn:
a100+ b100 = a101+ b101 = a102+ b102
Hãy tìm giá trị của biểu thức: P = a2007+ b2007
Phòng GD & ĐT Yên Thành.
Trang 2hướng dẫn chấm toán 9
Câu 1 (3 đ)
P = ( 1)( 1) 2 1 2( 1)
1
a
P = ( 1)2 + ≥
2
4
3
b
Min P = khi x = 3
4
1
1
1 M
x x
Với x > 0 và x ≠ 1 áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta có:
M = x 1 1 1 0 Q 2
x
c
Câu 2 (2đ)
a
x 12 x 8 27 18
12 8
0,5
2
x
x 1. x 2 x 3 x 2 x 1. x 3 0,25
b
x = 2 (Thoả mãn ĐK)
Câu 3 (2đ)
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và a + b + c = 2 nên:
a
ab + bc + ca - abc > 1
(a + b + c)2 – (a2 + b2 + c2 + 2abc) > 2
a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
b
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:
(a b c b c a )( ) b a c . b a c
= 2 2 2 (1)
Trang 3Tương tự:
(2)
b c a c a bc
(3)
Nhân từng vế của (1) (2) (3) ta có đpcm 0,25
Câu 4 (2đ)
Vì MD là phân giác của AMC nên:
(1)
AD MA
Vì ME là phân giác của AMB nên:
(2)
BE MB
AE MA
0,5 a
Do MB = MC nên từ (1) và (2) ta có: CD BE
AD AE
ED // BC
hay
5
BC AC
ED AD
ED =
8
BC
cm
b
EMD vuông tại M ME 2 + MD 2 = ED 2 = 100 (cm)
Câu 5 (1đ)
a102 + b102 = ( a101 + b101)( a + b) – ab(a100+ b100) 0,5
Từ gt và đẳng thức trên suy ra:
1 = a + b – ab hay (a -1)( b -1) = 0 0,25 ( a ; b) = ( 1 ; 1)
P = 2