b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.. Tìm GTNN của.. d, Giả sử BC cố định còn A di động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc 900.. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác
Trang 1PHÒNG GD&ĐT-THANH OAI
TRƯỜNG THCS KIM AN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học: 2015 - 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
ĐỀ BÀI Câu 1 (6 điểm)
Cho P = 3 233 4
8 3 3
4 6
x x
x
x x
x
3 3
1
3 3
a, Rút gọn P
b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 (4 điểm)
a, Giải phương trình:
x + 2 x 3 = x + 4
b, Cho 00 < < 90 0 và sin + cos Tính tan
5
7
Câu 3 (3 điểm)
a, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn biểu thức a + b + c = 1
Chứng minh rằng: abc bac cab 2
b, Cho 0 < x < 1 Tìm GTNN của
x x
x
1
Câu 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC có A 1v, kẻ đường cao AH (H thuộc BC)
Vẽ đường tròn ( I; ) nó cắt AB tại P và AC tại Q Qua P và Q vẽ hai tiếp
2
AH
tuyến với đường tròn ( I; ), chúng cắt BC lần lượt tại E và F
2
AH
Chứng minh rằng:
a, PE// QF
b, AB AP = AQ AC
c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm Tính EF
d, Giả sử BC cố định còn A di động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc 900 Tìm vị trí của A để diện tích tam giác APQ lớn nhất
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh rằng không tồn tại x, y là số nguyên thỏa mãn biểu thức:
2012x2015 + 2013y2018 = 2015
- Hết
Trang 2
ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN 9 Năm học: 2015– 2016
4 3 2 3
3 8
3 3
4 6
x x
x
x x
x
3 3
1
3 3
3 4
0
x x
4 3 2 3
3 8
3
4 6
3
x x
x x
x x
x
3 3
1
3
3 23 2 3 4
2 3 3 4 6
x x
x
x x
x x
x x x
3 3
1
3 3 1 3 1
P = 3 23 2 3 4 (1 - + 3x - )
3 2 3 4 6
x x
x
x x
x
x
P = 3 23 2 3 4 (3x - 2 + 1)
4 3 2 3
x x
x
x x
x
3
P = 3 2 ( - 1)2
1
x
x
2 3
1
x x
1
(6 điểm)
b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
Ta có P
2 3
1
x
2 3
1 2 3 2 2
x
x x
P = ( 3x- 2) + 2 +
2 3
1
x
P = 3x +
2 3
1
x
Để P có giá trị nguyên thì (2)
U x
Z n n x
) 1 ( 2 3
) (
Từ (2) có
1 2 3
1 2 3
x
x
1 3
3 3
x
x
) ( 3 1
) ( 3
loai x
TM x
Vậy với x = 3 thì P có giá trị nguyên
2
(4 điểm) a, Giải phương trình:x + 2 x 3 = x + 4 điều kiện: x -3
2 x 4 x 3 = 2x + 8
2x + 8 - 2 x 4 x 3 = 0
(x - 2 x+ 1) + x + 3 - 4 x 3 + 4 = 0
2 2 = 0
2 3
1
x
x=1 (thỏa mãn)
0 2 3
0 1
2 2
x
x
0 2 3
0 1
x x
Trang 3b, Cho 00 < < 90 0 và sin + cos Tính tan
5
7
Vì sin + cos
5
7
5
7 sin
Mà sin2 cos2 1 nên cos cos 1
5
5
14 25
50 cos 2 7 cos 24 0
25 cos2 35 cos 12 0
25 cos2 20 cos 15 cos 12 0
(5cos - 4) (5cos - 3) = 0
5
3 cos
5
4 cos
5
4 sin
5
3 sin
3
4 tan
4
3 tan
Vậy nếu và
4
3 tan
5
4 cos
5
3 sin
Hoặc nếu và
3
4 tan
5
3 cos
5
4 sin
a, Ta có: abc a 1 bc a(abc) bc (ab)(ac) Tương tự: bac (ba)(bc) và cab (ca)(cb)
2
1 ) )(
(ab ac abac
2
1 ) )(
(ba bc babc
2
1 ) )(
(ca cb cacb
2
1
bc b ac c ab a b c a b c a
Dấu (=) xảy ra khi a = b = c =
b c a c
c b a b
c a b a
c b
3 1
3
(3 điểm)
b, Ta có: 0 < x < 1 1 – x > 0
x
x x x
x x x
x
1
5 1
1
5 ) 1 ( 5
x
x x
x x
x x
x x
x A
1 2 ) 1 ( 5
x x
x x
x x
x
Trang 4Do đó: A 2 5 5 Dấu (=) xảy ra khi
x
x x
x
x
) 1 ( 5 1
1 0
Kết luận: giá trị nhỏ nhất của A là (5 + 2 ) khi x = 5
4
5
5
Vẽ hình đúng được 0,25điểm
A
Q
I
P
B
a, Chứng minh được: E H F C
+) P, I, Q thẳng hàng
+) PE, QF cùng vuông góc với PQ
b, +) APHQ là hình chữ nhật
+) góc BAH bằng góc C
+) góc APQ bằng góc BAH
+) tam giác APQ đồng dạng với tam giác ACB (g-g)
c, +) Tính BC = 13cm
+) E là trung điểm của BH; F là trung điểm của HC
+) EF = BC = 6,5cm
2 1
4
(6 điểm)
d, Kẻ AK PQ ta có S APQ= AK PQ = AK AH
2
1
2 1
Vì AK AH nên SAPQ AH2 SAPQlớn nhất AH lớn nhất
2
1
4
1
AH là trung tuyến của ABC ABC là vuông cân tại A
5
(1 điểm) Ta có với mọi x thì 2012x
2015 4 nên là số chẵn
+) Nếu y là số chẵn thì 2013.y2018 là số chẵn, vì y2018 là số chẵn
Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) là số chẵn
mà 2015 Là số lẻ (vô lí)
+) Nếu y là số lẻ thì y1009 là số lẻ
Do đó chọn y1009 = (2n+1) (n Z )
Thì 2013 y2018 = 2013 (2n+1)2 = 2013 (4n2 + 4n + 1)
= 4 2013 (n2 +n) +2013
Nên 2012.x2015 + 2013 y2018 chia cho 4 dư 1
Còn số 2015 chia cho 4 dư 3 (vô lí)
Vậy không có số nguyên x, y nào mà
2012x2015 2013.y2018 = 2015
I K