Toán học Chủ đề 5: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện33674

Ộ Ỏ L Ỏ

ỎH Đ 5 TÌỘ S ớH Ỏ TH Ọ ỘỪộ ĐI U KI ộ 3

I Ộ T S VÍ D ờÈộ LUỤ ộ Kơ ộĂộỒ 3

II ỎỨU H I VÀ ọÀI T ớ Tờ Ỏ ộỒHI Ộ KHỦỎH ỜUỌộ 18

ỎH Đ 5 TÌỘ S ớH Ỏ TH Ọ ỘỪộ ĐI U KI ộ

ớh ng pháp

 Tìm s ph c z x yi, x,y     th t ra là tìm ph n th c x và ph n o y c a nó

 Chú ý r ng: z2  z2 , z2  z2 khi z là s th c

 z x yi 0 x 0

y 0

 

    



 ,

 z1x1y i; z1 2 x2y i2 Khi đó 1 2 1 2

 





 z x yi, x,y     Khi đó z là s o (thu n o) khi x 0 , z là s th c khi y 0

 Trong tr ng h p tìm s ph c có môđun l n nh t, nh nh t ta làm nh sau

 B c 1: Tìm t p h p đi m ( ) các đi m bi u di n c a z th a mãn đi u ki n

 B c 2: Tìm s ph c z t ng ng v i đi m bi u di n M ( )  sao cho kho ng

cách OM có giá tr l n nh t ( ho c nh nh t )

I Ộ T S VÍ D ờÈộ LUỤ ộ Kơ ộĂộỒ

Ví d 1. Tìm s ph c z th a mãn

2

a) z  z 0;

2 b) z  z 0;

2 c)z 2z

d) z2  ; z z e) z3 z f) z z 2

z 

Gi i

a Đ t z x yi, x,y     Ph ng trình z2  tr thành : z 0

x y 2xyi x y 0

2xy 0

    



2

x 0

y y

y 0 y 1 y 1







     

  

V y s ph c c n tìm là z 0, z  i, z i

z x -yi

z x yi, x,y

z x y 2xyi

 





Ph ng trình z2 z 0 tr thành:

 

 

y 2x 1 0

x 2

   





      

V i y thay vào0 ta đ c: x2 x 0 x 0

x 1

 

     



V i x 1

2

 thay vào ta đ c:

3 y 2 3 y

2











 





V y các s ph c c n tìm là z 0, z 1, z 1 3i, z 1 3i.

c Đ t z x yi x,y R      z x yi Ph ng trình z2 2ztr thành

 

x y 2xyi 2x 2yi

xy y (2) (2) y x 1 0 y 0,x 1

  

 



V i y , (1) 0 x22x 0     x 0 x 2

v i x 1 , (1) y2    3 y 3

V y s ph c c n tìm là: z 0,z 2,z    1 i 3,z  1 i 3

d) Gi s z x yi  x,y  Khi đó

 2

 TH1: x 1

2

  ta đ c 14y2 14y2   12 14y2 y234

2

 





 TH2: y 0 x2 x x      x 0 x y 0

V y có 3 s ph c th a mãn là: z 0;z 1 5 2 5 i



e) Gi s z x yi x,y      z x yi

3

2 2

x 0

y 0

 











V y ph ng trình cho có nghi m z 0,z  i,z  1

Cách 2: z3  z z.z3 z.z z 2 z4  z2  z2z2 1 0

2

z 0

  ho c z2 1 0

Khi z2  thì 0 z 0 do đó z 0 là m t nghi m c a ph ng trình z3  z

Khi z 1 0   z 0nên ph ng trình z3 z z.z3z.zhayz4 z.z 1

2

z 1 z 1 0

z i

z 1 0

     



 



V y ph ng trình đã cho có nghi m z 0,z  i,z  1

f) G i s ph c za bi; a,b  Đi u ki n: z 0 a 0

b 0

 

  





Ta có: z z 2 z z.z 2z a bi a b 2 a bi2 2  

   

 



Gi i h ta đ c: a 1

b 0

 





 ho c

a 0

b 0

 





 (lo i)

Th l i ta th y z 1 th a mãn bài toán V y s ph c c n tìm là z 1

Ví d 2 Tìm s ph c z th a mãn ph ng trình

a)  3

z 2z 8 ; b) z22011 0 ; c) z2 z3

Gi i

a) Đ t t z 2z  Ta có ph ng trình

2

t 2

t 2

 



  

G i z a bi a,b    

Ta có t z 2z a bi 2 a bi         a 3bi

3b 0 b 0

    

 V i t  1 3i  a 3bi  1 3i

a 1

z 1 i

3

 

 

V y z 2;z 1 3i

3

b) Đ t z a bi a,b    

Khi đó

z a b 2abiz  a b 2abiz 2011 a b 2011 2abi

2ab 0



N u b 0 thì a22011 0 vô l Do đó b 0  a 0 D n đ n b  2011

V y s ph c z c n tìm là:  2011.i

c) Đ t z x yi  Ta có:

 

xy 0

 





x 0 thay vào (*)

2

3

y 0

z 0

 







y 0   , thay vào (*) z x x2 x3   0 x 0, x  1

V y z 0, z   1

Ví d 3 Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z th a mãn:

a)    2  

1 i 2 i z 8 i 1 2i z     ; b)      2

2 3i z  4 i z   1 3i

c)      2

2 3i z  4 i z  1 3i ; d) z 2z 3 2i  

Gi i

a) Ta có:

1 i 2 i z 8 i 1 2i z         2 

z 1 i 2 i 1 2i  8 i

       

 

z 2i 2 i 1 2i  8 i





V y s ph c z đã cho có ph n th c là 2, ph n o là 3

b Đ t z x yi    z x yi, x,y  

Lúc đó

 

V y ph n th c c a z là 2 , ph n o là 5

c) Đ t z a bi, (a,b   ), ta có:

6a 2b 4a 2b i 8 6i

V y s ph c z c n tìm có ph n th c b ng 7 và ph n o b ng 17

Ph n th c c a s ph c c n tìm là 3, ph n o là 1

d) Đ t z a bi, (a,b   ) T gi thi t ta có:

a bi 2 a bi 3 2i 3a bi 3 2i

   

V y s ph c z có ph n th c b ng 1, ph n o b ng 2

Ví d 3. a) Cho s ph c z th a mãn z 1 2i z 2 1 2i       Tìm ph n th c và ph n o c a

s ph c w z 23z

b) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c 25i

z , bi t r ng z 4 3i z 26 6i

Gi i

a) Gi s z x yi (x,y   ) T gi thi t suy ra

2x 4 x 2 z 2 i

x y 1 y 1

    

w z 3z 2 i 3 2 i   3 i

b) G i z a bi, (a,b   ).

Ta có

22a 16b  14a 18b i 130 30i

22a 16b 130 a 3 z 3 4i

14a 18b 30 b 4

Do đó 25i 25i 3 4i 

4 3i



V y ph n th c là -4, ph n o là 3

Ví d 4 a) Tìm s ph c z th a mãn z  2 và z là s thu n o 2

b) Tìm s ph c z th a mãn z  và z là s o 2

c) Tìm s ph c z th a mãn z  và ph n th c c a nó b ng 2 l n ph n o 5

d) Cho s ph c z th a mãn 1 3i z  là s th c và z 2 5i   1

e) Tìm s ph c z bi t iz 1  2và 1 i z 1 2i   là s thu n o

Gi i

a Đ t z x yi, x,y    

Ta có: z  2  x2y2  2 x2y2 2

M t khác: 2  2 2 2

z  x yi x y 2xyi là s thu n o nên x2y2  0

Ta có h :

V y các s ph c c n tìm là: z1 1 i, z2  1 i, z3  1 i, z4  1 i

b Đ t z x yi, x,y    

Ta có: z 2  x2y2  2 x2y2 4 * 

M t khác: z x yi  là s o nên x 0

Thay x 0 vào ta đ c y2 4 y 2

y 2

 

    

V y các s ph c c n tìm là: z12i, z2  2i.

c Đ t z x yi, x,y     Ta có:

 

z 5  x y  5 x y 25 *

M t khác: S ph c có ph n th c c a nó b ng 2 l n ph n o nên x 2y thay vào ph ng trình ta đ c: 5y2 25y2    5 y 5

V y s ph c c n tìm là: z12 5 5i, z1 2 5 5i

d) G iz a bi; a,b    

Ta có1 3i z   1 3i a bi   a 3b 3ai bi a 3b b 3a i      

1 3i z  là s th c  b 3a 0  b 3a

z 2 5i 1       a 2 b 5 i 1  a 2  5 3a  1

a 2

7

a

5

 



  



th a mãn

V y có hai s ph c z th a mãn là z 2 6i;z 7 21i.

5 5

e Đ tz' iz 1 z z' 1 *

i



z'

   khi đó ta có

 1 i z 1 2i 1 i iz 1 1 i 1 2i  1 i z'

S ph c này là s o do đó ta có  1 i z'    1 i z'  1 i z'   1 i z'

z'



Thay vào (*) ta có z 1;z 1 2i 

Ví d 5. a) Tìm s ph c z th a mãn z 2 i    10 và zz 25

b) Tìm s ph c z th a mãn: z22z.z z 2 8 và z z 2 

c) Tìm s ph c z bi t: z  và 2  z 1 2 i 3     z 1 2 i 3  14

d) Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i: z i 1

z 1

 

z 3i

 e) Tìm s ph c z th a mãn z 1  và 5 17 z z 5zz 0   

f) Tìm s ph c z th a mãn z 1 2i   và 5 z.z 34

Gi i

a G i z a bi a R,b R  ,

Ta có: z 2 i      a 2  b 1 i;

T gi thi t ta có z 2 i    10    2 2  

và z.z 25 a2b2 25 2 



V y các s ph c c n tìm là: z 3 4i  ho c z 5

z x yi; z   z zz x y x,y

 

2

z 2z.z z 8 4 x y 2 1

z z 2 2x 2 x 1 2

T (1) và (2) tìm đ c x 1; y   1

V y các s ph c c n tìm là 1 i và 1 i

c) Ta có: 2z z 3i 2z z 3i 10   

2 z z 3i z z 10

Đ t z a bi, z a bi   

2



K t h p v i gi thi t ban đ u: z 2 a2b2  4

Nên k t h p l i ta đ c s ph c: z 1 3i; z 13 3 3i

d) G i z x yi, x,y  

x 1 y,x 0

y 3

 



 



T bài toán suy ra:

x y 1 8y 8









V y z 1 i 

e) Đ t z a bi  , ta có:

z 1 5   a 1 b  5 a b 2a 24 1

M t khác 17 z z 5z.z 0  a2 b2 34a 2 

5

5    K t h p v i (1) có b2    9 b 3

V y có hai s ph c th a mãn bài toán là 5 3i và 5 3i

f) G i z a bi    z 1 2i 5    a 1  b 2 i 5 

  2 2  

Ta có z.z 34  a bi a bi  34a2b2 34  2

T (1) và (2) ta có h

a 3

b 5

a

29 b 5

 

 







 



V y z 3 5i, z 29 3i



Ví d 6. a) Cho s ph c z th a mãn ph ng trình    1 i z 2 i z 4 i     Tính mô-đun c a

z

b) Tìm mô-đun c a s ph c z bi t z 3z 1 2i  

c) Cho s ph c z th a mãn h th c z2  1 i z 11i Tính mô-đun c a s ph c z

d) Tìm mô-đun c a s ph c z, bi t r ng z 4 3i z 26 6i

e) Cho hai s ph c z ,z1 2 th a các đi u ki n sau: z 3z1 2  và 4 z1  z2  Hãy tính 1

3z z 

Gi i

a) Ta có:

   1 i z 2 i z 4 i      *

G i z a bi (a,b   )

   * 1 i a bi  2 i a bi 4 i 3a 2b bi 4 i a 2

b 1

 

 



 

b) Đ t z a bi, (a,b   ) Khi đó theo gi thi t ta có:

a bi 3 a bi   1 2i 4a 2bi 1 2i a 14 z 1 i

4

b 1







 



c) Đ t z a bi, (a,b   )

2

2

2ab a b 11

2ab a b 11

b 2



  







V y z  a2b2  13

d) G i z a bi a,b     Ta có:

z 4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i

2 i

22a 16b 14a 18b i 130 30i



22a 16b 130 a 3

14a 18b 30 b 4

V y z 3 4i   z 5

Cách 1

2

1 2 1 2

Ta có:

2

9z z 3 z z z z z z 9 3.2 1 4

V y 3z z1 2  2

Cách 2 Đ t z1x1y i, z1 2x2y i, x ,y ,x ,y2  1 1 2 2 

Ta có

z  z  1 x y x y  1

   

Lúc đó

9 x y x y 6 x x y y 10 6 4

Do đó 3z z1 2  2

Ví d 7 a) Tìm s ph c z th a mãn:   z2i z2  z 0

b) Tìm s ph c z th a mãn z 1 1 iz  

i 1

z z





c) Tìm s ph c z th a mãn

   1 i

1 i z



d) Tìm s ph c z th a mãn   z 1 1 i z i z2

1 i



e) Tìm s ph c z th a mãn 2 iz z 2i 2z

2 i 1 2i

Gi i

a) Ta có:

2

z i 0 1

z i z z 0

z z 0 2

  



  



 Gi i Đ t z x yi, x,y     Ph ng trình tr thành:

 

x y

 

 



V i x y thay vào ta đ c: 2x2 1 0 (vô nghi m)

V i x y thay vào ta đ c: 2x2 1 0 x 2

2

V y z1 2 2i, z2 2 2i.

 Gi i Đ t z a bi, a,b     Ph ng trình tr thành:

 

a 2

   



   

  





V i b 0 thay vào ta đ c: a2 a 0 a a 1  0 a 0

a 1

 

       



V y ta đ c z3 0, z4 1

V i a 1

2

  thay vào ta đ c: 1 b2 1 0 b2 3 b 3

4   2    4 2

V y ta đ c z5 1 3i, z6 1 3i

b) Đi u ki n: z 0, z 1 

2 2

z 1 z 1



Gi s z x yi; x,y   Khi đó  * tr thành:

2

x 0

 

N u x 0,y 1   2 thì z 1 2 i , th a mãn đi u ki n

N u x 0,y   thì 1 z i khi đó z 1 không th a mãn đi u ki n

V y s ph c c n tìm là z 1 2 i

c Đ t (z x yi  v i x,y ;x y 2 2  ) Ta có 0

     

 

 

 

 

 

 

   

1 i

1 i z

x y 0 1

xy 0





  







+) V i x 0, tac có  2 y y2     1 y 1, th a mãn (1) Suy ra z  i

+) V i y 0, tac có  2 x x2     1 x 1, không th a mãn (1), lo i

d) Đ t z x yi  v i x,y  Khi đó   z 1 1 i z i z2

1 i





2

x 1 yi 1 i

2 3x 1 y 3x 1 y i 2 x y



V y z iho c z 3 1 i

10 10

  

e) Ta có 2 iz z 2i 2z 2 iz 1 2i  z 2i 2 i   2 2 i 1 2i z

2 i 1 2i

2 4i     2 i z 4 3i z  (1)

+) G a s z a bi a,b    

Lúc đó (1)2 4i    2 i a bi   4 3i a bi   

2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i

2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1 z 1 i

4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1

V y s ph c c n tìm là z i 1 

Ví d 8 a Tính môđun c a s ph c z bi t z 12i z3  và z có ph n th c d ng

b) Tìm s ph c z có ph n o b ng 164 và n * th a : z 4i

z n  c) Tìm s ph c z th a mãn hai đi u ki n: z 1 2i    z 3 4i và z 2i

z i



 là m t s thu n o d) Tìm s ph c z th a mãn:  z 1 z 2i   là s th c và z i  2

Gi i

a) Gi s z x yi  x 0,x,y  

3

Th x2 3y2 vào ph ng trình th hai ta đ c: 1

3 y 1 y y 12    y 2y       y 3 0 y 1 x   4 x 2 dox 0  Suy ra

z 2 y  môđun c a s ph c z là: z  5

b) G i z a 164i a    

Theo gi thi t, ta có z 4i a 164i 4i a 164i 4i a 164i n 



  a 656 a 656



 c) Gi s z x yi  Theo bài ra ta có: x 1 y 2 i       x 3 4 y i 

  2  2  2 2

2

2 2

x y 2 i x y 2 y 1 x 2y 3 i

z 2i w

x 1 y i



 

w là m t s o

  

2

2 2

x 7 2y 3 0, x y 1 0 *

23 y



V y z 12 23i

  

d) Gi s z a bi, a,b    

Khi đó

       

z 1 z 2i a 1 bi a 2 b i

a a 1 b 2 b 2a b 2 i 2a b 2 1

         

          

 2   2

z 2  2 a  b 1 2 2

T và ta đ c a 1, b 0  ho c a 1, b 12

V y z1 1, z2 1 12i

5 5

Ví d 9 a) Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n z 2 3i 3

2

   Tìm s ph c z có mođun nh nh t

b) Tìm s ph c z th a mãn  z 1 z 2i   là s th c và z đ t giá tr nh nh t

c) Trong các s ph c z th a mãn z 3i iz 3 10    , tìm s ph c z có mô-đun nh nh t

d) Trong các s ph c z th a mãn z 2 i    z 1 4i , tìm s ph c có mô-đun nh nh t

Gi i

a Đ t z x yi, x,y     Khi đó z 2 3i 3 x 2 2 y 32 9

Các đi m M bi u di n s ph c z th a mãn h th c đã cho n m trên đ ng tròn tâm I(2;-3)

và bán kính R= 3

2

Ta có: Min z khi và ch khi M n m trên đ ng tròn và g n O nh t

Đó là đi m M1 (B n đ c t v hình)

Ta có: OI= 4 9  13 K M H Ox.1 

Theo đ nh lý talet ta có:

1

3 13

3

13

OH 2 OH 26 3 13.

V y z=26 3 13 78 9 13 i

b) Gi s z x yi x,y     Khi đó

 z 1 z 2i    x 1 yi x 2 y i        

Đ  z 1 z 2i   là s th c thì  x 1 2 y xy 0    hay 2x y 2 0   Suy ra t p h p các

đi m M bi u di n s ph c z th a mãn  z 1 z 2i   là s th c là đ ng th ng  có

ph ng trình 2x y 2 0  

Đ z nh nh t thì M ph i là hình chi u c a O 0;0 lên   

T đó tìm đ c M 4 2;

5 5

  nên

4 2

5 5

  c) Áp d ng công th c: z.z z ; z w z w 2   

100 z 3i iz 3   2 z 3i   iz 3  z 3i iz 3  

2 2

2 z 3i z 3i iz 3 iz 3 2 z 3i z 3i iz 3 iz 3

4 z.z 9 4 z 36

    Gi i b t ph ng trình ta có z 4

V y min z  đ t đ c khi 4 z 3i iz 3 z 4, z 4

z 4

   







d) Gi s z a bi, a,b     Khi đó

   

z 2 i    a 2 b 1 i và z 1 4i       a 1 b 4 i

 

z a b 2b 4b 4 2 2 b 1 2

V y z  1 i th a mãn đ bài

II ỎỨU H I VÀ ọÀI T ớ Tờ Ỏ ộỒHI M KHÁCH QUAN

Câu 1. Tìm s ph c z th a mãn đ ng th c: z 2 z z    2 6i

A z 2 6i

5

5

5

5

  

H ng d n gi i

Cách 1

Gi s z x yi (x,y   )

Ta có z 2 z z       2 6i x yi 2 x yi x yi     2 6i

  2

5

  V y

2

5

  V y ch n đáp án Ọ

Câu 2. S s ph c z th a mãn đ ng th c: z2 1 z z 1 1 z z i

H ng d n gi i

Đ t z a bi (a,b   ), suy ra

z a bi, z  a b , z z 2bi, z z 2a   

Thay vào ph ng trình đã cho ta có a2b2   bi 1 ai

1

a b

1

2



 









V y z 1 1 i, z 1 1 i

Câu 3 S s ph c z th a mãn  2 2

z 1  z 1 10i z 3 

H ng d n gi i

G i z a bi a,b     Ta có  2 2

z 1  z 1 10i z 3 

     

2

2

2ab 3b 10 0

1

2

   

 



V y z 1 2i  ho c z 1 5i

2

   V y ch n đáp án Ỏ

Câu 4. Bi t z ,z là hai s ph c th a đi u ki n: 1 2     2

2 z 1 z 1 1 i z     Tính z1 z2

A 3 11 i

10 10

10 10

10 10

H ng d n gi i

         

2

a

a

10

10

b 3a 1

   





 





Có hai s ph c c n tìm z1 i; z2 3 1 i

10 10

Suy ra: z z1 2 3 11i

10 10

    V y ch n đáp án Ọ

Câu 5 Tìm s ph c z th a mãn

   1 i

1 i z





A 1 i B  i 1 C i D i

H ng d n gi i

Đ t z x yi, x,y   , x2y2 Ta có: 0

 

 

 

1 i

1 i z

xy 0





  

V i x 0 , ta có  2 y y2     1 y 1, th a mãn (1) Suy ra z i

V i y , ta có 0  2 x x2     1 x 1, không th a mãn (1)

V y z  i

V y ch n đáp án D

Câu 6. Bi t z ,z1 2 là s ph c th a mãn:  2 2

z 1  z 1 10i z 3  Tính z12z 22

A 111 i

4

  B 111 i C 111 4i D  44 i

H ng d n gi i

G i z a bi a,b     ta đ c:  2 2

a bi 1    a bi 1 10i a bi 3  