Chuyên đề Toán lớp 7 các bài toán về tỉ lệ thức tính chất của dãy tỉ số bằng nhau33913

CHUYÊN ĐỀ - TOÁN LỚP 7 CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.. Kiến thức cơ bản.. Tỉ lệ thức... Các dạng toán và phương pháp giải.. Dạng 1: Tìm thành phần chưa biế

CHUYÊN ĐỀ - TOÁN LỚP 7 CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.

A Kiến thức cơ bản.

I Tỉ lệ thức.

1 Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

Dạng tổng quát: � hoặc a:b=c:d

�=

�

� Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ; b và c gọi là trung tỉ

2 Tính chất.

a) Tính chất 1 (Tính chất cơ bản)

=> ad = bc (với b,d≠0)

�

�=

�

�

b) Tính chất 2 (Tính chất hoán vị)

Từ tỉ lệ thức � (a,b,c,d≠0) ta có thể suy ra ba tỉ lệ thức khác bằng cách:

�=

�

�

- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau

- Đổi chỗ trung tỉ cho nhau

- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau và đổi chỗ trung tỉ cho nhau

Cụ thể: Từ � (a,b,c,d≠0)

� =

�

�

=>�

� =

�

�,

�

� =

�

�,

�

�=

�

�

chất của dãy tỉ số bằng nhau.

1) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức � suy ra (b≠±d)

�=

�

�

�

�=

� + �

� + �=

� ‒ �

� ‒ �

2) Tính chất 2: � ta suy ra

�=

�

�=

�

�

�

�=

�

�=

�

�=

� + � + �

� + � + �=

� ‒ � + �

� ‒ � + �=

� ‒ �

� ‒ �= … (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

* Nâng cao.

1 Nếu � =k thì

�=

�

�=

�

�

�1� + �2� + �3�

�1� + �2� + �3�=�

2 Từ � => +)

�=

�

�

� ± �

� =

� ± �

� +) � ± �

� =

� ± �

� (Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

* Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c => �

�=

�

�=

�

�

Ta còn viết x:y:z = a:b:c

B Các dạng toán và phương pháp giải.

Dạng 1: Tìm thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau

Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức

Dạng 4: Ứng dụng tính chất của tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau vào giải bài toán chia tỉ lệ

Dạng 5: Tính chất của tỉ lệ thức áp dụng trong bất đẳng thức

Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ

SỐ BẰNG NHAU Bài 1: Tìm x biết:

a) � ‒ 3

� + 5=

5 7 b) � ‒ 1

� + 2=

� ‒ 2

� + 3

Giải

a) Từ � ‒ 3 => 7(x-3) = 5(x+5) Giải ra x = 23

� + 5=

5 7 b) Cách 1 Từ � ‒ 1 => (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2)

� + 2=

� ‒ 2

� + 3 (x-1).x + (x-1).3 = (x+2).x – (x+2).2

- x + 3x – 3 = + 2x – 2x – 4 �2 �2

Đưa về 2x = -1 => x = ‒12

Cách 2: +1= +1

2

1





x

x

3

2





x x

=

2

1 2





x

x

3

1 2





x x

2x+1=0 x= - (Do x+2 x+3)

2

Bài 2: Tìm x, y, z biết: � và x – 3y + 4z = 62

4=

�

3=

� 9

Giải

Cách 1 (Đặt giá trị chung)

Đặt � =>

4=

�

3=

�

9=� {� = 3�� = 4�

� = 9�

Mà x – 3y + 4z = 62 => 4k – 3.3k + 4.9k = 62

4k – 9k + 36k = 62

31k = 62 => k = 2 Do đó {� = 4.2 = 8� = 3.2 = 6

� = 9.2 = 18 Vậy x = 8; y= 6; z = 18

Cách 2 (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

=>

�

4=

�

3=

�

9=

� ‒ 3� + 4�

4‒ 3.3 + 4.9=

62

31= 2 {� = 4.2 = 8� = 3.2 = 6

� = 9.2 = 18 Cách 3 (Phương pháp thế)

Từ � => x=

4=

�

9

4�

9 => y=

�

3=

�

9

3�

9

Mà x – 3y + 4z = 62 => 4� đua về 31z = 558 => z = 18

9 ‒3

3�

9 +4� = 62

Do đó x = 4.18 ; y=

9 = 8

3.18

9 = 6 Vậy x = 8; y = 6 và z =18

Bài 3: Tìm x, y, z biết:

a) � và 2x + 3y – z = 186

�=

3

4;

�

� =

5 7 b) 2x = 3y = 5z và |� + � ‒ �|=95

Giải a) Cách 1: Từ � => =>

�=

3 4

�

3=

� 4

�

15=

� 20

Và � => =>

� =

5 7

�

5=

� 7

�

20=

� 28

=> � = (*)

15=

�

20

� 28

Ta có: � =

15=

� 20

�

28=

2� + 3� ‒ � 2.15 + 3.20‒ 28=

186

62 = 3

=>{� = 15.3 = 45� = 20.3 = 60

� = 28.3 = 84

Vậy x=45; y=60 và z=84

Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt � = =k

15=

� 20

� 28 (Sau đó giải như cách 1 của bài 2)

Cách 3: Sau khi làm đến (*) dùng phương pháp thế giải như cách 3 của bài 2

b) Vì 2x = 3y = 5z => 2� = => =

30=

3�

30

5�

30

�

15=

�

10

� 6

Mà |� + � ‒ �| = 95  



















95

95

z y x

z y x

+) Nếu x+y-z= 95

15=

�

10

�

6=

� + � ‒ �

15 + 10‒ 6=

95

19= 5 {� = 75� = 50

� = 30 +) Nếu x + y – z = - 95

15=

�

10

�

6=

� + � ‒ �

15 + 10‒ 6=

‒ 95

19 =‒ 5 {� =‒ 50� =‒ 75

� =‒ 30 Vậy: [� =‒ 75;� =‒ 50;� =‒ 30� = 75;� = 50;� = 30

Bài 4: Tìm x, y, z biết:

a) 6 và – x + z = -196

11�=

9 2�=

18

5 �

b) � ‒ 1 và 5z – 3x – 4y = 50

2 =

� + 3

4 =

� ‒ 5 6

c) và x + y – z = - 10

z y x z y

2 4

2

3 2

3

4











Giải

a) Vì 6

11�=

9 2�=

18

5 �

=>6�

11=

9�

2 =

18�

5

=> 6�

11.18=

9�

2.18=

18�

5.18

=> � =

33=

�

4

� 5

Ta có � = = =>

33=

�

4

� 5

‒ � + �

‒ 33 + 5=

‒ 196

‒ 28 = 7 {� = 231� = 28

� = 35 Vậy x = 231; y = 28 và z = 35

b) Ta có � ‒ 1

2 =

� + 3

4 =

� ‒ 5 6

=

3(� ‒ 1) 6

=4(� + 3)

16 =

5(� ‒ 5)

30 =

5(� ‒ 5) ‒ 3(� ‒ 1) ‒ 4(� + 3)

30‒ 6 ‒ 16 =

50‒ 34 8

2

 { � + 3 = 8 => � = 5� ‒ 1 = 4 => � = 5

� ‒ 5 = 12 => � = 17 Vậy x = 5; y = 5 và z = 17

c) Vì =

z y x z y

2 4

2

3 2

3

4











3� ‒ 2�

4

=2� ‒ 4�

3 =

4� ‒ 3�

2 =

12� ‒ 8�

16 =

6� ‒ 12�

8� ‒ 6�

4 =

12� ‒ 8� 6� ‒ 12� 8� ‒ 6�

= 0 =>{3� ‒ 2� = 02� ‒ 4� = 0 =>

4� ‒ 3� = 0 {3� = 2�2� = 4�

4� = 3�

2=

� 3 4� = 3� => �3=�

4

10 1

10 4

3 2 4 3















 x y z x y z

=> {� =‒ 20� =‒ 30 Vậy x = - 20; y = -30 và z = -40

� =‒ 40

Bài 5: Tìm x y, z biết:

a) x: y: z = 2: 3: 5 và xyz = 810

b)�3 = và + = - 650

8

�3

27 =

�3

64 �2 2�2‒ 3�2

Giải

a) Vì x: y: z = 2: 3: 5 => � =

2=

�

3

� 5 Cách 1 (Đặt giá trị chung)

Đặt � = =>

2=

�

3

�

5=� {� = 2�� = 3�

� = 5�

Mà xyz = 810 => 2k.3k.5k = 810 => 30�3=810 => �3=27 => k = 3

=>{� = 2.3 = 6� = 3.3 = 9 Vậy x = 6; y = 9 và z = 15

� = 5.3 = 15

Cách 2: Từ � = => =

2=

� 3

�

5 (�2)3 �

2.

�

3.

�

5=

���

30 =

810

30 = 27

 � => x = 6 thay vào đề bài tìm ra y = 9 ; z = 15

2= 3

Vậy x = 6; y = 9 và z = 15

Cách 3: (Phương pháp thế) Làm tương tự cách 3 của bài 2

b)Từ = �3 => => =

8

�3

27=

�3

64 (�2)3

=(�3)3

=(4�)3 �

2=

�

3

� 4 Cách 1: (Đặt giá trị chung)

Đặt � = = k =>

2=

�

3

�

4 {� = 2�� = 3�

� = 4�

Mà �2 + 2�2 – 3 = - 650 => 4�2 �2 + 2.9�2‒ 3.16�2

= ‒ 650

=>-26�2

= ‒ 650 => �2

= 25 =>� =± 5 Nếu k = 5=>{� = 15� = 10

� = 20

Nếu k = -5 => {� = ‒ 10� =‒ 25

� =‒ 20 Vậy [� =‒ 10;� =‒ 15;� =‒ 20� = 10;� = 15;� = 20

Cách 2 (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Vì � = =>

2=

�

3

�

4

�2

4 =

�2

9 =

�2

16=

�2

+ 2�2‒ 3�2

4 + 2.9‒ 3.16 =

‒ 650

‒ 26 = 25

=>{�2= 100 =>� =± 10

�2

= 225 =>� =± 15

�2

= 400 =>� =± 20

Theo đề bài suy ra x,y,z cùng dấu

Vậy 























20

; 15

; 10

20

; 15

; 10

z y

x

z y

x

Cách 3 (Phương pháp thế)

Bài 6: Tìm x, y, z biết:

(1)

�

� + � + 1=

�

� + � + 2=

�

� + � ‒ 3=� + � + �

Giải:

* Nếu � + � + �  0

Ta có

�

� + � + 1

� + � + 2=

�

� + � ‒ 3=

� + � + � (� + � + 1) + (� + � + 2) + (� + � + 3)

� � � 2(� � �)

=1 2 (2)

Từ (1) và (2) ta có x + y + z = 1

2

=>{� + � =1 thay vào đề bài ta được:

2 ‒ �

� + � =12 ‒ �

� + � =1

2 ‒ �

�

1

2 ‒ �+ 1

1

2 ‒ �+ 2

1

2 ‒ � ‒3

3

2 ‒ �

= �

5

2 ‒ �

= �

‒ 5

2 ‒ �

1 2

+) � => 2x = => 3x = => x =

3

2 ‒ �

=1

2

3

2 ‒ �

3 2

1 2

+) � => 2y = => 3y = => y =

5

2 ‒ �

=1

2

5

2 ‒ �

5 2

5 6

+) Có x + y + z = , mà x = và y = 1

2

1 2

5 6

=>z= 1 = Vậy

2 ‒

1

2 ‒

5 6

‒ 5

6 { x = 1

2

y = 5 6

� = ‒ 5 6

* Nếu x + y + z = 0 ta có:

(1) => �

� + � + 1=

�

� + � + 2=

�

� + � ‒ 3= 0

=> x = y = z = 0

Vậy [x = 1

2; y =

5 6; �=

‒ 5 6

x = y = z = 0

Bài 7: Tìm x, y biết:

a) 1 +2�

18 =

1 +4�

24 =

1 +6�

6�

b) 1 +3�

12 =

1 +5�

5� =

1 +7�

4�

Giải

a) Vì 1 +2� => 24(1+2y) = 18(1+4y)

18 =

1 +4�

24

=>24 +48y = 18 +72y

Đưa về 24y = 6 => y = thay vào đề bài ta có 1

4

1 + 2.1

4

18 =

1 + 6.1

4 6� =>

3 2

18=

5 2 6�

=>3 = 18 => 18x = 90 => x = 5

2.6�

5 2

Ta có

1 +3�

12

=1 +5�

5� =

1 +7�

4� =

4 +20�

20� =

5 +35�

20� =

1 +3� + 4 + 20� ‒ ‒ 35�

12 +20� ‒ 20�

‒ 12�

12 =‒ � =>1+3y = -12y => 15y = -1 => y = ‒ 1 thay vào

15

1 +5�

5� =‒ �

Ta được => 5x => => x = 2

1 + 5.‒ 1

15 5� =

1 15

1

15= 1‒ 1

3

1 3�=

2 3

12 3

1 y

Vậy x = 2 và y = ‒ 1

15

Dạng 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

Để chứng minh tỉ lệ thức � ta thường dùng một số phương pháp sau:

� =

�

�

•) Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A.D = B.C

•) Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số � có cùng giá trị

� �à

�

�

•) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức

* Một số kiến thức cần chú ý

•) � (n 0)

� =

�.�

•) � => = (n N*)

� =

�

� ( � � )� ( � � )� ∈

Sau đây là một số bài tập minh họa ( giả thiết các tỉ số đã cho đều có nghĩa)

Bài 1: Cho tỉ lệ thức � Chứng minh rằng

� =

�

�

� + �

� ‒ � =

� + �

� ‒ �

GIẢI

Cách 1 (pp1):

Ta có:

(a + b).(c‒ d) = ac – ad + bc ‒ bd

(a‒ b).(c + d) = ac + ad ‒ bc ‒ bd

Vì a

b=

c

d= > ad = bc }

 (a+b).(c-d) = (a – b).(c+d)

 � + �

� ‒ � =

� + �

� ‒ � Cách 2 (pp2):

Đặt � = k =>

� =

�

� {� = ��� = ��

�� �ó: � + �� ‒ � =�� + �

�� ‒ � =

�(� + 1)

�(� ‒ 1) =

� + 1

� ‒ 1 � + �

� ‒ � =

�� + �

�� ‒ � =

�(� + 1)

�(� ‒ 1) =

� + 1

� ‒ 1}

 � + � =

� ‒ �

� + �

� ‒ �

Cách 3 (pp3):

Từ �

� =

�

� =>

�

� =

�

�

Ta có: �

� =

�

� =

� + �

� + � =

� ‒ �

� ‒ �

 � + � =

� ‒ �

� + �

� ‒ �

Cách 4: Từ � =>

�

�

{ � � + 1 =

�

� + 1 =>

� + �

� + �

� =>

� + �

� + � =

�

�

�

� ‒ 1 =

�

� ‒ 1 =>

� ‒ �

� ‒ �

� =>

� ‒ �

� ‒ � =

�

�

� + � =

� ‒ �

� ‒ �

� + �

� ‒ �

� + �

� ‒ �

Bài 2: Cho tỉ lệ thức � Chứng minh rằng (1)

�

�

��

�� =

�2 ‒ �2

�2 ‒ �2

GIẢI

Cách 1:

Vì a

b =

c

d = > ad = bc Có: ab ( �2‒ �2) = ���2‒ ���2

= ���� ‒ ����

�� ( �2‒ �2) = ���2‒ ���2

= ���� ‒ ���� }

 ab(�2

‒ �2)=��(�2

‒ �2)

��

�� =

�2

‒ �2

�2

‒ �2

Cách 2:

= k => thay vào 2 vế của (1) chứng minh 2 vế có cùng giá trị

�

�

� {� = ��� = ��

Cách 3:

Vì � =>

�

� =>

�

� =

�

� ( � � )2

= ( � � )2

� .

�

�

 �� = = =

��

�2

�2

�2

�2

�2

‒ �2

�2

‒ �2

B ài 3: chứng minh rằng nếu � thì

�

�

a) 5� + 3�

5� + 3�

5� ‒ 3�

11�2 ‒ 8�2

7�2

11�2 ‒ 8�2

GIẢI

a) Từ �

�

� =>

�

� =

�

5� + 3�

5� ‒ 3�

5� ‒ 3�

=> 5� + 3�

5� + 3�

5� ‒ 3�

b) Từ �

�

� =>

�

� =

�

�

=> �2 =

�2

�2

�2 = ��

�� =

7�2

7�2 = 8�2

8�2 = 3��

11�2

11�2

= 7�2 =

7�2

11�2

‒ 8�2

11�2

‒ 8�2

=> 7�2 =

11�2

‒ 8�2

7�2

11�2 ‒ 8�2

Bài 4: Cho b2 = ac; c2 = bd Chứng minh rằng:

1) �3 + �3 ‒ �3

�3 + �3 ‒ �3 = ( � + � ‒ � � + � ‒ � )3

2) �

�3

+ 8�3

+ 125�3

�3

+ 8�3

+ 125�3

GIẢI

1) Vì

b2= ac = > a

b=

b c

c2= bd = > b

c =

c

d}

�

�

�

� + � ‒ �

� + � ‒ �

�

3

�3 = �3

�3 = �3

�3 = ( � + � ‒ � � + � ‒ � )3

= �3

+ �3 ‒ �3

�3

+ �3 ‒ �3

Vậy �3

+ �3 ‒ �3

�3

+ �3 ‒ �3 = ( � + � ‒ � � + � ‒ � )3

2) Có:

�3

�3 = �3

�3 = �3

�3 = �3

+ 8�3

+ 125�3

�3

+ 8�3

+ 125�3

�à ( � � )3

= �3

�3 = �

� .

�

� .

�

�

 �

�3

+ 8�3

+ 125�3

�3

+ 8�3

+ 125�3

Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn �

�

� 2016

Chứng minh: 4(a-b)(b-c) = (� ‒ �)2

GIẢI

Từ �

2014 =

�

2015 =

�

2016 =

� ‒ �

‒ 1 =

� ‒ �

‒ 1 =

� ‒ � 2

 2(� ‒ �)

2(� ‒ �)

‒ 1 = � ‒ �

 4(� ‒ �)(� ‒ �) = (� ‒ �)2

Bài 6: Biết � và

�'+�'

� = 1

�

�'+�'

� = 1 CMR: abc + �'�'�'= 0

GIẢI

Từ � => ab + (1)

�'+�'

� = 1 �'�'= �'�

Nhân cả hai vế của (1) với c ta có: abc + �'�'� = �'�� (2)

Ta c ó : � => bc + (3)

�'+�'

� = 1 �'�'=�'� Nhân cả hai vế của (3) với ta có: �' �'�� + �'�'�' (4)

=�'�'� Cộng cả hai vế của (2) và (4) ta có:

abc + �'�'� � + '�� + �'�'�' = �'�� + �'�'�

 abc + �'�'�'= 0

Bài 7: Cho �� ‒ �� (1)

� =

�� ‒ ��

� =

�� ‒ ��

�

CMR: �

�=

�

�=

�

�

GIẢI

Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc b; c

Từ (1) ta có:

�� - ��

� =

��� - ���

�2 =��� - ���

�2 =��� - ���

�2

= ��� - ��� + ��� - ��� + ��� - ��� = 0

�2

+�2

+�2

 {�� ‒ �� = 0 => �� = �� => ��=�

�

�� ‒ �� = 0 => �� = �� => �� =�

�

 �

�=

�

�=

�

�

Bài 8: CMR: Nếu a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) (1)

Trong đó a,b,c là các số khác nhau và khác 0 thì:

� ‒ �

�(� ‒ �)=

� ‒ �

�(� ‒ �)=

� ‒ �

�(� ‒ �)

GIẢI

Vì a,b,c ≠ 0 nên chia các số của (1) cho abc ta được:

�(� + �)

��� =

�(� + �)

��� =

�(� + �)

��� =>

� + �

�� =

� + �

�� =

� + �

��

�� ‒ �� =

(� + �) ‒ (� + �)

�� ‒ �� =

(� + �) ‒ (� + �)

�� ‒ ��

 � ‒ �

�(� ‒ �)=

� ‒ �

�(� ‒ �)=

� ‒ �

�(� ‒ �)

Dạng 3 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài 1 :

Cho tỉ lệ thức 3 3 Tính giá trị của tỉ số

4

x y

x y

 



x y

Bài giải:

Cách 1 :

Từ 3 3 4(3x – y) = 3(x+y) 12x – 4y = 3x + 3y

4

x y

x y





12x – 3y = 3(x+y) 9x = 7y

Vậy = x

y

7

9

Cách 2:

Từ 3 3 Đặt = a =

4

x y

x y

 

3 1 3 4 1

x y x y







x

1

a a





3 4

Bài 2:

Cho Tính giá trị của biểu thức P =

2 3 4

x y z

 

 

Cách 1:

Đặt = k x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k 0)

2 3 4

P = 3 4 2 5 5

 

Vậy P = 5

3

Cách 2 :

2 3 4

 

y z x  y z x  x y z  x y z

5

x y z

 

Vậy P = 5

3

Bài 3 :

Cho dãy tỉ số bằng nhau

Tính giá trị của biểu thức

b c d  a c d a b d b c a