Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó 4.. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng Hai vec tơ được gọi là cùng phương nếu gía của chúng song song hoặc trùng nha
Trang 1CHƯƠNG I VECTƠ
A LÝ THUYẾT
I CÁC ĐỊNH NGHĨA
1 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng
2.Vectơ không: AA uuu r BB uur 0 r
3 Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó
4 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
Hai vec tơ được gọi là cùng phương nếu gía của chúng song song hoặc trùng nhau
5.Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
II TỔNG CỦA HAI VECTƠ
1 Định nghĩa
2 Các qui tắc
2.1) Qui tắc 3 điểm: Với 3 điểm A, B, C tùy ý ta có:
AB BC AC
uur uuu r uuu r
2.2) Qui tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì uur AB uuu AD r uuu AC r
III HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1 Vec tơ đối
Vectơ đối của một vectơ là một vec tơ ngược hướng và có a
r
cùng độ dài với vec tơ và được kí hiệu: a
r
a
r
2 Qui tắc hiệu 2 vectơ ( Qui tắc trừ)
MN uuur ON uuu r OM uuur
IV TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1.Định nghĩa Cho vectơ và một số thực k Tích a là một
r
k a
r
vectơ được xác định:
k a cùng hướng với nếu
r
a
r
0
k
k a ngược hướng với nếu
r
a
r
0
k
| k a r | | | | | k a r
2 Tính chất
Trang 2HÌNH H ỌC 10
2
3 Điều kiện để 2 vectơ cùng phương
Vectơ cùng phương với vec tơ b khi và chỉ khi
r
a a r r r
4 Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng uur AB k AC uuu r
5 Phân tích một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương
Cho 2 vectơ a b , không cùng phương Khi đó mọi vectơ đều
r r
x
r
có thể được biểu thị một cách duy nhất qua 2 vectơa b , tức là
r r
tồn tại cặp số m, n duy nhất sao cho: x r m a r n b r
6 Hệ thức trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
6.1 Điểm I là trung điểm đoạn AB khi và chỉ khi
* IA IB 0
* MA MB 2 MI (M là điểm bất kỳ)
6.2 Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi
* GA GB GC 0
* MA MB MC 3 MG (M là điểm bất kỳ)
V TRỤC VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
B BÀI TẬP
Bài 1
Bài 2 Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 4 Xác định
độ dài của các vectơ:
a) AB AC b) c)
Bài 3 Cho 3 điểm A, B, C Tìm vị trí điểm M thoả:
Bài 4 Cho hình bình hành ABCD Với M bất kỳ, chứng minh rằng:
Trang 3a) AC BA AD b)
Bài 5 Cho hình thang vuông ABCD có 2 đáy AB=a, CD=2a, đường cao AD=a Hãy xác định các vectơ sau và tính độ dài:
CD BA
Bài 6 Cho 4 điểm A, B, C, D
a Chứng minh: uuu AB r CD uuur uuur AD CB uuu r
b Gọi E, F lần lựơt là trung điểm AB, CD và O là trung điểm EF
Chứng minh: OA uuu r OB uuu r OC uuur OD uuur 0 r
Bài 7 Cho tứ giác ABCD Dựng bên ngoài tứ giác các hình bình hành ABEF, BCGH, CDIJ, DAKL Chứng minh rằng:
a uuur KF EH uuur GJ uuu r uu IL r 0 r
b uuu EL r HI uur uuur FK GJ uuu r
Bài 8
a.Cho 6 điểm A,B,C,D,E,F Chứng minh:
AB DC AC DB
uuu r uuur uuur uuur
AD BE CF AE BF CD
uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur
b.Cho tam giác ABC Gọi O là trung điểm BC Các điểm M, N theo thứ tự nằm trên BC sao cho O là trung điểm MN Chứng minh rằng: uuu AB r uuur AC uuuu AM r uuur AN
Bài 9 Cho tam giác ABC vuông tại A Cạnh AB =a, AC=
3
a
a Tính | uuu AB r uuur AC |, | uuu AB r uuu BC r |, | CB uuu r uuu AB r |
b M là điểm tuỳ ý Tính | MB uuur MC uuuu r 2 MA uuur |
Bài 10 Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 14 I là trung điểm
BC Xác định và tính độ dài các vectơ:
a uuu AB AC r uuur b uuu AB AI r uur c uuu AB AC r uuur d AC - BI
uuur uu r
Bài 11 Cho hình chữ nhật ABCD Cạnh AB=6, BC=10 Tính:
Trang 4HÌNH H ỌC 10
4
a | uuu BC BA r uuu r | b | CD AD uuur uuur | c | uuur BD AD uuur |
Bài 12 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của BC và AB
a So sánh các cặp vectơ sau:
; ; ;
,
CG CN
uuur uuur
,
GC GN
uuur uuur
,
CM BC
uuuu r uuu r
,
AB AN
uuu r uuur
b Chứng minh:
AB uuu r uuur AC 2 MB uuur; MA uuur MB uuur CA uuu r;
CB uuu r uuu AB r CN uuur uuuu AM r
Bài 13 Cho 3 điểm A, B, C Xác định các điểm M,N thoả mãn:
a 1 b
2
3 MC uuuu r 2 uuu AB r 0 r
Bài 14 Cho tam giác ABC Xác định các điểm M, N, P thoả
mãn:
a 2 MA MB MC uuur uuur uuuu r 0 r b NB NA NC uuu r uuu r uuur 0 r
c uuu PA r 2 uuu PB r 0 r
Bài 15 Cho HCN ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm
AB,CD N là trung điểm BC Chứng minh:
a uuur DN 2 uu IB NB r uuu r b 2 uuu JN r uur JA JB uur 2 uur IN
Bài 16 Cho 3 điểm A, B, C và số thực k Lấy các điểm M’ và
N’ sao cho: OM ' k OM , Chứng minh rằng:
Bài 17 Cho 2 điểm phân biệt P, Q Hãy xác định các điểm M,
N sao cho:
a 3 MP 2 MQ 0 b
3 uuur PN QN uuur r
Bài 18 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lươt là trung điểm
BC và CD Chứng minh:
2.( uuu AB AI r uur uur JA DA uuu r ) 3 DB uuur
Trang 5Bài 19 Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, I là trung
điểm AM
a Chứng minh: 2 IA uu r IB IC uu r uur 0 r
b Với điểm O bất kỳ, chứng minh:
2 OA OB OC uuu r uuu r uuur 4 OI uur
Bài 20 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB, D là
trung điểm BC N là điểm thuộc AC sao cho CN uuur 2 uuu NA r, K là trung điểm của MN Chứng minh:
a 1 1 b
uuur uuu r uuur
Bài 21.Cho tam giác ABC, I là điểm thuộc BC: 2CI=3BI Gọi F thuộc cạnhBC kéo dài sao cho: 5FB=2FC
A) Phân tích AI và theo 2 vectơ và
uur
AF
uuu r
AB
uuu r
AC
uuur
B) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Phân tích AG theo 2
uuur
vectơ AI và
uur
AF uuu r
Bài 22 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của G qua B
a) Chứng minh: uuu HA r 5 HB uuur HC uuur 0 r
b) Đặt a r uuur r AG b , uuuu AH r Tính AB AC , theo 2 vectơ
uuu r uuur
a
r
và b
r
Bài 23 Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam Chứng minh:
a uuuu AH r 2 OM uuuu r b uuu HA HB HC r uuur uuur 2 HO uuur
c OA OB OC OH uuu r uuu r uuur uuuu r
Trang 6HÌNH H ỌC 10
6
HF
HJF
ĐK: x N, x ≥ 2
BPT
(x 1)! x!
2!(x 1)! (x 2)!
x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 0 2x2 – x – 10 <
0 – 2 < x < 5
2 Kết hợp điều kiện x = 2
72.(CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Số hạng tổng quát: k k 45 2k k
15
C ( 1) x y
k 845 2k 29 k = 8
Vậy hệ số của x29y8 là: 8 = 6435
15
C
73.(CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006)
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là:
Tk+1 = k k k
n
C ( 2) x Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 0 1 2 = 71
n =
n N, n 2
n(n 1)
2
2
n N, n 2
n 2n 35 0 7