Toán Một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai34669

 D ng 1: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1)

v i a+b=c+d và m ≠ 0

Cách gi i:

Ph ng trình (1) đ c vi t l i:

[x2 +(a+b)x +ab][ x2 +(c+d)x +cd] =m

Vì a+b = c+d nên ta đ t t=x2 +(a +b)x= x2 +(c+d)x lúc

đó ph ng trình (1) đ c vi t l i nh sau:

(t +ab)(t+cd) = m  t2 +(ab+cd)t +abcd –m =0

Gi i ph ng trình theo t  x

Ví d : gi i ph ng trình sau

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120

 (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120

 (x2 +5x +4)(x2 +5x+6)=120

t t = x2+5x Lúc đó ph ng trình đ c vi t l i:

(t+4)(t+6)=120

 t2 +10t-96 =0

V i t=6 thì x2 +5x-6=0  x=1, x=-6

V i t=-16 thì x2 +5x+16=0 ( vô nghi m)

BÀI T P

1 (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4

2 (2x-1)(2x+3)(x+2)(x+4)+9=0

3 (x+2)(x+4)(x2 +6x+1)=8

4 (x+1)(x+2)(x+5)(x+6)=252

5 (16(x2 -1)(x2 +8x+15)=105

Tìm m đ ph ng trình sau

6 (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=m có nghi m

7 x(x+1)(x+2)(x+3)=m có 4 nghi m phân bi t

8 (x+2)(x+4)(x2 +4x +m)=8m có 4 nghi m d ng phân

bi t

 D ng 2: mx ax2+bx+c + ax2+dx+c =k nx

V i gi thi t bi u th c m u luôn khác không

Cách gi i:

Tr c tiên ta nh n xét x=0 không ph i là nghi m c a

ph ng trình đã cho

Khi x≠ 0 ta chia c t và m u c a m i phân th c cho x,

lúc đó ph ng trình đã cho (2) đ c vi t l i nh sau: m

ax+b+cx + nax+d+cx =k (2.1)

t t= ax+cx lúc đó ph ng trình (2.1) đ c vi t l i: m

t+b + t+d =k (2.2) n

Gi i ph ng trình (3) ta đ c nghi m gi s đó t1, t2 r i

t đó ta suy ra nghi m c a ph ng trình (2) b ng cách

gi i các ph ng trình

ax+ cx = t1 , ax+ cx = t2

Ví d : gi i ph ng trình

4x

4x2-8x+7 + 4x2-10x+7 =1 (2.3) 3x

Nh n xét x=0 không ph i là nghi m c a ph ng trình

đã cho

Xét x≠ 0 lúc đó chia c t và m u c a m i phân th c

cho x ta đ c

4x-8+7x +

3 4x-10+7x =1 (2.4)

t t = 4+ 7x khi đó ph ng trình (2.4) d c vi t l i là 4

t-8 + t-10 =1 3

Quy đ ng m u thì ta có ph ng trình

t2 -25t +144=0

Ph ng trình này có hai nghi m t1=16, t2=9

V i t1=16 ta có ph ng trình 4x+ 7x =16

 4x2 -16x +7=0  x1 = 72 , x2 = 12

V i t2 =9 ta có ph ng trình

4x + 7x =9  4x2 -9x+7=0 (không có nghi m th c)

V y ph ng trình đã cho có 2 nghi m là x1 = 72, x2 = 12 BÀI T P

Gi i các ph ng trình sau

1 2x3x2-x+1 + 3x2-4x+1 = x 32

2 2x2-5x+3 + 2x 2x13x2+x+3 =6

3 2xx2+8x+5 + x2+x+5 =1 6x

4 3xx2-4x+1 - x2+x+1 = 2x 83

6x

Tìm m đ ph ng trình đã cho tho mãn các đi u ki n sau:

5 Ph ng trình đã cho có nghi m

6 Ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t

7 Ph ng trình đã cho có 2 nghi m phân bi t

8 Ph ng trình đã cho có 4 nghi m phân bi t

9 Ph ng trình đã cho có 4 nghi m d ng phân bi t

10 V i giá tr nào c a m thì ph ng trình

3x

x2-4mx+1 + x2+mx+1 =1 có 4 nghi m d ng phân bi t 2x

x1, x2, x3, x4 tho mãn x1+x2+x3+x4 = 14

 Nhân đây tôi c ng mu n nói đ n d ng ph ng trình cùng h hàng v i d ng toán trên

1

x2+9x+20 + x2+11x+30 + 1 x2+13x+42 = 1 18 (*) 1

Gi i nh sau:

Ta th y (*) đ c vi t l i:

1

(x+4)(x+5) + (x+5)(x+6) + 1 (x+6)(x+7) = 1 18 1

 1x+4 - x+5 + 1 x+5 - 1 x+6 + 1 x+6 - 1 x+7 = 1 18 1

 1x+4 - x+7 = 1 18  x1 2 +11x-26 =0  x1= 2, x2= -13

T ng t gi i ph ng trình sau:

1

x2+3x+2 + x2+5x+6 +…… + 1 x2+(2n-1)x+n1 2-n = k

Gi s A là s thành công trong cu c s ng V y thì A=X+Y+Z trong đó X=làm vi c, Y=vui ch i, Z=im l ng ( Albert Einstein's )

 D ng 3 (x+a) 4 + (x+b) 4 =c (3)

Cách gi i: t t= x+a+b2 lúc đó ph ng trình (3) đ c

vi t l i nh sau:













t+a-b2 4+ 





 t-a-b2 4 =c

 2t4 +3(a-b)2 t2 + (a-b)8 -c=0 4

Gi i ph ng trình trùng ph ng này ta tìm đ c t r i t

t suy ra giá tr c a x

Ví d : Gi i ph ng trình (x+1)4 + (x+3)4 = 272

Gi i: t t=x+2 Lúc đó ph ng trình đã cho đ c

vi t l i là: (t-1)4 +(t+1)4 =272

 t4 +6t2 -135=0 t X=t2 0 khi đó ta có

X2 +6X-135=0  X=9, X=-15<0 (lo i)

Khi X=9  t2 =9  t1=3, t2=-3  x1= 1, x2 = -5

V y ph ng trình có hai nghi m là x1=1,x2=-5

BÀI T P

Gi i ph ng trình sau:

1 (x-2)4 + (x-4)4 =2

2 (x+4)4 + (x+6)4 =82

3 (x+3)4 + (x+5)4 =2

Tìm m đ ph ng trình (x+1)4 +(x+5)4 =m

4 có nghi m

5 có 2 nghi m phân bi t

6 có 4 nghi m phân bi t

7 có b n nghi m l p thành c p s c ng

8 Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m

(x+1)4+(x+m)4 =82

 Nhân đây tôi c ng mu n m r ng d ng toán này

thông qua ví d sau:

Ví d : Gi i ph ng trình: (x-2)6 + (x-4)6 =64

t t=x-3 khi đó ph ng trình vi t l i nh sau:

(t+1)6 + (t-1)6 =64  t6 +15t4 +152 -31=0

t X=t2  0 lúc đó ph ng trình vi t l i nh sau:

X3 +15X2 +15X-31=0

 (X-1)(X2 +16X+31)=0

 X1=1, X2=-8+ 33 <0( lo i) X3=-8- 33<0(lo i)

V i X=1  t2 =1  t1=1, t2=-1  x1=4, x2=2

V y ph ng trình đã cho có hai nghi m là: x1=4, x2=2

T ng t gi i ph ng trình sau:

1 (x-1)6 +(x-2)6 =1

2 (x+2)6 + (x+4)6 =64

3 Tìm m đ ph ng trình (x-1)6 + (x-3)6 =m có nghi m

NGHI M C A I ANH

L i vào tim em nh m t đ ng hàm s

U n vòng vèo nh đ th hàm sin Anh tìm vào t a đ trái tim

M kho ng nghi m có tình em trong đó

Ôi m t em ph ng trình đ ng Rèm mi m n màng nghiêng m t góc anpha Mái tóc em dài nh đ nh lí Bunhia

Và môi em đ ng tròn hàm s cos Xin em đ ng b o anh là ng c

Sinh nh t em anh t ng trái c u xoay

Và đêm Noel hình chóp c t trên tay Anh gi n em c con tim th c th c Mãi em i ph ng trình không m u m c

Em là nghi m duy nh t c a đ i anh.

M c đích s ng trên đ i là s ng có m c đích.

 D ng 4: af2(x) + bf(x)g(x) + cg2(x) =0 (4)

V i d ng này ta xét hai tr ng h p:

TH1: g(x)=0 , g i x= xo là nghi m c a ph ng trình g(x)=0

Lúc đó n u f(xo)=0 thì x=xo là nghi m c a ph ng trình (4) đã cho

Ng c l i n u f(xo) 0 thì k t lu n nghi m c a ph ng trình g(x)=0 không ph i là nghi m c a ph ng trình đã cho

TH2: g(x) 0, ta chia c hai v c a ph ng trình (4) đã

cho g(x).Khi đó ta có:

a







f(x)

g(x)

2

+ b







f(x) g(x) +c =0 (4.1)

t t= f(x)g(x) khi đó ph ng trình (4.1) đã cho tr thành

at2 +bt +c=0 (4.2)

Gi i ph ng trình này ta tìm đ c t

Gi s t=to là nghi m c a ph ng trình (4.2) Khi đó

nghi m c a ph ng trình (*) đã cho là nghi m c a

ph ng trình f(x)g(x) =to  f(x)=tog(x)

Ví d :Gi i ph ng trình: (x2 +6)2-8x(x2+6)+7x2 =0

Ta có nh n xét x=0 không ph i là nghi m c a ph ng trình đã cho.Khi đó v i x 0 ta chia hai v c a ph ng trình cho x2 Lúc đó ph ng trình đ c vi t l i nh sau (x2+6)2

x2 -8(x

2+6)

x +7=0

t t= (x2x khi đó ph ng trình đã cho đ c vi t l i +6)

nh sau: t2-8t+7=0  t1=1, t2=7

Khi t1=1 thì ta có ph ng trình x2 - x +6 =0 (Vô

nghi m)

Khi t2=7 thì ta có ph ng trình x2 -7x+6 =0

 x1 =1, x2 =6

V y ph ng trình đã cho có hai nghi m là x1=1, x2 =6 BÀI T P

Gi i các ph ng trình sau:

1 (x+3)2- x2 -x+6 = 2(x-2)2

2 2(x2+x+1)2 -7(x-1)2 =13(x3-1)

3 4x + 6x = 9x

4 2(x-1)2 + 3(x2 -1)=5(x+1)2

5 20102x -3.4002x +2.4x =0

6 3.16x+2.81x=5.36x

7 2.4

1

x +61x =91x

8 Gi i và bi n lu n các ph ng trình sau:

a 2(x2 +x+1)2 +(m-1)(x3-1) +(x-1)2 =0

b 49x- 4.21x +m.9x=0

9 Tìm m đ ph ng trình sau có hai nghi m phân bi t

x1, x2 tho mãn 2< x1 x2  5









2+ 5 2x+  5-22x + m = 0

- Không gì g n sát cái đúng b ng cái sai (Albert Einstein's)

 D ng 5 x+a + m x+b - m x+c - m x+d = n (5) m

Trong đó a+c = b+d = p và gi thi t ph ng trình đã cho

là xác đ nh

Vói lo i này ta có ph ng pháp gi i nh sau:

a ph ng trình v d ng:

m

x+a - x+c + m x+b - m x+d =n quy đ ng ta đ c: m

m(c-a)

x2+px+ac + x2m(d-b)+px+bd =n

Khi đó đ t t=x2+px ta đ c ph ng trình có d ng

k

t+ + t+ =n h

Ph ng trình trên thì các b n có th gi i đ c d dàng

nh ph ng pháp quy đ ng r i t đó có th suy ra

nghi m c a (1)

Ví d :

Gi i ph ng trình

1

x+3 + x+4 - 1 x+5 - 1 x+6= 1 420 (5.1) 59

Theo cách làm nh đã h ng d n ta có ph ng trình (5)

t ng đ ng v i ph ng trình sau:

3

x2+9x+18 + x2+9x+20 = 1 420 59

t t = x2 +9x khi đó ta có ph ng trình sau

3

t+18 + t+20 = 1 420 59

Gi i ph ng trình trên ta có nghi m là -115259 , 10

Khi đó ta có các nghi m c a ph ng trình đã cho

là: 1, -10, -92 + 3 1121118 , -92 - 3 1121118

BÀI T P

Gi i các ph ng trình sau

1 1x+2 + x+5 - 1 x+4 - 1 x+7 = 1 252 29

2 4x2-3 + x24-5 - x24+7 - x24+9 = 4336

3 Gi i và bi n lu n ph ng trình sau:

3

x2+1 + x23+2 - x23+3 - x23+4 =m (5.2)

4 Tìm m đ ph ng trình (5.2) có hai nghi m phân bi t

mà hai nghi m y ph i thu c [-2, 2], khi nào thì (5.2)

có 4 nghi m phân bi t

- Ai đó ví ng i theo ngh giáo nh nh ng ng i

chèo đò c n m n đ a khách sang sông Bao th h

ng i đ n r i đi và ch có ng i lái đò l i Th y

cô là th , luôn mi t mài v i công vi c c a mình đ

dìu d t bao th h trí th c, luôn s n sàng cho đi

nh ng gì tinh túy nh t cu c đ i mình mà không

mong nh n l i đi u gì

- ng khóc vì nh ng gì đã m t mà hãy c i v i

nh ng gì đang có

- M i sáng t o và cái m i ch có th t i đ c trên c

s cách nhìn nh n m i, cách ngh m i, không theo

l i mòn c

 D ng 6* x4 =ax2 +bx+c (6) trong đó a, b,c

là h ng s

V i d ng này ta có ph ng pháp gi i nh sau:

Ch n giá tr mR sao cho m tho mãn

(2m+a)x2 +bx +c+m2 = (x+)2 (6.1)

Th c ch t đ x y ra (6.1) thì đi u ki n c n và đ là

b2-4(2m+a)(c+m2)=0

T đó gi i ph ng trình này theo m thì ta có th tìm

đ c giá tr m c n tìm

Ta có x4 =ax2 +bx+c

 x4 +2mx2 +m2 =(2m+a)x2 +bx +c+m2

V i cách ch n giá tr m nh trên ta có th đ a v

d ng (x2+m)2= (x+)2

 (x2-x-+m)(x2+x++m)=0

ây là ph ng trình tích nên b n có th gi i đ c d

dàng

Ví d : Gi i ph ng trình: x4=6x2 - 37x +3 (6.2)

Tr c h t ta c n ch n giá tr m sao cho

37-4(2m+6)(m2+3)=0

Ph ng trình này có m t nghi m th c duy nh t là m=- 52

Nh đã trình bày trong ph n cách gi i (6) ta có

x4 -5x2 + 254 = x2 - 37x+ 374

 







x2-52 2 = 





 x- 372 2

 x2+x-52- 37x2-x+ 37 5

, , ,

  1

2



11 2 37

2  12



11 2 37

2 12



11 2 37

2 12



11 2 37 2

Gi i ph ng trình tích này ta có các nghi m là:

Chú ý đ i v i ph ng trình x4=6x2+bx+3 thì ta

ch n giá tr m c n ch n là m= (b

2-64)13

BÀI T P

Gi i ph ng trình sau

1 x4 = 6x2 + 56x+3

2 x4 =x2 +2x- 195

3 Tìm đi u ki n đ ph ng trình sau có nghi m

phân bi t

x4= 6x2 + (8m3+64) x +3 (6.3)

4 Khi nào thì ph ng trình (6.3) có 2 nghi m d ng

phân bi t n m thu c vào [-2, 2]

- Th gi i quá r ng l n Nh ng con ng i bé nh c

đi mãi, đi mãi trên kh p các con đ ng Th r i tình

c , hai trong s h g p nhau Nói v i nhau vài câu

r i r i đi Giúp đ nhau tí chút đ tr thành b n bè

Hay nhi u h n n a, h l i bên nhau, n ng t a,

nâng đ tâm h n nhau Bao nhiêu ph ng án có th

x y ra Tôi ch t hi u, đ tìm th y m t ng i khi n

th t tâm mình rung đ ng, yêu th ng không tính

toán, trao g i h t t t c bí m t m i khó kh n và

thiêng liêng làm sao (D t vòm – Phan H n Nhiên)



 D ng 7 a(ax2+bx+c)2 +b(ax2+bx+c) +c=x (7)

t t= ax2+bx+c khi đó ta có h ph ng trình sau:





ax2+bx+c=t

at2+bt+c=x

Gi i h ph ng trình này ta thu đ c nghi m c a

ph ng trình đã cho

Ví d : Gi i ph ng trình sau:

(x2+3x-4)2 +3(x2+3x-4) =x+4 (7.1)

t t=x2+3x-4 Khi đó ta có h ph ng trình sau:





x2+3x-4=t

t2+3t-4=x (7.2)

Gi i h (7.2) b ng cách l y ph ng trình th nh t tr

ph ng trình th hai khi đó ta có

(x2-t2)+4(x-t)=0  (x-t)(x+t+4)=0

V i t=x thì ta có các nghi m là

V i t=-x-4 thì các nghi m là 0, 4

V y ph ng trình (7.1) có 4 nghi m là

0, 4, 5-1, - 5-1

BÀI T P

Gi i các ph ng trình sau

1 (x2+4x+2)2 +4(x2+4x+2)=x-2

2 (x2 -4x+3)2 -4x2 +15x-9=0

Cho ph ng trình (x2+5x+m)2+5x2+24x+6m=0

3 Gi i ph ng trình khi m=-12

4 Gi i ph ng trình khi m=-22

5 Gi i và bi n lu n nghi m c a ph ng trình đã cho

6 V i giá tr nào c a m thì ph ng trình đã cho có it

nh t hai nghi m d ng phân bi t

2m(2mx2 +3x+m)2 +6mx2 +8x+4m=0

7 Gi i ph ng trình khi m=- 23

8 V i giá tr nào c a m thì ph ng trình đã cho ch có hai nghi m phân bi t

9 Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m

(x2-2x+2)2 +2(1-m)(x2-2x+2)+m2 -2m+4=0

Yêu Toán nh t

T ng IMO-48 l n đ u tiên t ch c t i Vi t Nam 7/2007

(Tôi ch trích d n)

B n i, Toán h c là gì?

ó là th thu t, đó là tinh khôn!

Là t duy lôgic, ma lanh, Giúp cho đ i nh ng gi i pháp nhanh, Rút ng n th i gian và đ u t công c a,

thu v cu c s ng optimal!

Chính vì th mà ta đã yêu!

Yêu, yêu nh t su t đ i ta là Toán!

Toán cho ta m t b u tr i trí tu ,

M t kho tàng chìa khóa đ t duy

H th ng công th c, đ nh lý Toán là m t loài hoa,

N r hàng ngày và đ p mãi trong ta

Song đ c bi t chúng không bao gi tàn l i,

Ch có đ p thêm, đ p thêm, tràn đ y s c s ng!

Nay Toán yêu c a ta có thêm Tin c ng l c

Dù yêu Tin, ta v n yêu Toán nh t trên đ i!

Hà N i, 30/7/2007

- Thành công có 99% là m hôi và n c m t

 D ng 8: ax2+bx+c= px2+qx+r

trong đó aq=bp 0 và gi thi t bi u th c trong c n là không âm

V i lo i này ta có cách gi i nh sau:

Vi t ph ng trình đã cho d i d ng:

a.







x2+bax+ca = p x2+qpx+p (8.1) r

Khi đó đ t t = x2+ bax= x2+ qp x (do aq=bp 0)

Ph ng trình (8.1) đ c vi t l i là:

a

p 







 t+ca = t+p (vi c gi i ph ng trình này đã d r dàng h n r i b n nh !)

Ti n hành gi i ph ng trình này ta đ c t r i t đó suy ra nghi m x c a ph ng trình đã cho

Ví d Gi i ph ng trình sau

x2-3x+2= 2x2-6x+28 (8.2)

t t= x2-3x khi đó ph ng trình đã cho vi t l i

nh sau:

t+2= 2 t+14 





t+20 (t+2)2=2(t+14)  t1=4, t2=-6 Khi t=4 thì ta có x2-3x =4  x1=-1, x2=4

Khi t=-6 thì ta có x2-3x=-6  ph ng trình không có nghi m th c

V y ph ng trình đã cho có hai nghi m th c là -1, 4 BÀI T P

Gi i các ph ng trình sau:

2 x2-7x +2= 2x2-14x+84

Cho ph ng trình sau x2 -7x+m - 3x2-21x+85 =0

3 Gi i ph ng trình khi m=19

4 Gi i và bi n lu n theo m nghi m c a ph ng

trình

Cho ph ng trình 6x2-12x+5= 2x2-4x+m (8.3)

5 Gi i ph ng trình khi m= 85, m=2

6 Gi i ph ng trình khi m= 11972

7 Tìm giá tr m đ ph ng trình (8.3)ch có hai

nghi m mà hai nghi m đó đ u d ng

8 Tìm giá tr c a m đ ph ng trình (8.3) có b n nghi m phân bi t

- Cu c đ i làm nhà giáo là hi n dâng s c l c, trí tu , tài

n ng, s c s ng cho l p l p h c sinh ó là m t cu c đ i

n ng nh c, mòn m i trái tim, là nh ng đêm không ng , là

nh ng s i tóc b c ó là m t cu c s ng v t v nh t nh ng vui t i nh t, là m t sáng t o đ y h i h p Chúng ta sáng

t o ra con ng i và chính vì th đó là m t ni m h nh phúc

l n lao, m t h nh phúc chân chính Lao đ ng c a chúng ta

là lao đ ng không có gì so sánh n i, là lao đ ng t n m này qua n m khác, là s nghi p tr m n m tr ng ng i B i v y, ngh giáo là nh ng ngh cao quý tr thành m t nhà giáo u tú ph i có m t tình yêu vô h n đ i v i lao đ ng, có

n ng l c chuyên môn, có tinh th n sáng khoái, có trí tu sáng su t, có tâm h n cao đ p đ nh ng l i gi ng vang lên không ph i là nh ng âm thanh tr ng r ng mà chính là

ngu n m ch nuôi l n tâm h n và trí tu h c sinh

- H n tôi mãi mãi cháy b ng, h n tôi mãi mãi vun x i và nâng niu…N u có ki p sau, tôi xin đ c làm th y giáo d i

b u tr i Vi t Nam

(Nh ng l i trên là c a th y tr ng Khoa V n tr ng HSP

Hu trong d p k ni m ngày nhà giáo Vi t Nam(20-11-2009)