Kẻ đường cao AH.. Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH.. Đường thẳng HE cắt AC tại D.. Chứng minh BEH = ACB.. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’.. Chứng minh tam giỏc A
Trang 1KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 4,0 điểm) a Tỡm x, y biết: = và x + y = 22
y
x
7
4
7 4
b Cho và Tớnh M =
4 3
y
x
6 5
z
y
z y x
z y x
5 4 3
4 3 2
c.Tính giá trị của đa thức sau, biết x + y – 2 = 0
M = x3 + x2y – 2x2 – xy - y2 + 3y + x + 2006
d Cho a=b=c và a + b + c 0 Tớnh
b c a a b c3 19352 1930
a
Bài 2: ( 3,0 điểm)
Thực hiện tớnh:
16
1
) 4 3 2 1 ( 4
1 ) 3 2 1 ( 3
1 ) 2 1 ( 2
1
c Cho dóy tỉ số bằng nhau:
d
d c b a c
d c b a b
d c b a a
d c b
Tớnh
c b
a d b a
d c a d
c b d c
b a M
Bài 3: ( 4,0 điểm)
Tỡm x biết:
2 64
31 62
30
12
5 10
4 8
3 6
2
.
4
1
2 2
2
6 6 6 6 6 6 3 3 3
4 4 4 4
5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5
c Tỡm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 117
d Tìm xZ để A Z và tìm giá trị đó A =
3
2 1
x x
Bài 4: ( 4,0 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú B < 900 và B = 2C Kẻ đường cao AH Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC tại D
a Chứng minh BEH = ACB
b Chứng minh DH = DC = DA
c Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’ Chứng minh tam giỏc AB’C cõn
d Chứng minh AE = HC
Bài 5(2đ) : Tỡm giỏ trị lớn nhất của cỏc biểu thức sau:
a) P = 2 2012 b) Q =
4 2013
x x
2012 2012
2013 2011
a a
Bài 6 (4Đ) Cho tam giỏc ABC cú gúc A khỏc 900, gúc B và C nhọn, đường cao
AH Vẽ cỏc điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC
a) Chứng minh : Tam giỏc ADE cõn tại A
b) Tớnh số đo cỏc gúc AIC và AKB ?
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (2,0 điểm)
28 7x=28 4y
7 4
7
y x y
x
11
22
7
4 y
x
14
;
8
y
x
20 15
4
3
y x
y
x
24 20 6 5
z y z y
24 20 15
z y x
(1)
96 60 30
4 3 2 96
4 60
3
30
2
(1)
120 80 45
5 4 3 120
5 80
4
45
3
96
60
30
4
3
2
y z
x
120 80 45
5 4 3
y z x
30
2x
45
3x
245
186 5
4 3
4 3 2 1
5 4 3
245
186
4 3
2
z y x
z y x M z
y x
z y
x
c Biến đổi mỗi đa thức theo hướng làm xuất hiện thừa số x + y – 2
M = (x3 + x2y – 2x) – (xy +y2 - 2y) + (x+y -2) + 1
= x2(x + y – 2) – y(x + y – 2) + (x + y – 2) +2008
=x2.0 – y.0 + 0 + 2008 = 2008
Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực hiện tớnh:
2S = 22011 22010 22009 22 2
2S-S = 22011 22010 22010 22009 22009 22 22 2 2 1
S =22011 2 22010 1
S 22011 22011 1 1
P =
2
17 16 16
1
2
5 4 4
1 2
4 3 3
1 2
3 2 2
1
2
17
2
5 2
4 2
3 2
2
1 2 3 17 1
2
1
2
18 17 2
1
+ Hướng dẫn giải :
1 2 3
2
n n
2.3 3.4 1986.1987 3 6 10 1987.
4 10 27 1987.1986 2
1986 6 12 20 1987.1986
Mặt khỏc :
1986.1987 – 2 = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988
= 1986.1988 – 1988 = 1988.(1986 – 1) = 1988.1985 ;(2)
Từ (1) và (2) ta cú :
Trang 34.1 5.2 6.3 1988.1985 (1.2.3 1985)
2.3 3.4 4.5 1986.1987 (2.3.4 1986) (3.4.5 1987)
1987.1988 1.2
.
2.3 1986.1987
1986.3 2979
HD : Từ
d
d c b a c
d c b a b
d c b a a
d c b
Suy ra : 2a b c d 1 a 2b c d 1 a b 2c d 1 a b c 2d 1
a b c d a b c d a b c d a b c d
Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)
c b
a d b a
d c a d
c b d c
b a
M
c b
a d b a
d c a d
c b d c
b a M
Bài 3: ( 2,0 điểm)
x
2 2
31 31 2
30
6 2
5 5 2
4 4 2
3 3 2
2
.
2
.
2
1
6
x
2 2 2 31 30
4
.
3
.
2
.
1
31 30
4 3 2
.
1
6
x
2 2
1
36
36
x
x
2 2 2
6 6
3
.
3
4
.
4
5 5 5
5
x
2 2
6
.
3
4
6
6
6
6
x
2 2
4
3
6 6 6
12 2
2 12 x x
3
2 1
x
x 1 2( 3) 6 7
2
x
Bài 4: ( 4,0 điểm)
BEH cân tại B nên E = H1
0,25
Câu b: 1,25 điểm
Chứng tỏ được DHC cân tại D nên
DAH có:
DAH = 900 - C 0,25
DHA = 900 - H2 =900 - C 0,25
A
B
C H
E
D
B’
1
2 1
Trang 4 DAH cân tại D nên DA = DH 0,25
Câu c: 1,0 điểm
ABB’ cân tại A nên B’ = B = 2C 0,25
B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C 0,50
C = A1 AB’C cân tại B’ 0,25
Câu d: 1,0 điểm
Có: AE = AB + BE
HC = CB’ + B’H
Bài 6 *Phân tich tìm hướng giải
- Xét TH góc A < 90 0
a) Để cm ∆ ADE cân tại A
cần cm : AD = AH = AE
( Áp dụng t/c đường trung trực)
b) Dự đoán CI IB , BK KC
Do IB, KC tia phân giác góc ngoài
của ∆ HIK
nên HA là tia phân giác trong Do
nên HC
90
AHC
là tia phân giác ngoài đỉnh H Các tia phân giác góc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nên IC là tia phân giác của góc HIK , do đó IB IC , Chứng minh tượng tự
ta có BK KC
- Xét TH góc A>900
*Khai thác bài toán :
Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có
K
C H
B D
A