Trang 1Χηυψν Đề: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI ΤΡΟΝΓ ΒℵΙ ΤΟℑΝ CỰC TRỊ Ι.. Λ⇑ DΟ CHỌN ĐỀ ΤℵΙ... Τρονγ kỳ τηι tuyển σινη Đại học τη β◊ι το〈ν bất đẳng thức λ◊ β◊ι το〈ν κη⌠ nhất τρονγ đề τηι mặc
Trang 1Trang 1
Χηυψν Đề:
KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI ΤΡΟΝΓ ΒℵΙ ΤΟℑΝ CỰC TRỊ
Ι ΒℵΙ ΤΟℑΝ MỞ ĐẦU
Β◊ι το〈ν 1 Χηο , 0 , τm ΓΤΝΝ của
1
α β
α β
2
Π
αβ
Giải
Dấu “=” xảy ρα
1
1
2 Min 4 khi
2
α
α β
α β
β
Β◊ι το〈ν 2 Χηο , 0 , τm ΓΤΝΝ của
1
α β
α β
2 1
Π
αβ
Giải
Π
αβ
Dấu “=” xảy ρα 1 2 2 2 ( )2 1 0(voâ nghieäm) Vậy κηνγ tồn tại
Min ? ?Π
Lời giải 2 Τα χ⌠:
Π
Mặt κη〈χ 2 1 Vậy
α β
αβ
3
Π
1 2 1
α β
Lời βνη: Β◊ι το〈ν 1 ϖ◊ β◊ι το〈ν 2 gần như tương tự νηαυ, χνγ 〈π dụng bất đẳng thức
Lời giải 1 tại σαο σαι? Lời giải 2 tại σαο lại τ〈χη ? ? Λ◊m σαο
α β α β
2αβ 6αβ3αβ
nhận biết được điều đó…? Đó χηνη λ◊ kỹ thuật chọn điểm rơi τρονγ bất đẳng thức ς◊ θυα
χηυψν đề ν◊ψ χηνγ τα sẽ hiểu συ hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” τρονγ việc giải χ〈χ β◊ι το〈ν cực trị
ΙΙ Λ⇑ DΟ CHỌN ĐỀ ΤℵΙ
Trang 2Χ⌠ thể ν⌠ι tằng β◊ι το〈ν bất đằng thức ν⌠ι χηυνγ ϖ◊ β◊ι το〈ν τm ΓΤΝΝ, ΓΤΛΝ ν⌠ι ρινγ λ◊ một τρονγ nhửng β◊ι το〈ν được θυαν τm đến nhiều ở χ〈χ kỳ τηι Học σινη giỏi, tuyển σινη Đại học,…và đặc biệt hơn nữa λ◊ với ξυ hước ρα đề χηυνγ của Bộ ΓD – ĐT Τρονγ kỳ τηι tuyển σινη Đại học τη β◊ι το〈ν bất đẳng thức λ◊ β◊ι το〈ν κη⌠ nhất τρονγ đề τηι mặc δ chỉ cần sử dụng một
số bất đẳng thức cơ bản τρονγ Σ〈χη γι〈ο κηοα nhưng học σινη vẫn gặp nhiều κη⌠ khăn δο một
số σαι lầm δο τη⌠ι θυεν như lời giải 1 τρονγ β◊ι το〈ν mở đầu λ◊ một ϖ dụ Để γιπ học σινη hiểu συ hơn về β◊ι το〈ν cực trị đặc biệt λ◊ χ〈χ trường hợp dấu đẳng thức xảy ρα, τι viết χηυψν đề
“Chọn điểm rơi τρονγ giải το〈ν bất đẳng thức”
ΙΙΙ NỘI DΥΝΓ
1 Bổ τχ kiến thức về bất đẳng thức
α) Τνη chất cơ bản của bất đẳng thức
Định nghĩa: α β α β 0
β χ
α β α χ β χ
α β α χ β δ
χ δ
α β 0 1 1
α β
β) Một số bất đẳng thức cơ bản
Bất đẳng thức Χαυχηψ
Χηο ν số thực κηνγ m α α1 2, , , (α ν ν 2) τα λυν χ⌠
Dấu “=” xảy ρα κηι ϖ◊ chỉ κηι
1 2
ν ν
ν
α α α ν
α α α
Một ϖ◊ι hệ quả θυαν trọng:
ν
ι
ν
Χηο 2ν số dương (νΖ ν, 2): α α1 2, , , , , , ,α β β ν 1 2 β ν τα χ⌠:
ν( 1 1)( 2 2) ( ) ν 1 2 ν 1 2
α β α β α β α α α β β β
Bất đẳng thức ΒΧΣ
Χηο 2ν số dương (νΖ ν, 2): α α1 2, , , , , , ,α β β ν 1 2 β ν τα χ⌠:
(α β1 1α β2 2 α β ν ν)2 (α12α22 α ν2)(β12 β22 β ν2)
Dấu “=’ xảy ρα 1 2
(quy ước nếu 0 0)
ν
ν
α
Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)
Χηο ηαι δψ số α α1 2, , , và , , , với α ν β β1 2 β ν β ι 0 ι 1,ν τα λυν χ⌠:
Trang 3Trang 3
Dấu “=’ xảy ρα 1 2
ν
ν
α
2 Γι〈 trị lớn nhất, γι〈 trị nhỏ nhất
Χηο φ ξ ξ( , , , )1 2 ξ ν λ◊ một η◊m biến thực τρν ν ν: : ν
D φ D
( , , , ) ( , , , ) Max
( , , , ) : ( , , , )
D
( , , , ) ( , , , ) Min
( , , , ) : ( , , , )
D
3 Phương πη〈π chọn điểm rơi
Nhận ξτ: Χ〈χ bất đẳng thức τρονγ χ〈χ đề τηι đại học τηνγ thường λ◊ đối xứng với χ〈χ biến, ϖ◊
τα dự đoán dấu bằng xảy τα κηι χ〈χ biến bằng νηαυ ϖ◊ xảy ρα tại βιν
α) Kỹ thuật chọn điểm rơi τρονγ bất đẳng thức Χαυχηψ
Sử dụng hệ quả (1) ϖ◊ (2)
1
α β
α β
αβ
Σαι lầm thường gặp:
Σαι lầm 1: Τα χ⌠ :
Mặt κη〈χ 1 4 2 1 .4 2 2 Vậy νν
2αβ αβ 2αβ αβ Π 4 2 2 ΜινΠ 2(2 2)
Σαι lầm 2:
2 2
2
1
α β
1 2
7
ΜινΠ
2
α β Νγυψν νην σαι lầm:
Trang 4Σαι lầm 1: Học σινη chưa χ⌠ κη〈ι niệm “điểm rơi”, việc τ〈χη 1 1 1 λ◊ δο τη⌠ι θυεν để
αβ αβ αβ
λ◊m xuất hiện α2β22αβ(αβ)2 4 2 2 1 4 Dấu “=” bất
2
1
α β
αβ
α β
đẳng thức κηνγ xảy ρα κηνγ kết luận được ΜινΠ 4 2 2
Σαι lầm 2: Học σινη đã χ⌠ κη〈ι niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng κηι 1 νν đã τ〈χη
2
α β
χ〈χ số hạng ϖ◊ ΜινΠ7 κηι 1 λ◊ đúng, nhưng bước cuối học σινη λ◊m σαι ϖ dụ như
2
α β
2
(1ξ) ξ ξ ξ1Μιν(ξ1)2ξ 1??
Lời giải đúng: Dο Π λ◊ biểu thức đối xứng với α β, , τα dự đoán ΜινΠ đạt tại 1, τα χ⌠:
2
α β
4 2
2 2
2
1
α β
1
α β
α β
Σ
Σαι lầm thường gặp:
Τα χ⌠: 31 3 12 12 22 22 3 3 92 2 2 12 12
3
Σ
3
2
59
3
ΜινΣ
Νγυψν νην σαι lầm:
3
1
α β
Lời giải đúng
Trang 5Trang 5
Τα dự đoán dấu bằng xảy ρα κηι 1, ϖ◊ τα thấy ϖ thế τα
2
α β α3β33α β2 3αβ2 (αβ)3 muốn xuất hiện (αβ)3; τα 〈π dụng bất đẳng thức 31 3 12 1 2 ϖ◊ nếu vậy:
α β α β αβ
, τα κηνγ đánh γι〈 tiếp được χηο νν τα phải 〈π
α β α β αβ α β αβ α β
dụng bất đẳng thức χηο 5 số:
3
4
Σ
α β
Dấu bằng xảy ρα κηι 1
2
α β
, , 0
1 1 1 4
ξ ψ ζ
Π
Σαι lầm thường gặp:
Π
10
9
ΜαξΠ
Σαι lầm 2:
Π
Νγυψν νην σαι lầm: Cả ηαι lời giải τρν đều đã biết hướng “đích” σονγ chưa biết chọn điểm
2 2
2 9
1 1 1 4
ξ ψ ζ
ψ ξ ζ
10 ( , , ) :
9
ξ ψ ζ D Π
Lời giải đúng: Từ ηαι lời giải τρν với dự đoán ΜαξΠ đạt được tại 4 νν τ〈χη χ〈χ số
3
ξ ψ ζ
ρα χηο dấu bằngxẩy ρα
2ξ ξ ξ
Χ〈χη 1: Τα χ⌠ 1 1 1 1 1 1 1 , tương tự ϖ◊ τα χ⌠:
2ξ ψ ζ ξ ξ ψ ζ 16 ξ ξ ψ ζ
16
Π
3
ξ ψ ζ
2 4
ξ ψ ζ ξ ξ ψ ζ ξ ξ ψ ζ
Trang 6, tương tự τα χ⌠:
4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 1 1
Dấu “=” xảy ρα κηι , συψ ρα:
1 .4 1 1 1 1
16
Π
1 4
ξ ψ ζ
1
4
ξ ψ ζ
Nhận ξτ: Τα χ⌠ thể mở rộng β◊ι 3:
, , 0
1 1 1 4
ξ ψ ζ
Π
Với , , Ν: Χ〈χη λ◊m tương tự như β◊ι 3, τα τ〈χη Nếu ,
số
,
, , Ρ
τη β◊ι το〈ν χ⌠ χ∫ν giải quyết được κηνγ? Χυ trả lời δ◊νη χηο độc giả τρονγ phần σαυ” Kỹ thuật chọn điểm rơi τρονγ ΒΧΣ”
3
α β χ
α β χ
3α2β3β2χ3χ2α 3 33
Σαι lầm thương gặp:
Τα χ⌠: 31.1( 2 ) 1 1 ( 2 ) 2 2 , tương tự τα χ⌠:
,
α β β χ χ α
m◊ 5 3 3 3 đề ra sai ? ?
2 1
2 1
3
α β χ
5
Π
Lời giải đúng: Τα dự đốn dấu “=” τρονγ bất đẳng thức xảy ρα κηι α β χ 1 Vậy τα 〈π dụng Χαυχηψ χηο βα số α2 ,3,3β τα χ⌠:
, tương tự τα χ⌠:
3
, dấu bằng xảy ρα κηι
3
Β◊ι 5 Χηο , , 0, chứng mινη rằng:
1
ξ ψ ζ ξψζ
ψ ζ ξ
Σαι lầm thường gặp:
Σαι lầm 1: Π 2 2 2 33 ( )2 , mặt κη〈χ , συψ ρα:
Trang 7Trang 7
Vậy , dấu “=” xảy ρα κηι (1ψ)(1ζ)(1ξ) 8 ξψζ 8 3
2
2
2
2
(1 ) 2 1
1
(1 ) 2 1
ξ
ψ ψ
ζ ζ
ξ
mặt κη〈χ ξ ψ ζ 33 ξψζ 3 Π 0
Νγυψν νην σαι lầm:
Ở σαι lầm 1: Học σινη θυν τνη chất cơ bản của bất đẳng thức: α β 0 1 1
α β
Ở σαι lầm 2: Dấu “=” xảy ρα 2 1 , 2 1 , 2 1 ( )
1
ξ ψ ζ
ξψζ
Lời giải đúng: Τα dự đốn dấu “=” xảy ρα κηι ξ ψ ζ 1 ς vậy κηι 〈π dụng Χαυχηψ χηο ϖ◊ :
2
1
ξ
ψ
1 ψ
Τα χ⌠:
2
2
2
1
1
ξ ψ
ζ
ζ ξ
Dấu “=” xảy ρα κηι ξ ψ ζ 1
Β◊ι tập tương tự(trích dẫn τρονγ χ〈χ đề τηι đại học)
1
ξ ψ ζ ξψζ
3 3
với mΝ: Nếu m1 là đề thi Đại học khối D năm 2005
Β◊ι 2 Χηο ξ ψ ζ, , λ◊ 3 số thỏa ξ ψ ζ 0, chứng mινη rằng:
(đề τηαm khảo 2005)
3 4 ξ 3 4 ψ 3 4 ζ 6
Β◊ι 3 Χηο α2,β3,χ4, τm ΓΤΛΝ: αβ χ 4 βχ α 2 χα β 3
Π
αβχ
Β◊ι 4 Χηο α β χ, , λ◊ χ〈χ số dương thỏa mν 3
4
α β χ