ỨNG DỤNG ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊI.. Cơ sở lí thuyết: Có nhiều cách giải cho một bài toán cực trị đại số, nhưng ở đây tôi muốn giới thiệu đến các bạn học sinh một cách
Trang 1ỨNG DỤNG ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
I Cơ sở lí thuyết:
Có nhiều cách giải cho một bài toán cực trị đại số, nhưng ở đây tôi muốn giới thiệu đến các
bạn học sinh một cách giải khác đó là ứng dụng độ dài đoạn thẳng để giải bài toán cực trị Hy
vọng rằng, các em có thêm một phương pháp khác (nhất là các bạn học sinh THCS) để giải dạng toán này
- Trước hết xin nhắc lại công thức tính độ dài đoạn thẳng AB là: AB 2 2 ,
trong đó: Ax y1; 1 ; x y2; 2
- Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d đi qua hai điểm A1 và An Một đường gấp khúc liên tiếp nhau gồm n đoạn thẳng mà điểm đầu của đoạn thẳng thứ nhất trùng với A1, điểm cuối của đoạn thẳng thứ n trùng với An Thế thì, ta luôn có kết quả sau:
A A A A A A A A A A1 2 2 3 n2 n1 n1 n 1 n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các điểm A 1 , A 2 , …, A n-1 , A n đều thuộc đường thẳng d.
II Một vài bài toán minh họa:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số :
2 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1
y x x x x x x
Lời giải.
Ta biểu diễn hàm số y như sau:
0 ( 1)
Do đó, trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các điểm A(0;1); ( 3; 1); và
2 2
( 3; 1)
2 2
C ( ; )x x
(bạn dọc tự vẽ hình) Khi đó: y A C
Dễ kiểm tra AB = AC = BC = 3 ; OA = OB = OC = 1
Suy ra tam giác ABC đều với tâm là gốc tọa độ O
Mặt khác: nếu tam giác ABC đều thìy A A C C(Bổ đề tam giác đều).
Do đó: y3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 0.
Vậy min y = 3 khi x = 0
Bài 2: Tìm GTNN của hàm số
y x x x x
Lời giải
Trang 2Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét các điểm: 0; 0 ; 1; 3 ; ( dễ thấy A, B
2 2
A
1 3
;
2 2
nằm khác phía đối với trục hoành và 3 điểm A, O, B thẳng hàng) và điểm x; 0
Khi đóy A A 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 0.
Vậy miny2 khi x = 0
Bài 3: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z Chứng minh rằng:1
2 2 2
82
Lời giải.
Đặt vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là u, ta sẽ chứng minh u 82
0 2
x
0 2 y
y
0 2 z
z
Vì vậy, trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta xét các điểm :
x
A
1 1
2 2; x y
A
3 2; x y z
A
2 1
1
0 2 x
x
A
2
1 2
1
0 2 y
y
A A
2
2 3
1
0 2 z
z
A A
Để ý rằng: 1 x 1 y 1 z
x y z 1 1 1
x y z
x y z
= (1 9 ) (x 1 9 ) (y 1 9 ) 10(z x y z)
x y z 18 10 8
(Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và x + y + z ).1
2
A A A A A A
Hay : u 82 Từ đó suy ra đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 9
1
3 1
9
1
x x y
z z
x y z
Ta có thể giải bài toán trên bằng cách khác như sau:
a b 2 2
c d 2 2
a c b d
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad bc
2 1 1 2
x y
x y
2 2
1
z z
x y z
x y z
Trang 3Đặt 2 Hơn nữa, vì
t x y z 0 t 1
2
2
1 1 1 81
x y z
2
1 1 1 81
t
Mặt khác, hàm số f t( ) t 81 là hàm số nghịch biến trên nửa khoảng
t
Do đó min f t = f 1 82
f t 82
x y z
x y z
x y z
Bài 4: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x2y3z2 Chứng minh rằng: 2 2 2
1 2 1 3 1 2 10
x y z
Lời giải.
1 2 1 3 1
1 (2 ) 2 (3 ) 3
Vì vậy, trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta xét các điểm sau:
0; 0 ; A1 x;1 ; A2x2 ;3y ; A3x2y3z2; 6
1 2 (2 )y 2
2 3 (3 )z 3
A
u A A A A A A1 1 2 2 3 3 Hay u2 10 Từ đó suy ra đpcm
Đẳng thức xảy ra 2 điểm A 1 , A 2 đều thuộc đường thẳng d đi qua 2 điểm O và A 3
Dễ thấy phương trình của đường thẳng d là: Y 3X (Bạn đọc tự vẽ hình)
Điều kiện để A1, A2 thuộc (d) là:
, , 0
3 3 2
x y z
x y z x
Như vậy, đây chỉ mới một phần nhỏ trong việc ứng dụng độ dài đoạn thẳng để giải bài toán cực trị mà thôi Hy vọng rằng, chúng ta chịu khó để tìm được nhiều ứng dụng thú vị khác của độ dài đoạn thẳng Chúc các bạn thành công Sau đây xin giới thiệu bài tập áp dụng.
Bài tập: a) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x y z 1 Tìm GTNN của hàm số sau : y 2 2 2
x y z
b) Tìm mđể phương trình sau có nghiệm: 2 2
x x x x m
ĐỖ QUANG MINH (GV THCS Nguyễn Bá Ngọc, An Xuân, Tuy An, Phú Yên)
x
x
O1
2